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高考数学复习专题讲座:第八讲 运用数学思想方法解题的策略


高考数学复习专题讲座:第八讲 运用数学思想方法解题的策略
第一节 运用函数与方程思想解题的策略
函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查,一直是高考的重点内容之一.高考试 题中,既有灵活多变的客观性小题,又有一定能力要求的主观性大题,难度有易有难,可以说是贯穿了数 学高考整份试卷.高考中所占比重比较大,与函数相关的试题所占比例始终在 20%左右,

难度值一般控制在 0.3 ~ 0.7 之间. 考试要求:考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识 分析问题和解决问题能力.函数思想主要有: (1)引入变量,确定函数关系;(2)选定主元,揭示函数关 系;(3)选取变元,构造函数关系;(4)实际问题,建立函数关系;(5)特殊函数,转化函数关系.方程 思想主要有: (1)待定系数求解方程;(2)分类思想讨论方程;(2)变量代换构造方程. 题型一 构造函数和方程解题 例 1.已知

5b ? c ( ,则有( ? 1, a 、 b 、 c ? R ) 5a
B. b
2

).

A. b

2

? 4ac

? 4ac

C. b

2

? 4ac
2

D. b

2

? 4ac

点拨:方法一通过化简,敏锐地抓住数与式的特点: 5 看作是方程 ax

? bx ? c ? 0 的一个实根,

2 再利用一元二次方程有实数根的充要条件 ? ? 0 求得;方法二转化为 b 是 a 、 c 的函数,运用重要不等式

解题. 解:方法一:依题设有 5a ? 根; ∴?

5b ? c ? 0
∴ b ? 4ac
2

∴ 5 是实系数一元二次方程 ax 故选 B.

2

? bx ? c ? 0 的一个实

? b 2 ? 4ac ? 0

方法二:去分母,移项,两边平方得:

5b2 ? 25a 2 ? 10ac ? c 2 ? 10ac ? 2 ? 5a ? c ? 20ac ∴ b 2 ? 4ac 故选 B.
易错点:不能合理地转化为 b 是 a 、 c 的函数或构造 ax
2

2

? bx ? c ? 0 来解题.

变式与引申 1:(2009 年山东文科第 12 题)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 [0, 2] 上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) ). B. f (80) ? f (11) ? f ( ?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

题型二 函数、方程、不等式三者之间的相互转化 例 2.(1)已知 f (t ) ? log2 , t ?[ 2,8] ,对于 f (t ) 值域内的所有实数 m ,不等式
t

x 2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围.

1

(2) (2008 年广东理科第 14 题)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ?

1 4

? a ? 0 有实根,则 a 的取值

范围是 . 点拨: (1)首先明确本题是求 x 的取值范围,这里注意另一个变量 m ,不等式的左边恰是 m 的一次 函数, 因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中, 选准 “主元” 往往是解题的关键. (2) 求参数 a 的范围,可以先将 a 分离出来,表示为 x 的函数,求出函数的值域,进而得到参数 a 的范围. 解: (1)∵ t ?[ 2,8] ,∴ f (t ) ? [ ,3] ,从而 m ? [ ,3] 原题转化为: m( x ? 2) ? ( x ? 2)2 ? 0 恒成立,为 m 的一次函数(这里思维的转化很重要) 当 x ? 2 时,不等式不成立.∴ x ? 2 . 令 g ( m) = m( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 为 m 的一次函数, m ? [ ,3] ,问题转化为 g ( m) 在 m ? [ ,3] 上恒大于 0,

1 2

1 2

1 2

1 2

? 1 ?g ( ) ? 0 则? 2 ,解得: x ? 2 或 x ? ?1 ? g (3) ? 0 ?
(2)方程即 a ? 当a?

1 1 1 1 1 1 ? a ? ? x 2 ? x ? ?( x ? )2 ? ? [0, ] ,即 a ? ? a ? 4 2 4 4 4 4

(*)

1 1 1 1 1 1 1 时, (*) 变为 2a ? ? ? a ? ,故 a 无解;当 0 ? a ? 时, (*) 变为 ? a ? a ? ,故 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 a ? [0, ];当 a ? 0 时, (*) 变为 ? a ? a ? ? a ? 0 ,故 a 无解;综上所述, a 的取值范围是 [0, ] 4 4 4 4
易错点: “主元”的选取容易选错,误认为是关于 x 的二次函数,导致错误; (1) (2)不能将方程问题

转化为函数问题来解,解绝对值不等式 a ?

1 4

?a ?

1 4

时分类不清.

2 变式与引申 2: 设不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对于满足 m ? 2 的所有 m 的值都成立, x 的取值范围. 求

题型三 函数与方程在解析几何中的应用 例 3.(2010 年福建理科第 17 题)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F (2, 0) 为其 右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 是否存在平行于 OA 的直线 l , 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 点拨: (1)由右焦点的坐标 F (2, 0) 求得 c ,设左焦点为 F ? ,由椭圆的定义求得 2a ? AF ? AF? , 进而得到椭圆 C 的方程; (2)假设直线存在,设出直线方程,并将直线方程和椭圆的方程联立,表示出直 OA 与 l 的距离,由距离等于 4 列方程解得. 线 解: (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且左焦点为 F?(?2, 0) , a 2 b2

2

从而有 ?

?c ? 2 ? c ? 2, ? ,解得 ? ? 2a ? AF ? AF ? ? 3 ? 5 ? 8 ? a ? 4. ?
2 2 2

又 a ? b ? c ,所以 b ? 12 ,故椭圆 C 的方程为
2

x2 y 2 ? ?1 16 12

(2)假设存在符合题意的直线 l ,其方程为 y ?

