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广东省佛山市顺德区均安中学2014高二数学 定积分的概念导学案 新人教A版


广东省佛山市顺德区均安中学 2014 高二数学 定积分的概念导学案 新人教 A 版
【学习目标】 1.借助几何直观,了解定积分的概念; 2.能用定积分法求简单的定积分,理解掌握定积分的几何意义; 3. 用心学习概念,感受数学的美妙。 【重点难点】 重点:定积分的概念,定积分法求简单的定积分,定积分的几何意义。 难点:定积分的概念,定积分的几何意义。 【自主学习】 阅 读教材 45 页,5 分钟时间,完成问题: 1.定积分的概念 ①分割:如果函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ②近 似代替:在每个 小区间 ? xi ?1 , xi ? 上任取一点 ?i ?i ? 1,2, ③求和:作 和式: S n ? ? f (? i )?x ?
i ?1 n

? ? ? xn ? b 将区间 [a, b] 等分成

个小区间;

, n? ;

④取极限:当 n ? ? 时,上述和式 Sn 无限趋近于某个常数,这个常数叫做函数 f ( x ) 在区 间 [ a, b] 上的定积分,记作 其中 f ( x) 叫做

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx =
a

b

, x 叫做

, f ( x)dx 叫做 。

, [ a, b] 叫

做 , b 叫做 , a 叫做 概念辨析: (1)判断下面命题的真假,说明理由: ① S n ? ? f (? i )?x 就是定积分
i ?1 n

?

b

a

f ( x)dx 。

②定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数。

1 ③ 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [0,1] 上连续,那么 ?1 0 f (t )dt ? ? 0 f ( x)dx 。

【合作释疑】 思考 1:我们学习了定积分的概念后 ,前面 1.5.1 节中曲边梯形的面积和 1.5 .2 节 中汽车 在 0 ? t ? 1 这段时间内的路程都可以写成定积分的形式吗? 即: (1)曲边梯形的面积: S ? (2)变速运动路程: S ? (3)变力做功: W ? 思考 2:曲边梯形的面积能表示成函数的定积分吗?你能说说定积分的几何意义吗? (1)如果在区间 ?a , b? 上函数 f ( x) 且 ,那么定积分 直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 围成的 (2)若函数 f ( x) 图像在 X 轴下方时,则定积分 的还是面积吗?

?

b

a

f ( x)dx 表示



?

b

a

f ( x)dx 表示

1

编制人:罗忠康

审核人:罗忠康

审批人: 陈振

合作探究: 例 1.计算定积分

?

2

1

( x ? 1)dx

变式训练 1 计算定积分 ? 5 0 (2 x ? 4)dx

变式训 练 2 计算定 积分 ? 2 ?2 ( x ? 1)dx

3 例 2.利用定积分的定义,计算 ? 1 (公 式: 1 ? 2 ? ? ? n ? 0 x dx 的值。
3 3 3

1 2 n (n ? 1) 2 ) 4

三.巩 固训练题 1.下列等于 1 的定积分是( A. ?1 0 xdx

) C. ?1 0 1dx D. ? 0
1

B. ?1 ( )dx 0 x ?1

1 dx 2

2.若 ?1 ( 0 2 x ? k )dx ? 2 ,则 k ? _____ 3. ? ?1 x dx =_____________;
1

定积分的性质 性质 1 性质 2 性质 3 ①
b

? ? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ?
a a
b a b a 1 2

b

(定积分 的线性性质) kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数)
b a b c

b

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx (定积分的线性性质)
a

b

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx(a ? c ? b) (定积分对积分区间的可加性)
c a

性质的推广:

? [ f ( x) ? f ( x) ? ? f (x)]dx ? ? f (x)dx ? ? f (x)dx ? ? ? ② ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx
a b
a

b

b

b

1

2

m

a

1

a

2

a

f m ( x) ;

c1

c2

b

a

c1

ck

通过本节课的学习,你有哪些收获?

2


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