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对数函数习题精华版


对数的运算性质
1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (2) log a
M ? log a M - log a N ; N

那么

(3) log a M n ? n log

a M (n ? R) . 2.例题分析: 例 1.用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) log a
xy ; z

(2) log a

x2 y
3



z

例 2.求下列各式的值: (1) log 2 ? 47 ? 25 ? ; (2) lg 5 100 .

例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

7 ? lg 7 ? lg 18 ; 3

(2)

lg 243 ; lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg 1.2

例 4.已知 log a x ? log a c ? b ,求 x .

例 5. (1)已知 3a ? 2 ,用 a 表示 log 3 4 ? log 3 6 ; (2)已知 log3 2 ? a , 3b ? 5 ,用 a 、 b 表示 log 3 30 .

换底公式
1.换底公式: log a N ?
log m N ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1) log m a

说明:两个较为常用的推论: (1) log a b ? logb a ? 1 ; (2) log am bn ?
n . log a b ( a 、 b ? 0 且均不为 1) m

2.例题分析: 例 1.计算: (1) 5
1?log0.2 3



(2) log 4 3 ? log9 2 ? log 2 4 32 .

例 2.已知 log18 9 ? a , 18b ? 5 ,求 log 36 45 (用 a, b 表示) .

1 1 1 例 3.设 3 x ? 4 y ? 6 z ? t ? 1 ,求证: ? ? . z x 2y

例 4.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .

例 5.计算: (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1 4 32 .
2

例 6.若 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m ? log 4 2 ,求 m .

对数函数
例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? log a x 2 ; (2) y ? log a (4 ? x) ; (3) y ? log a (9 ? x 2 ) .

例 2.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ; (2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) log a 5.1 , log a 5.9 .

例 3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 6 7 , log 7 6 ; (3) 1.10.9 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ; (2) log3 ? , log 2 0.8 ; (4) log 5 3 , log 6 3 , log 7 3 .

例 4.已知 log m 4 ? log n 4 ,比较 m , n 的大小。

例 5.求下列函数的值域: (1) y ? log 2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x 2 ) ; (3) y ? log a ( x 2 ? 4 x ? 7) ( a ? 0 且 a ? 1 ) .

例 6.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性。

例 7.求函数 y ? 2log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3

例 8.若函数 y ? ? log 2 ( x 2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。

对数函数 1 、 如图, 曲线是对数函数 值依次为( ). (A) (B) (C) (D) 2、函数 y=logx-1(3-x)的定义域是 3、如果对数 log x ?7 ( x 2 ? 6 x ? 5) 有意义,求 x 的取值范围; 的图象, 已知 的取值 , 则相应于曲线 的

5 4、函数 y ? lg[ x 2 ? (k ? 2) x ? ] 的定义域为一切实数,求 k 的取值范围。 4

5.已知关于 x 的的方程 log 3 x ? a ,讨论 a 的值来确定方程根的个数。

6.若关于 x 的方程 lg(ax) ? lg(ax2 ) ? 4 的所有解都大于 1,求 a 的取值范围.

7.求函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间.
2

8、求函数 y ? log( 1
2

1 2 5 的单调区间。 x -3x+ 2) 2

9、设函数

,若

的值域为

,求实数

的取值范围.

10、已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

(a 11、 y ? log x +ax ? 1) 的定义域为 R,求 a 的取值范围。
2

2

12、函数 y=log 1 [(1-x)(x+3)]的递减区间是(
2

) D.(-1,+∞)

A.(-3,-1)

B.(-∞,-1)

C.(-∞,-3)

13.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 B.a>1 C.1<a<2 D.1<a≤2 14.求函数 y=loga(2-ax-a2x)的值域。

)

15、求函数 y=log2

x x ·log2 (x∈[1,8])的最大值和最小值. 2 4

16、设函数 y=f(x),且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),(1)求 f(x)的表达式及定义域; (2)求 f(x)的值 域。

17、函数

在区间

上的最大值比最小值大 2,则实数

=___.

18、已知函数 性; ② 当 时,求

.① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调 的最大值,最小值及相应的 值.

19、已知函数y=loga(1-ax)(a>0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域;(2)证明函数图象关于直 线y=x对称。

x ? ? 1 1? ? x?? , ? f ( x) ? ? log 3 ? (log 3 3x) 27 ? ? 27 9 ? ,求函数 ? 20、设 的最大值。

21、已知函数

f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) x ?1 。

(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的值域。

2(log 1 x) 2 ? 7 log 1 x ? 3 ? 0

y ? (log 2

22、已知

2

2



求函数

x 4 ) ? (log 1 ) 2 x 2

的最大值和最小值

23、已知 y ? log a (2 ? ax ) 在 0,1 上是x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A. (0,1) 24、函数 B. (1,2) ( C. (0,2) D. 2, ? ?

?

?

?

?
,求 的值.

)图象的对称轴方程为

25、 已知 f(x)=

[3-(x-1)2],求 f(x)的值域及单调区间.

26、已知 y=log0.5(x2-ax-a)在区间(-∞,-

)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

27、已知函数 f(x)=loga(ax2-x), 是否存在实数 a,使它在区间[2,4]上是增函数?如果存在, 说明 a 可取哪些值;如果不存在,说明理由.?


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