3 x?t 2

3 ? y ? x?t ? ? 2 2 2 由? 2 得 3x ? 3tx ? t ? 12 ? 0 ,因为直线 l 与椭圆有公共点, 2 ?x ? y ?1 ? 16 12 ?
所以有 ? ? (3t ) ? 4 ? 3? (t ?12) ? 0
2 2

解得 ?4 3 ? t ? 4 3

另一方面,由直线 OA 与 l 的距离为 4,可得

t 9 ?1 4

? 4 ,从而 t ? ?2 13

由于 ?2 13 ?[?4 3, 4 3] ,所以符合题意的直线 l 不存在. 易错点:忽略 ? ? 0 .

0) 1) 变式与引申 3: 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点, 直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相
交于点 D ,与椭圆相交于 E 、 F 两点. (1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 题型四 应用函数与方程研究实际问题 例 4.(2010 年湖北理科第 17 题)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需 要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物 每年的能源消耗费用 C(单位: 万元) 与隔热层厚度 x(单位: ) C cm 满足关系: ( x) ?

??? ?

????

k (0 ? x ? 10) , 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值. 点拨: (1)利用赋值法,把特殊点 (0, 8) 代入 C ( x) ?

k (0 ? x ? 10) ,求出 k .由 f ( x) 为隔热层建造 3x ? 5

费用与 20 年的能源消耗费用之和,列出 f ( x ) 的表达式.(2)利用导数基础知识求 f ( x ) 的最小值.

3

解: (1)设隔热层厚度为 xcm ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 由 C (0) ? 8 ,得 k ? 40 ,因此 C ( x) ?

k 3x ? 5

40 ,而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x 3x ? 5

故隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) ? 20 ? C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(2) f ?( x) ? 6 ? 解得 x ? 5, x ? ?

40 800 ? 6x ? ? 6 x (0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

2400 2400 ,令 f ?( x) ? 0 ,即 ?6 2 (3x ? 5) (3x ? 5)2

25 (舍去) 3

当 0 ? x ? 5 时, f ?( x) ? 0 ,当 5 ? x ? 10 时, f ?( x) ? 0 故 x ? 5 是 f ( x ) 的最小值点,对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ? 当隔热层修建 5cm 厚时,总费用 f ( x ) 达到最小值 70 万元. 易错点:不能正确领悟 C (0) ? 8 的含义;求函数 f ( x) ?

800 ? 70 15 ? 5

800 ? 6 x 的导数时易发生错误. 3x ? 5

变式与引申 4:某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船 位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速 行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (3)是否存在 v ,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存 在,试确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由. 本节主要考查: (1)本节考查的是函数与方程的思想方法; (2)主观题即选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算,解答题中,则是更深层次地在知识网 络的交汇处、从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查. 点 评: 1.函数思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运 用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解 方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质 认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中 的等量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y ? f ( x) ,当 y ? 0 时,就转化为方程 f ( x) ? 0 ,也可以 把函数式 y ? f ( x) 看做二元方程 y ? f ( x) ? 0 .函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来 求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程 f ( x) ? 0 ,就是求函数 y ? f ( x) 的零点. (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y ? f ( x) ,当 y ? 0 时,就转化为不等式 f ( x) ? 0 ,借 助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式. (3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要.
4

(4) 函数 f ( x) ? (ax ? b) n ( n ? N )与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系 数法可以解决很多二项式定理的问题. (5) 解析几何中的许多问题, 例如直线和二次曲线的位置关系问题, 需要通过解二元方程组才能解决, 涉及到二次方程与二次函数的有关理论. (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加 以解决.
*

习题 8-1
1.(2008 年四川文科第 9 题)函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? ( A. 13 B. 2 C. )

13 2

D.

2 13

2.(2010 年天津理科第 16 题)设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
3.已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,求 a ? 2b 的取值范围.

.

4.(2010 年江苏第 14 题)将边长为 1 m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是
2 (梯形的周长) 梯形,记 S ? ,求 S 的最小值. 梯形的面积

5.(2010 年浙江理科第 21 题) 已知 m ? 1 ,直线 l : x ? my ? 为椭圆 C 的左、右焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程;

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别 2 m
y

A (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF F2 , VBF F2 1 1 F1 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内, 求实数 m 的取值范围. B 图 8-1 O F2 x

第二节

运用数形结合思想解题的策略

数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为 形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想,不 仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中 更显其优越.
5

考试大纲的说明中强调: “在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特点,为考查数形结合的思想 提供了方便, 能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识, 而在解答题中, 考虑到推理论证的严密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,解答题中 对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.” 考试要求 展望 2011 年高考考查数形结合思法,可能会与以下内容为载体来命题:①函数与图象的 对应关系;②曲线与方程的对应关系;③以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如三角函数等; ④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 题型一 数形结合在函数与方程中的应用
2 2 例 1.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,试求使方程 loga ( x ? ak) ? loga2 ( x ? a ) 有解的实数 k 的取值范围.

点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解, 从而确定出 k 的取值范围. 解:原方程等价于 0 ? x ? ak ? 构造曲线 C : y ?

x2 ? a2

x2 ? a 2 ,直线 l : y ? x ? ak 从而使问题转化为直线 l 和双曲线 C : x2 ? y 2 ? a2 ( y ? 0 )
y l3 l2 l1

在 x 轴上半部分有交点,求实数 k 的取值范围,如图 8-2 所示: 有三条临界直线 l1 、 l2 、 l3 ①当 l 在 l1 和 l2 之间时,直线 l 在 y 轴上的截距

? ak 满足 ?a ? ?ak ? 0 时, l 与 C 有一个交点, 解之可得 0 ? k ? 1
②当 l 在 l3 上方时,直线 l 在 y 轴上的截距 ? ak 满足

o

x

a ? ?ak 时, l 与 C 有一个交点,解之可得 k ? ?1
综合①②可得,所求 k 的取值范围是 k k ? ?1或0 ? k ? 1

图 8-2

?

