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乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验理科数学


乌鲁木齐地区 2017 年高三年级第一次诊断性测验理科试卷 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题) 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {?1,0,1, 2,3} ,则 A ? B ?

A. {0,1}
2. 复数

B. { 0 , 1 , 2 } C. {? 1 , 0 , 1}

D. {? 1 , 3 }

1 ? 2i ? 2?i A. ?i B. 1 ? i

C. i C. 144

D. 1 ? i D. 233

3.如图所示,程序框图输出的结果是

A. 55

B. 89
开始

a ? 1, b ? 1, i ? 1

c ? a?b

a?b
b?c


i ? i ?1

i ? 10 ?



输出 c

结束

4.已知等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , a4 ? 10 ,且 a3 , a6 , a 10 成等比数列,则数列 {an } 前 9 项和为

A. 99
x

B. 90

C. 84

D. 70

5.函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 3 的零点所在的一个区间为

A. (?1, 0)

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? ,1? ?2 ?

? 3? D. ?1, ? ? 2?

6.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为

A. 16

B. 36

C. 48

D. 72

4 2

6 正视图 2 侧视图

俯视图 7.在某次结对子活动中, 有八位同学组成了四对 “互助对子” , 他们排成一排合影留念, 则使得每对“互助对子”中的两位同学都相邻的排列方法种数为

A. 2520
8.若 tan ? ? ?

B. 384

C. 48

D. 24

? ?

??

? ? 0 ,则下列结论正确的是 4?

A. sin ? ? 0
9.设函数 f ( x) ? ?

B. c o ? s ? 0
( x ? 1), 0 ? x ? 1 ? ?log 1 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 1

C. s i n ? 2?

0

D. c o s ? 2?

0

, 若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实

数根,则实数 a 的取值范围是

A. [?2, ?1]

B. (? 2 ? , 1)

C. (? ?, ?1 ]

D. (? ?, ?1 )

10.已知球 O 外接于正四面体 ABCD ,小球 O ' 与球 O 内切于点 D ,与平面 ABC 相切, 球 O 的表面积为 9? ,则小球 O ' 的体积为

A.

4? 3

B. 4?

C. 6?

D.

32? 3

11.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 P 在椭圆上,若 FP ? PA ,则 9 5

直线 PF 的斜率可以是

A.

3 3

B.

3 2

C. 1

D. 3
1 的图象在区间 [?2, 4] 上交点的横坐标依次 1? x

12.设函数 f ( x) ? 2sin? x 与函数 y ? 分别为 x1 , x2 , ???, xn ,则

?x
i ?1

n

i

?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 4 个小题)

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.设实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值为______ ?x ? y ?1 ? 0 ?
14.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60 ? ,则 e1 ? 2e 2 ? ______

??

?? ?

?

?

x2 y 2 15.在平面直角坐标系 xoy 中,已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 a b

(2 2, 0),过双曲线上的一点 M 作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点 A ,若△
OMA 的面积为 1 ,则其离心率为_______
16. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

an (n ? N * ) ,则 a10 ? _____ an ? 2

三、解答题(第 17-21 题每小题 12 分) 17.如图,在△ ABC 中, CA ? 2, CB ? 1, CD 是 AB 边上的中线 (I)求证: sin ?BCD ? 2sin ?ACD ; (II)若 ?ACD ? 30? ,求 AB 的长 C

A

D

B

18.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将△

AED ,△ DCF 分别沿 DE , DF 折起,使 A, C 两点重合于点 A1
(I)求证: A1D ? EF

DEF 所成角的正弦值 (II)求直线 A 1E 与平面

A1

D F B E

D

C

F

A

B E

频率/组距

0.03 0.025 0.02

0.01 0.005 分数 19.某地十余万考生的成绩近似地服从于正态分布,现从中随机地抽取了一批考生的成 绩,将其分为 6 组:第一组 [40,50) ,第二组 [50,60) ,?,第六组 [90,100] ,作出频 率分布直方图,如图所示 (I)用每组区间的中点值代表该组的数据,估算这批考生的平均成绩和标准差(精确 到个位) (II)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差, 设成绩超过 93 分的为“优” ,现在从总体中随机抽取 50 名考生,记其中“优”的人数为 Y ,试估算 Y 的期望 附: 若 X ~ N (? , ? ) ,则 P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.683 ,
2