?

易错点: 解方程时很可能扩大 x 的取值范围,另外数形结合不会利用双曲线渐近线. 变式与引申 1:求函数 y ? x2 ? | x ? a | ?1 的值域. 题型二 数形结合在不等式中的应用 例 2.(2009 年江西文科第 15 题)若不等式 4 ? x 2 ? k ( x ? 1) 的解集为区间 [ a, b] ,且 b ? a ? 1 , 则k ? .

点拨:通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点. 解:令 y1 ?

4 ? x 2 , y2 ? k ( x ? 1) .其示意图如图 8-3:

y 2
(1, 3)

3 3 ? 若 k ? 0 ,要满足 y1 ? y2 ,则 b ? 2 ,此时 a ? 1 .从而 k ? . 1?1 2
-2 若 k ? 0 ,要满足 y1 ? y2 ,则 a ? ?2 .则 b ? a ? 1 ? ?1 ,从而 k 不存在. 图 8-3 -1 1

2

x

6

易错点:如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻. 变式与引申 2: (2010 年陕西理科第 15 题)不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 的解集为 题型三 数形结合在平面向量中的应用 例 3.在 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 3 ,G 为外心,求 AG ? BC 的值. A 点拨:结合图形,利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题. 解:如图 8-4 所示,? AG ? AB ? BG ? AC ? CG .

???? ??? ?

????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? 1 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 1 ??? ???? ??? ???? ? ? ? AG ? ( AB ? AC ? BG ? CG ) ? ( AB ? AC ? GB ? GC ) 2 2 ??? ??? ? ? ???? ???? ??? ? 设 BC 的中点为 O ,则 GB ? GC ? 2GO ,且 GO ? BC ? 0

G O

C

B

???? ??? 1 ??? ???? ???? ??? 1 ??? ???? ??? ? ? ? ? ? 图 8-4 ? AG ? BC ? ( AB ? AC ? 2GO) ? BC ? ( AB ? AC ) ? BC 2 2 ? ? 1 ???? 2 ??? 2 ? 1 ??? ???? ???? ??? 7 ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB ) ? ? . 2 2 2 ? ???? ???? ??? ? 1 ??? ???? ???? 易错点:不能将 AG 表示成 ( AB ? AC ? 2GO) ,不能发现 GO 与 BC 的垂直关系. 2 变式与引申 3: (1)如图 8-5, OM ?? AB ,点 P 在由射线 OM 、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影 ??? ? ??? ? ??? ? 1 区域内(不含边界)运动,且 OP ? xOA ? yOB ,则 x 的取值范围是 ;当 x ? ? 时, y 的取值范围 2
是 . P M B

图 8-5 (2) 如图 8-6,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是 ? 三等分点,M 、N 是线段 AB 的三等分点.若 OA ? 6 , AB 则 MD ? NC 的值是( A.34

O

A

???? ???? ?

) B.26 C.10 D.2 A

D

C

题型四 数形结合在解析几何中的应用 例 4.求函数 y ?

M O N 图 8-6

B

x ? 1 ? x ? 4 x ? 8 最小值.
2 2

点拨:由题意可知,函数的定义域为 R ,若从代数角度考虑,确实比较复杂;若借助两点间的距离公 式,转化为几何问题,则非常容易解决 解: y ?

x2 ? 1 ? x2 ? 4 x ? 8 ?

? x ? 0? ? ? 0 ?1?
2

2

?

? x ? 2? ? ?0 ? 2?
2

2

y B(2,2)

令 A(0,1) , B (2, 2) , P ( x, 0) 则问题化为:在 x 轴求一点 P ( x, 0) ,使得 P A ? P B 取最小值 A(0,1)

x

7

A???? ???
图 8-7

? A 关于 x 轴的对称点为 A???? ???
? P A ? PB ?

?

? A? B ?
min

?2 ? 0?2 ? ?2 ? 1?2

? 13

易错点:如果用代数方法(如两边平方等)去求解问题, 往往会陷入其中,不得其解.而将代数问题几何化则使问题 变得容易解决. 变式与引申 4:(1)平面直角坐标系中,若方程 m( x2 ? y 2 ? 2 y ? 1) ? ( x ? 2 y ? 3)2 表示椭圆,则实数 m 的 取值范围是( A. (0,5) ). B. (1, ??) C. (0,1) D. (5, ??)

(2) 已 知 x1 ? x2 ? x3 ?0 , 则 a ? ( ). A. b ? a ? c

log 2 (2 x3 ? 2) log 2 (2 x1 ? 2) log 2 (2 x2 ? 2) 的大小关系是 , b? , c? x2 x1 x3
C. a ? b ? c D. c ? a ? b

B. a ? b ? c

本节主要考查:数形结合思想一方面考查学生对数学的符号语言、图形语言的理解能力,另一方面考 查学生的构图能力以及对图形的想象能力、综合应用知识等能力. 点 评:(1)数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系 来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法,它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化,“数缺 形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质. (2)函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是 “以形示数” ,而解析几何的方程、 斜率、距离公式,向量的坐标表示则是“以数助形” ,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供 了“数形结合”的知识平台. (3)在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数 形结合的习惯,解题先想图,以图助解题.用好数形结合的方法,能起到事半功倍的效果, “数形结合千般 好,数形分离万事休”. (4)是否选择应用数形结合的原则是:是否有利于解决问题,用最简单的办法解决问题为最终目的. 习题 8-2 1.若 | x ? a | ? A. a ? 2

1 1 ? 对一切 x ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是( x 2 3 B. a ? C. a ? 1 2

). D. a ?

1 2

? x ? y≥ 0 ? 2 2.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y≥ 0 ,( a 为常数)表示的平面区域的面积是 4,则 x ? y 的最小值 ? x ≤a ?
为 .
8

x2 y 2 3.已知 A(1,1) 为椭圆 ? ? 1 内一点, F1 为椭圆左焦点, P 为椭圆上一动点,求 PF ? PA 的最大值 1 9 5
和最小值. 4.已知曲线 C1 :

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 与抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的交点分别为 A、B (如图 2 a b

8-8) ,曲线 C1 与抛物线 C2 在点 A 处的切线分别为 l1、l2 ,且 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2 .

2a 2 (1)求证: k1k2 ? ? 2 ; b
(2)若直线 l2 与 y 轴的交点为 D(0, ?2) ,当 a ? b 取得最小
2 2

y

A O

B x

值 9 时,求曲线曲线 C1 与 C2 的方程.

l1

D

l2
图 8-8

5.已知二次函数 h( x) ? ax2 ? bx ? c (其中 c ? 3 ) ,其导函数 y ? h?(x) 的图象如图 8-9 所示, f ( x) ? 6 ln x ? h( x) . (1)若 f (x) 在区间 ( m, m ?

y

1 ) 上是单调函数,求实数 m 的取值范围; 2

O

4

x

(2)若对任意 k ? [?1, 1] ,函数 y ? kx , x ? (0, 6] 的图象总在函数 y ? f (x) 的图象 的上方,求 c 的取值范围.

-8 图 8-9

第三节

运用分类讨论思想解题的策略

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思 维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置,在选择题、填空题、解答 题中都会涉及到分类讨论的思想方法,其难度在 0.4~0.6 之间. 考试要求: 《考试说明》强调,对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行,通过数学 知识的考查,反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时,要从学科整体意识和思想含义上立 意,注意通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程 度. 题型一 由概念引起的分类讨论

??? ??? ? ? 求证: “如果直线 l 过点 T (3, 0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题.

例 1.平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A 、 B 两点.
2

点拨: (1)联立直线和抛物线,根据向量数量积定义,利用根与系数的关系,可求得 OA ? OB ? 3 ; (2) 设直线方程时须考虑直线斜率是否存在.
9

??? ??? ? ?

证明:设过点 T (3, 0) 的直线 l 交抛物线 y 2 ? 2 x 于点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (1) 当直线 l 的钭率不存在时, 直线 l 的方程为 x ? 3 ,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6), B(3, ? 6) . ∴ OA ? OB ? 3 . (2)当直线 l 的斜率存在时,设过点 T (3,0) 的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) , 由?

??? ??? ? ?

? y2 ? 2x ? y ? k ( x ? 3)

得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y2 ? ?6

??? ??? ? ? 1 2 1 2 1 y1 , x2 ? y2 , ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? 3 , 2 2 4 ??? ??? ? ? 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T (3, 0) ,那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题;
又 ∵ x1 ? 易错点: (1)在本例中,非常容易遗漏当直线 l 的斜率不存在时对命题的论证,习惯性地设直线 l 的方程 为 y ? k ( x ? 3) ,直接求得 OA ? OB ? 3 ,从而证明命题是真命题.显然这种证法是不严密的.(2)此题是 由概念引起的分类讨论,相关的题目很多,如集合是否为空集的讨论;指数函数、对数函数底数的讨论; 公比 q 、斜率 k 的讨论等.
2 变式与引申 1: (1)已知集合 A ? x | x ? 9 x ? 18 ? 0 , B ? ? x | a ? 1 ? x ? 2a? ,若 B ? A 时,则实

??? ??? ? ?

?

?

数 a 的取值范围是____________. (2)在等比数列 ?an ? 中, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? a1 ? a2 ?a3 , Pn ?

1 1 1 ? ?? ,求证: a1 a2 an

? Sn ? 2 ? ? ? Tn . ? Pn ?
题型二 由参数引起的分类讨论 例 2.(2006 全国Ⅰ卷第 21 题) 已知函数 f ? x ? ?

n

1 ? x ? ax e . 1? x

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围. 点拨: 此题是与导数有关的一类问题, (1) 思路为: f ( x ) 导函数, 求 判断 f ?( x ) 的符号, 再判断函数 f ( x ) 的单调性,根据最值原理,求出 f min ( x) ,由 f min ( x) ? 1 ,求出 a 的取值范围; (2)由于该题存在参数 a , 因此应对参数 a 进行分类讨论. 解:(Ⅰ)由题意可知 f ( x ) 的定义域为 (??,1) ? (1, ??) .对 f ( x ) 求导数得 f ?( x) ?

ax 2 ? 2 ? a ? ax e . (1 ? x)2
10

(ⅰ)当 a ? 2 时, f ?( x) ?

2 x 2 ?2 x ?? ,且只在 x ? 0 e ,由 f ?( x) ? 0 的解为 x ? ( ??, 0)? (0,1)? (1, ) (1 ? x)2

时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,1) , (1, ??) 为增函数. (ⅱ)当 0 ? a ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??,1) , (1, ??) 为增函数.

(ⅲ)当 a ? 2 时, 0 ?

a?2 a?2 a?2 ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ? . , x2 ? a a a

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(??, ?

a?2 ) a

(?

a?2 a?2 , ) a a


(

a?2 ,1) a


(1, ??)

f ' ( x)
f ( x)













f ( x) 在 (??, ?

a?2 a?2 a?2 a?2 ), ( ,1) , (1, ??) 为增函数, f ( x) 在 (? , ) 为减函数. a a a a

综上所述

当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 (??,1) , (1, ??) 为增函数.

当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (??, ?

a?2 a?2 a?2 a?2 ), ( ,1) , (1, ??) 为增函数, f ( x) 在 (? , ) 减函数. a a a a

(Ⅱ)(ⅰ)当 0 ? a ? 2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x ? (0,1) , f ( x ) 为增函数,所以恒有 f ( x) ? f (0) ? 1 .