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.954 P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.997

20.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线交 x 轴于点

H ,过 H 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,且 BF ? 2 AF
(I)求直线 AB 的斜率; (II)若△ ABF 的面积为 2 ,求抛物线的方程 21.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? x ? (I)求 f ( x ) 的单调区间 (II)若函数 f ( x ) 的图象在 x ? 0 处的切线与其只有一个公共点,求 a 的值 22-23 两题中任选一题作答(10 分) 22. 在平面直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立坐标系, 曲线 M 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 4cos ? , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? 射线 ? ? ? , ? ? ? ? 0 ?? ??), (I)求证: OB ? OC ? (II)当 ? ?

1 2 ax (a ? 1) 2

? x ? m ? tcos? ( t 为参数, ? y ? t sin?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 M 交于 A, B, C 三点 (异于 O 点)

2 OA

?
12

时,直线 l 经过 B, C 两点,求 m 与 ? 的值

23.设 f ( x) ? 2x ? x ? a (I)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (II)当 f ( x) ? x ? a 时,求 x 的取值范围

乌鲁木齐地区 2017 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 选择题答案:BACA CBBD DADC 1. 选 B. 【解析】 ∵ A ? x x ? 2x ? 3 ? 0 ? x ?1 ? x ? 3 , ∴ A ? B ? ?0,1,2?. 故选 B.
2

?

? ?

?

2.选 A.【解析】∵

1 ? 2i ?1 ? 2i ??2 ? i ? ? 5i ? ? ? ?i .故选 A. ?2 ? i ??2 ? i ? 5 2?i

3.选 C.【解析】由题意知,第一次循环 i ? 2, c ? 2 ;第二次循环 i ? 3, c ? 3 ;第三次循环

i ? 4, c ? 5 ;…;第十次循环 i ? 11, c ? 144,结束循环,输出 c 的值为 144 .故选 C.
4.选 A. 【解析】设数列 ? an ?的公差为 d ,则 a3 ? 10 ? d , a6 ? 10 ? 2d , a10 ? 10 ? 6d ,
2 由 a3 , a6 , a10 成等比数列, 得 a3a10 ? a6 , 即 ?10 ? d ??10 ? 6d ? ? ?10 ? 2d ? , 得d ? 0 (舍) 2

或 d ? 1 ,则 a1 ? a4 ? 3d ? 7 ,所以 S 9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 9 ? 7 ? 36 ? 99 .故选 A. 2

5.选 C. 【解析】∵ f ? ? ? e 2 ? 2 ? 0 , f ?1? ? e ?1 ? 0 ,∴零点在 ?

?1? ?2?

1

?1 ? ,1? 上,故选 C. ?2 ?

6.选 B. 【解析】由三视图知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,四棱柱的高为 6 ,

S?

?2 ? 4?? 2 ? 6 ,∴ V ? 6 ? 6 ? 36 .故选 B.
2

4 7.选 B. 【解析】依题意,所求种数为 24 ? A4 ? 384,故选 B.

8.选 D. 【解析】 tan ? ? ?

? ?

??

? ? 3? ? ? ? ? k? ? ? ? ? 0 ? k? ? ? ? ? ? k? ? k? ? 4? 2 4 4 4

2 k? ?

3? ? ? 2? ? 2k? ? ,∴ cos 2? ? 0 ,故选 D. 2 2

9.选 D. 【解析】作图,数形结合,选 D. 10.选 A. 【解析】设小球 O? 的半径为 r ,球 O 的半径为 R ,正四面体的高为 h ,则由题意

3 2 3 2 h, h ? 2r , 即r ? R , 又球 O 的表面积为 9? , 即 4? R ? 9? , 则R ? , 4 3 2 4 3 4? 所以 r ? 1 ,则小球 O? 的体积 V ? ? r ? .故选 A. 3 3 ??? ? ??? ? 11. 选 D. 【解析】 设 P ? x, y ? 由题意得, ∵ FP ? PA , PF ? ? ?2 ? x, ? y ? , PA ? ? 3 ? x, ? y ? ,
得,R ?