(ⅱ)当 a ? 2 时, 取 x0 ?

1 a?2 ? (0,1) ,则由(Ⅰ)知 f ( x0 ) ? f (0) ? 1 ,不符题意,舍. 2 a
1? x 1 ? x ? ax 1 ? x ? 1 且 e ? ax ? 1,得 f ? x ? ? e ? ?1. 1? x 1? x 1? x

(ⅲ)当 a ? 0 时, 对任意 x ? (0,1) ,恒有

综上可得,当且仅当 a ? (??, 2] 时,对任意 x ? (0,1) 恒有 f ( x) ? 1 .
2 易错点: (1)该题关键是讨论 ax ? 2 ? a 的正负,当 a ? 2 时,由 f ?( x) ? 0 求单调曾区间时易忽视定义

11

域 x ? 1 的要求; (2)在(Ⅱ)中,当 a ? 2 时,易陷入求 f min ( x) 复杂计算中去,不能充分利用(Ⅰ)中的 单调性迅速作出判断. 变式与引申 2: (1)解关于 x 的不等式: ax ? x ? a ? 1 ? 0 .
2

(2)设 k 为实常数,问方程 (8 ? k ) x 2 ? (k ? 4) y 2 ? (8 ? k ) ? (k ? 4) 表示的曲线是何种曲线? 题型三 由自变量引起的分类讨论 例 3.若不等式 a( x ? 1) ? x2 ? 1 在 x ? (?2,1) 内恒成立,求实数 a 的取值范围. 点拨:该题是恒成立问题,其实就是求最值问题,由于 x ? (?2,1) , x ? 1 的符号不确定,因此在参变量分 离时应对 x 范围进行分类讨论. 解:令 f ( x) ?

x2 ? 1 ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 2 2 ? ( x ? 1) ? ?2 ,则 f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1

(1)当 ?1 ? x ? 1 时, 0 ? x ? 1 ? 2 ,则 a ? f ( x) , 而此时 f ( x) ? 2 2 ? 2 ,∴ a ? 2 2 ? 2 ; (2)当 ?2 ? x ? ?1 时, ?1 ? x ? 1 ? 0 ,则 a ? f ( x) , 而此时 f ( x) ? ?5 ,∴ a ? ?5 ; (3)当 x ? ?1 时,原不等式化为 0 ? 2 恒成立. 综上所述, a 的取值范围是 [?5, 2 2 ? 2) . 易错点: (1)该题在参变量分离时经常会不考虑自变量 x 的取值范围,直接化为 a ?

x2 ? 1 ,求得 x ?1

a ? 2 2 ? 2; (2)在分类讨论后,往往没有把最后结果取交集.审题时一定要分清讨论的目标是自变量还
是参数,当讨论自变量时结果取交集,当讨论参数时注意分情况写出. 变式与引申 3: (1)设 f ( x ) = ? A. (1, 2) ? (3, ??)

?2e( x ?1) ( x ? 2) ? ,则不等式 f ( x) ? 2 的解集为( 2 ?log 3 ( x ?1) ( x ? 2) ?
C. (1, 2) ? ( 10, ??)
2 3 n



B. ( 10, ??)
*

D. (1, 2) .

(2)已知 x 是不为零的实数, n ? N ,则 x ? 2 ? x ? 3 ? x ? ? ? n ? x ? 题型四 由运算引起的分类讨论 例 4.(2009 年江西文科第 21 题)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,求 3 3

Sn .
点拨:因为 cos
2

n? n? 2n? n? 2 n? ? sin 2 ? cos ? sin 2 } 是以 3 为周期的数列,因此, ,所以 {cos 3 3 3 3 3
12

在数列求和时应分三类进行讨论.

解:(1)当 n ? 3k , k ? N 时, S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k )
*

? (?
?

12 ? 22 42 ? 52 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 ) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) 2

* (2)当 n ? 3k ? 1 , k ? N 时, S3k ?1 ? S3k ? a3k ?

(3)当 n ? 3k ? 2 , k ? N 时, S3k ? 2
*

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ? ? ? ?k ? ? ? 2 2 2 3 6

n 1 ? ? ?3?6 ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) 综上所述, S n ? ? 6 ? ? n(3n ? 4) ? 6 ?

(n ? 3k ? 2) (n ? 3k ? 1) ( n ? 3k )
*

(k ?N )
*

易 错 点 : )首 先 该题 不 容易 发现 该如 何进行 分 类讨 论; 2) 其次, 当 n ? 3k , k ? N 时 , (1 (

a3k ? (3k )2 ? 9k 2 ,误认为 S3k ? a1 ? a3 ? ? a3k ? 9(12 ? 22 ? ? k 2 ) ? 3 ?
的结论要么没有整合,要么不知该如何整合?正确的整合方法如下:

k (k ? 1)(2k ? 1) ; (3)最后,Sn 2

n ?1 n ?1 (4 ? 9 ? ) n ?1 3 3 ? (n ? 1)(1 ? 3n) ,以此类推,可求得其他情况的 S . 当 n ? 3k ? 1 时,k ? ,Sn ? n 3 2 6
变式与引申 4: (1)若 an ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,求数列 {a n } 的前 n 项和 Sn . (2)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n 2 .求数列 ?| an |? 的前 n 项和 Tn . 本节主要考查: (1)本节考查的是分类讨论的数学思想方法,高中数学的每一个知识点都可能成为 分类讨论考查的对象,因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.(2)分类讨论的原 则有:同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 同一性原则简言之即“不遗漏” ;互斥性原则强调的是“避 免重复” 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆. ; (3) 分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使 “大” 问题转化为“小”问题,便于求解.它的思维策略是“化整为零,各个击破”. 点评: (1)分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法,在近几年的高考试题 中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查,体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具 有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点,而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生 有一定的分析能力、一定分类技巧,对学生能力的考查有着重要的作用. (2)引入分类讨论的主要原因 ①由数学概念引起的分类讨论:如绝对值的定义、直线的斜率等;
13

②由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等; ③由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; ④由图形的不确定引起的分类讨论;⑤由参数的变化引起的分类讨论;⑥按实际问题的情况而分类讨论. (3)分类讨论的思想方法的步骤:(1)确定标准;(2)合理分类;(3)逐类讨论;(4)归纳总结 (4)解题时把好“四关” ①要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关” ; ②要找准划分标准,把好“分类关” ; ③要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关” ; ④要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.