3 ? x?? ? x2 ? y 2 ? x ? 6 ? 0 ? ??? ? ??? ? ?x ? 3 4 ? ? 2 2 PF ? PA ? 0 , 即 x ? y ? x?6 ? 0 , 由 ? x2 y 2 , 得? , ? ?1 ?y ? ? 5 3 ?y ? 0 ? ? 5 ?9 ? ? 4
所以直线 PF 的斜率 k PF ? ? 3 .故选 D. 12.选 C. 【解析】如图, y ?

1 1 ?? 与 y ? 2sin ? x 的图像 1? x x ?1

有公共的对称中心 ?1,0? ,由图像知它们在区间 ?? 2 ,4? 上有八个 交 点,分别为四对对称点,每一对的横坐标之和为 2 ,故所有的横

坐标之和为 8 .故选 C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.填 ? 3 . 【解析】设 2x ? y ? z ,不等式组表示的平面区域如图 所示, 平移直线 y ? 2x , 可知当经过点 ? ?2, ?1? 时, z ? 2x ? y 取最小值 ? 3 . 14. 填 3. 【解析】e1 ? 2e2 ?
2 e12 ? 4e1e2 ? 4e2 ? 1? 2 ? 4 ? 3 .

15.填 2 . 【解析】设 M ? x0 , y0 ? ,直线为 y ? y0 ?

b b ? x ? x0 ? ,与另一条渐近线 y ? ? x a a

bx ? ay0 b ? ? y ? y0 ? ? x ? x0 ? ? x ? 0 ? ? ? ? bx ? ay0 bx0 ? ay0 ? a 2b 的交点 A 满足 ? 得? 即 A? 0 ,? ? 2a ? ? 2b ? y ? ? bx0 ? ay0 ?y ? ? b x ? ? a 2a ? ?
∴ OA ?

bx0 ? ay0 ? c bx0 ? ay0 ? c b a 2ab , AM ? ,易知 sin ?OAM ? 2 ? ? ? 2 , c c c 2ab 2ab
1 1 2 2 2 OA ? AM ? sin ?OAM ? b x0 ? a 2 y0 ,而 M ? x0 , y0 ? 在双曲线上 2 4ab

∴ S ?OAM ?



2 2 x0 y0 ab 2 ? a 2 y02 ? a 2b 2 ,故 S ?OAM ? ? ? 1 ,∴ b 2 x0 ,又 S?OAM ? 1 ,∴ ab ? 4 , 2 2 4 a b

2 2 而 c ? 2 2 ,即 a ? b ? 8 ,∴ a ? b ? 2 ,∴ e ?

2.

16.填

?1 ? 1 2 1 1 ? . 【解析】由已知得: ? ?1 ? ? 1 ? 2? ? 1 ?a ?, 1023 an?1 an an ?1 ? n ? ?1 ? 1 1 1 , a10 ? . ? 1 ? 2 n ?1 ? ? 1? ? 2 n , an ? n ? ? 2 ?1 1023 an ? a1 ?

又 a1 ? 1 ,故

三、解答题:第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过程 或演算步骤. 17.(12 分)

BC BD AC AD ? ? , , sin?CDB sin?BCD sin?CDA sin?ACD 即 BC sin?BCD ? BDsin?CBD , AC sin?ACD ? ADsin?CDA , 又∵ CD 是 AB 边上的中线且 AC ? 2 BC ,∴ sin?BCD ? 2sin?ACD (Ⅱ)∵ ?ACD ? 30? ,由(Ⅰ) ?BCD ? 90? ,∴ ?ACB ? 120 ? ,
(Ⅰ)由正弦定理得: 由余弦定理得 AB ? 分