习题 8-3
1.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 2.数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 =_________ 3 3

3.已知集合 A ? {x | x2 ? ax ? 4 ? 0, x ? R, a ? R}, B ? {?1, 2, 4} ,若 A ? B ,求 a 的取值范围. 4.已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数

? (? ? 0) .求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
5.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x , a ? 1 . 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

第四节

运用等价转换思想解题的策略

等价转换是四大数学思想之一,在研究和解决中较难数学问题时,采用等价转换思想,将复杂的问题 等价转换为简单的问题,将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题,将未解决的问题等价转换为已解 决的问题.近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识,等价转换思想的应用在近几年来高考试 题中处处可见,是解高考试题常用的数学思想,难度值一般控制在 0.3 ? 0.7 . 考试要求: (1)了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则; (2)了解等价转换思想在解题中的 作用; (3)掌握等价转换的主要途径、方法; (4)掌握几种常见的等价转换思路,灵活运用等价转换思想 解决数学难题. 题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换 例 1.(1)求 sin 20 ? cos 80 ? 3 sin 20 cos80 的值;
2 o 2 o o o

(2)求函数 y ? sin x ? 1 ? cos2 x 的最大值. 点拨: (1)利用所求式与余弦定理类似,再结合正弦定理的推论求值; (2)将函数最值问题转换为向 量数量积问题,由数量积的不等式性质,求出 y 最大值. 解: (1)注意到所求式与余弦定理类似,由

14

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? 2sin A sin B cos C
1 . 4 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)构造向量 a ? (1,1), b ? (sin x, 1 ? cos 2 x ), 则 | a |?| b |? 2 ,由 | a ? b |?| a || b | 知,
∴原式= sin 20 ? sin 10 ? 2sin 20 sin10 cos150 ? sin 150 ?
2 o 2 o o o o 2 o

? ? ? ? | y |?| sin x ? 1 ? cos2 x |?| a ? b |?| a || b |? 2 , ? ? ∴ ymax ? 2 ,当且仅当 a 与 b 共线且方向相同时,
即 sin x ? 1 ? cos x ? cos 2 x ? ?1 ? x ? k? ?
2

?
2

, k ? Z 时等号取得.

易错点:在本例的两个小题中: (1)若利用三角恒等变形,过程较为复杂,思路容易受阻; (2)容易想到用换元法和三角恒等变形求函数的最大值,不能联想到平面向量的数量积,计算容易出错, 解题思路容易受阻. 变式与引申 1:已知 a, b, m ? R? ,且 a ? b ,求证:

a?m a ? . b?m b

题型二 函数、方程及不等式解题中的等价转换 例 2.(1)若 a 、 b 是正数,且满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围. (2)已知奇函数 f ( x ) 的定义域为实数集 R ,且 f ( x ) 在 [0, ? ?) 上是增函数,当 0 ? ? ?

?
2

时,是否存在这

? ? 样的实数 m ,使 f (cos 2 ? 3) ? f (4m ? 2m cos )? f (0)对所有的 ? ? [0,

?
2

] 均成立?若存在,求出所

有适合条件的实数 m ;若不存在,请说明理由. 点拨:(1)将一个等式转换为不等式,是求变量取值范围的重要的方法,通常利用函数的单调性解答此类问 题,或者利用基本不等式解答这类问题. (2)本题是一道抽象函数单调性、奇偶性的综合运用的问题,由函数的单调性、奇偶性得出关于 ? 和 m 的不 等式,既然需求 m 的取值,不防把此问题转换为 m 关于 ? 的函数和不等式的问题. 解:(1)方法一(看成函数的值域)

? ab ? a ? b ? 3 ,? b ?

a?3 a?3 ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? ?3 ,又 a ? 0 , ,而 b ? 0 ,? a ?1 a ?1

? a ? 1 ,即 a ? 1 ? 0 ,? ab ? a ?
当且仅当 a ? 1 ?

a ? 3 (a ? 1)2 ? 5(a ? 1) ? 4 4 ? ? (a ? 1) ? ? 5 ? 9, a ?1 a ?1 a ?1

4 , a ? 3 时等号取得. a ?1

方法二(看成不等式的解集)

? a, b 为正数,? a ? b ? 2 ab ,又? ab ? a ? b ? 3 ,
, ?ab ? 2 ab ? 3 ,即 ( ab )2 ? 2 ab ? 3 ? 0 ,解得 ab ? 3 或 ab ? ?1 (舍去)

? ab ? 9
(2)由 f ( x ) 是 R 上的奇函数可得 f (0) ? 0 ,再利用 f ( x ) 的单调性,则可把原不等式转换 成为关于 ? 的三角不等式, f ( x ) 是 R 上的奇函数,又在 [0, ? ?) 上是增函数,故 f ( x ) 是 R
15

上为增函数.

? f (cos 2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos ? ) ? f (0) ? 0 ? f (cos 2? ? 3) ? f (2m cos ? ? 4m)

? f ( x) 是 R 上的增函数,? cos 2? ? 3 ? 2m cos ? ? 4m 即 cos2 ? ? m cos? ? 2m ? 2 ? 0
令 t ? cos ? , ? ? [0,

?
2

] ,?t ?[0,1] .
2

于是问题转换为对一切的 t ?[0,1] ,不等式 t ? mt ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,

t2 ? 2 恒成立. ?t ? 2 ? m(t ? 2) ,即 m ? t?2
2

又?

t2 ? 2 2 ? (t ? 2) ? ?4 ? 4?2 2 t ?2 t ?2

?m ? 4 ? 2 2

? 存在实数满足题设的条件, m ? 4 ? 2 2 .
易错点:(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究; (2)由已知不等式,结合函数的单调性、奇偶性找不到 ? 和 m 的不等式;错误理解自变量只为 x ,不能 把问题转换为 ? 和 m 的函数或不等式问题;不能想到用复合函数的观点来研究 m 的取值,并且容易把问 题看成是 t 关于 m 的不等式问题,从而用根的分布来解决此问题,较为繁琐,容易出错. 变式与引申 2: (1)设函数 f ( x ) 定义域为 D ,若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称以 ( x0 , x0 ) 为坐标 的点为函数 f ( x ) 图像上的不动点.若函数 f ( x ) ? 满足的条件. (2) (2010 年湖北理科第 19 题)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上任意一点到点 F (1, 0) 的距离减去它到 y 轴距离的差是 1 . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) 且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线,都有 FA ? FB ? 0 ? 若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 题型三 引入相关参数进行等价转换 例 3.(1)设 x, y ? R ,且 3x ? 2 y ? 6 x ,求 x ? y 的范围.
2 2 2 2

3x ? a 图像上有两个关于原点对称的不动点,求 a 、b 应 x?b

??? ??? ? ?

x2 y 2 o (2) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 其长轴两端点为 A, B , 如果 C 上存在一点 Q , ?AQB ? 120 . 使 a b
求椭圆离心率 e 的取值范围. 点拨:(1)本题的解法有多种,数形结合,三角换元都是比较容易想到的方法,我们也可以引入相关参数 进行等价转换

16

(2)本题从条件 ?AQB ? 120o 入手求解,而点 Q 是椭圆上的动点,引入合理的参数,由参数的范围从 而求解. 解: (1)由 6 x ? 3x2 ? 2 y 2 ? 0 得 0 ? x ? 2 , 设 k ? x2 ? y 2 ,则 y 2 ? k ? x2 ,代入已知等式得: x ? 6 x ? 2k ? 0 ,
2

即k ? ?

1 2 x ? 3x ,其对称轴为 x ? 3 ,由 0 ? x ? 2 ,则得 k ? [0, 4] , 2

所以 x 2 ? y 2 的范围是 0 ? x2 ? y 2 ? 4 . (2)设 Q(a cos ? , b sin ? ) ( ? 为与

? k AQ ?

b sin ? b sin ? , k BQ ? a cos ? ? a a cos ? ? a

c ? 相关的参数)由对称性,不妨设 0 ? ? ? a 2

∴ tan120o ?

k AQ ? kBQ 1 ? k AQ kBQ

?

2ab 2ab sin ? ? ? 3 ? sin ? ? 2 2 (b ? a )sin ? 3(a 2 ? b2 )
2

?0?

b 1 2ab b b ? 1 ? 3( )2 ? 2( ) ? 3 ? 0 ? ? 2 2 a a a 3 3(a ? b )

c2 b 1 2 6 c 6 ? 2 ? 1 ? ( )2 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ,故 ? e ?1 a a 3 3 3 a 3
易错点:(1)忽视参数 k 的取值范围,将解得范围扩大; (2)设点 Q 的坐标为 ( x, y ) ,不容易消去参量求范围,参量的范围容易弄错. 变式与引申 3:已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆 C 的中心 O 关于直 2 2 a b

线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? k 2 ? 1 与椭圆 C 交于不同两点 F 、 H ,且 的取值范围. 题型四 正向与反向思考中的等价转换 例 4 .试求常数 m 的范围,使曲线 y ? x 的所有弦都不能被直线 y ? m( x ? 3) 垂直平分.
2

? 2 ??? ???? 3 ? OF ? OH ? ,求 ?FOH 的面积 3 4

点拨:在解答问题时,正难则反是转换的一种有效手段,问题的反面是存在一条弦能被直线 y ? m( x ? 3) 垂直平分,解出问题反面 m 的范围,则原问题就出来了 . 解:假设抛物线上两点 ( x1 , x1 ),( x2 , x2 ) 关于直线 y ? m( x ? 3) 对称,显然 m ? 0 ,于是有
2 2

17

2 1 2 1 x 2 ? x2 1 2 ( x1 ? x2 ) ? m[ ( x1 ? x2 ) ? 3] , 1 ?? 2 2 x1 ? x2 m

? 2 x12 ?

2 1 2 1 x1 ? 2 ? 6m ? 1 ? 0 ,因为存在 x1 ? R 使上式恒成立, ? ? ( ) 2 ? 8( 2 ? 6m ? 1) ? 0 , m m m m

即 (2m ? 1)(6m2 ? 2m ? 1) ? 0 因为 6m ? 2m ? 1 ? 0 恒成立,所以 2m ? 1 ? 0 ,所以 m ? ?
2

1 , 2

1 时,抛物线上存在两点关于直线 y ? m( x ? 3) 对称, 2 1 所以当 m ? ? 时,曲线 y ? x2 的所有弦都不能被直线 y ? m( x ? 3) 垂直平分. 2
即当 m ? ? 易错点:不能从问题的反面作为切入点,对于垂直平分认识不够深刻,找不出关于 m 的方程和不等式. 变式与引申 4:已知 a, b, c ? (0,1) ,求证: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不能同时大于