?6 分

AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC cos?ACB ? 4 ?1? 2 ? 7 ?12

18.(12 分) (Ⅰ)折叠前有 AD ? AE, CD ? CF ,折叠后有 A 1D ? A 1 E, A 1D ? A 1F , 又A 1E ? A 1F =A 1 ,所以 A 1EF ,∴ A 1 D ? 平面 A 1 D ? EF ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 A1D ? 面 A1EF ,又由 BE ? BF ,所以 A1E ? A1F , 以 A1 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,则 ?5 分

A1 ?0, 0, 0? , F ?1, 0, 0? E ?0, 1, 0? D ?0, 0, 2?
得 A1E ? ?0, 1, 0? , DF ? ?1, 0, ? 2?, DE ? ?0, 1, ? 2? ,

???? ? 1? ?n ? DE ? 0 ? 设平面 DEF 的法向量为 n = ? x, y, z ? ,由 ? ???? 得 n = ?1,1, ? , 2? ? ? ?n ? DF ? 0

???? A1E ? n 2 DEF 所成角为 ? ,得 sin ? ? ???? 设直线 A ? , 1E 与平面 A1E n 3
DEF 所成角的正弦值为 所以直线 A 1E 与平面
19.(12 分) ( Ⅰ

2 . 3

?12 分



x ? ?4 ?

?

?
2

?

?

?

?
2

5?

?

?

?
2

??

? 67

0

s 2 ? ? 45 ? 67 ? ? 0.01?10 ? ? 55 ? 67 ? ? 0.02 ?10 ? ? 65 ? 67 ? ? 0.03 ?10 ? ? ? 75 ? 67 ? ? 0.025 ?10 ? ? 85 ? 67 ? ? 0.01?10 ? ? 95 ? 67 ? ? 0.005 ?10 ? 166
2 2 2

∴ s ? 166 ? 13

?6 分

(Ⅱ)依题意 X ~ N ?67,13? , P?? ? 2? ? x ? ? ? 2? ? ? P?41? x ? 93? ? 0.954,

1 ? 0.954 ? 0.023 ,∵ Y ? B ?50,0.023? , 2 ∴ EY ? 50 ? 0.023 ? 1.15
∴ P? x ? 93? ? 20.(12 分)

?12 分

(Ⅰ)过 A, B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,易知 AF ? AA 1 , BF ? BB 1,

O 是 HF 的中点, ∵ BF ? 2 AF ,∴ BB 1 ? 2 AA 1 ,∴ A 为 HB 的中点,又
∴ AO 是 ?BHF 的中位线,∴ AO ?

1 p ?p ? BF ? AF ,而 F ? ,0 ? ,∴ x A ? , 2 4 ?2 ?

∴ yA ? 2 p ?
2

?p p p2 2p ? 2 ? p ? ? , yA ? ? ,而 H ? ? , 0 ? ,? p ,∴ A ? ? ? ? 2 ? 4 2 2 ? 2 ? ?4

∴ k AB ? k AH ?

yH ? y A 2 2 ; ?? xH ? xA 3

?6 分

(Ⅱ)∵ A 为 HB 的中点, O 是 HF 的中点, ∴ S?ABF ? S?AHF ? 2S?AHO ? 2 ? ∴抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . 21.(12 分) (Ⅰ) f ? ? x ? ?

2 2 1 2 2 p ? 2 ,∴ p ? 2 , OH ? y A ? p ,∴ 4 2 4
?12 分

x ? ax ? a ? 1? 1 ? 1 ? ax ? ? x ? ?1? x ?1 x ?1 x2 ? 0 ,∴ f ?x ? 在 ?? 1,??? 上递增, x ?1
1? a 1? a ? x ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ? ?1 ? x ? 或x ?0 a a
?5 分

当 a ? 1 时, f ? ? x ? ?

当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ? ∴ f ?x ? 的递增区间为 ? ? 1,

? ?

1? a ? ?1? a ? ,0 ? ; ? 和 ?0,??? ,递减区间为 ? a ? ? a ?

(Ⅱ) ∵ f ?0? ? 1 ,f ? ? 0? ? 0 ∴ x ? 0 处的切线为 y ? 1 , 依题意方程 f ?x ? ? 1 仅有一个根, 即 g ? x ? ? f ? x ? ? 1 ? ln ? x ? 1? ? x ?

1 2 ax 仅有一个零点; 2

而 g ? ? x ? ? f ? ? x ? , g ?0? ? 0 ,由(Ⅰ)知当 a ? 1 时, g ?x ? 在 ?? 1,??? 上递增, ∴此时 g ?x ? 仅有一个零点 x ? 0 , 即 f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线与其只有一个公共点 当 a ? 1 时, g ?x ? 在 ? ? 1,

? ?

1? a ? ?1? a ? ,0 ? 上单调递减, ? 和 ?0,??? 上单调递增,在 ? a ? ? a ?

1? a ? x ? 0 时,有 g ?x ? ? 0 ; a 1? a a 2 1 当 ?1 ? x ? 时,∵ y ? ? x ? x 的对称轴 x ? ? ?0,1? a 2 a a a a ∴ y ? 1 ? ? 1 ? ? g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 1 ? , 2 2 2
又∵ g ? 0 ? ? 0 ,∴当 x ? 0 或

取 t ? min ?

a a ?1? ? ?1? ?1 ? a , ?1 ? e 2 ? ,当 ? 1 ? x0 ? t 时, 0 ? 1 ? x0 ? e 2 ; ? a ?
?1? a 2

∴ g ? x0 ? ? ln e

?1?

a ? 0 ,∴ g ? x ? 在 ?? 1,0? 上也存在一个零点, 2

∴ a ? 1 时 g ? x ? 不止一个零点, 即 a ? 1 时 f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线与其不止一个公共点 综上所述:a ? 1 . 22. (10 分) (Ⅰ)由已知: OB ? 4cos ? ? ? ?12 分

? ?

??

?? ? ? , OC ? 4cos ? ? ? ? , OA ? 4cos ? 4? 4? ?

∴ OB ? OC ? 4cos ? ? ? (Ⅱ)当 ? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? 4cos ? ? ? ? ? 8cos ? cos ? 2 OA ?5 分 4? 4? 4 ?
?
4 ?

?
12

时,点 B ,C 的极角分别为 ? ?

?
3

,? ?

?
4

??

?
6

,代入曲线 M 的方

程得点 B ,C 的极径分别为: ?B ? 4cos

?

? ?? ? 2, ?C ? 4cos ? ? ? ? 2 3 3 ? 6?

∴点 B ,C 的直角坐标为: B 1, 3 ,C 3, ? 3 ,则直线 l 的斜率为 k ? ? 3 , 方程为 l : 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,与 x 轴交与点 ? 2, 0 ? ; 由l :?

?

? ?

?

?x ? m ? t cos ? ,知 ? 为其倾斜角,直线过点 ? m ,0? , ? y ? t sin ?
2? 3
?10 分

∴ m ? 2, ? ? 23. (10 分)

?1 ? 3x ?x ? 0 ? ? (Ⅰ) f ?x ? ? ?x ? 1 ?0 ? x ? 1? , ?3x ? 1 ?x ? 1? ?
当 x ? 0 时,由 f ?x ? ? 4 得 ? 1 ? x ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时,由 f ?x ? ? 4 得 0 ? x ? 1 ; 当 x ? 1 时,由 f ?x ? ? 4 得 1 ? x ?

5 ; 3

综上所述,当 a ? ?1 时,不等式 f ?x ? ? 4 的解集为 ?? 1, ? ; 3

? ?

5? ?

?5 分

(Ⅱ)∵ f ?x ? ? 2x ? x ? a ? 2x ? ?x ? a ? ? x ? a ,∴ 2x ?x ? a ? ? 0 , 当 a ? 0 时, x ? 0 ; 当 a ? 0 时, ? a ? x ? 0 ; 当 a ? 0 时, 0 ? x ? ?a .

?10 分

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分


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