1 . 4

本节主要考查: (1)等价转换思想在解题中的应用,几种常见的等价转换思路; (2)数形结合思想、方程思想、等价转换思想以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力. 点评:等价转换是把未知解的问题转换到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法,通过 不断的转换,把不熟悉、不规范、复杂的问题转换为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题,不断培养和训 练自觉的转换意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧,等价转换要 求转换过程中前因后果是充分必要的,才保证转换后的结果仍为原问题的结果,等价转换思想方法的特点 是具有灵活性和多样性,在应用等价转换的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行,它 可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转换,如在分析和解决实际问题 的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形,消去法、 换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现等价转换思想,更是经常在函数、方程、不等式之间 进行等价转换,可以说,等价转换是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变,由于其 多样性和灵活性, 要合理地设计好转换的途径和方法, 避免死搬硬套题型, 在数学操作中实施等价转换时, 要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把遇到的问题,通过转换变成比较熟悉的问题来处理; 或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分 式到整式?等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转换为比较直观的问题,以便精确把握问题的求解 过程,比如数形结合法;或者正面难,则从反面进行转换,即反证法,按照这些原则进行数学操作,转换 过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转换思想,可以提高解题的水平和能力.

习题 8-4
1.函数 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 3b 在 ? 0,1? 内有极小值,则 b 的取值范围是( A. ? 0, 2 ? B. ? 0,1? C. ? 0,1? ). D. ? 0, 2?

2.某房间有 4 个人,那么至少有两个人生日是同一个月的概率是_______.(列式表示) 3.已知函数 f ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x) .
2 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x ? [ ? 1, e ?1] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;

1 e

18

(3)若关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在区间 [0, 2] 上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围. 4.设 A, B 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1上的两点,点 N (1, 2) 是线段 AB 的中点. 2

(1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C 、 D 两点,那么 A 、 B 、 C 、 D 四点是否共圆? 5.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x, g ( x) ? log a x (a ? 0, a ? 1) ,其中 a 为常数.如果 2

h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是增函数,且 h( x) 的导函数 h?( x) 存在正零点.
(1)求 a 的值; (2) Ax 1y 1 、 ,y )( x 设 ( , ) Bx 2 2 (
1

x )2?

是函数 y ? g ( x) 的图像上两点,g ?( x0 ) ?

y2 ? y1 ( g ?( x ) 为 g ( x) 的 x2 ? x1

导函数)求证: x1 ? x0 ? x2 .

第八讲 测试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1.已知 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ?
2

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2


?? ? 2? 3

?
2

,则 ? ? ? ? (



A.

? 3

B. ?

2? 3

C.

? 2? 或? 3 3

D. ?

?
3

2.已知一几何体的三视图如图 8-10 所示,俯视图是正方形,主视图和左视图都是矩形,在该几何体上任意 选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点,这些几何体是( ) ①矩形 ②不是矩形的平行四边形 ③有三个面为直角三角形,有一个面为 等腰三角形的四面体 ④每个面都是等腰三角形的四面体 ⑤每个面都是直角三角形的四面体 A.①③④⑤ B.①②③④ C.②③④⑤ a 俯视图 a a 主视图 图 8-10 D.①②④⑤ ) b b a 左视图

2 3.不等式 ax ? x ? 2 ? a ? 0 对任意的 a ? [0,1] 恒成立,则 x 的取值范围是(

A. (??, 2)

B. (??, 0) ? (1, 2)

C. (1, 2)

D. (??, 0)

4.设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1)2



19

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

C. (2, 5)

D. (2,5)

5.如图 8-11 所示的算法中,令 a ? tan ? , b ? sin ? , c ? cos ? , 若在集合

??

?

?
4

?? ?


3? ? ?? ,? ? 0, , ? 中,给 ? 取一个值,输出的结果是 sin ? ,则 ? 的值所在范围 4 4 2?

是( A. ( ?

?
4

, 0)

B. (0,

?
4

)

C. (

? 3?
2 , 4

)

D. (

? ? , ) 4 2

a=b

a=c

图 8-11

? x? y?2?0 y x ? 6.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 ? ? ? 的取值范围为( x y ? y?2?0 ?
A. [ , 2]



8 3 3 D. [0, ] 3 2 2 1 7.已知函数 y ? log2 x ? a ?1的图像关于直线 x ? ? 对称,则函数 y ? xa ? 2x ? 3 的零点个数为( 3
B. [? , 2] C. [? , ] A.1 8.已知 (? B.2 C.3 D.4

1 3

8 3



f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2 (其中 a ? b )且 ? 、 ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根
)

? ? ),则实数 a 、 b 、 ? 、 ? 的大小关系为(

A. ?

?a?b?? ?b??

B. ?

?a?? ?b ?? ?b
K O M P Q R N 图 8-12
20

C. a ? ?

D. a ? ?

9.如图 8-12,半径为 2 的 ?

O 切直线 MN 于点 P ,射线 PK 从 PN 出发,绕 P 点逆时针旋转到 PM ,旋

转过程中 PK 交 ? ( )

O 于点 Q ,若 ?POQ 为 x ,弓形 PRQ 的面积为 S ? f ( x) ,那么 f ( x) 的图象大致是

y 4π 2π 4π 2π

y 4π 2π

y 4π 2π

y

x x x o π o π o π o π 2π 2π 2π 10.连续抛掷同一颗均匀的骰子,令第 i 次得的点数为 a i ,若存在正整数 k ,使D C A B



x

a1 ? a2 ? ? ? ak ? 6 ,则称 k 为你的幸运数字,若 k ? 1 则你的得分为 6 分,若 k ? 2 则你
的得分为 4 分,若 k ? 3 则你的得分为 2 分,若抛掷三次还没有找到你的幸运数字则记 0 分, 则得分 X 的数学期望 EX =( ) A.

89 54

B.

14 9

C.

175 108

D.

65 36

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11. 已 知 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 和 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 交 于 A, B 两 点 , 则 弦 AB 中 垂 线 方 程 为 ________________. 12.已知 {an } 是首项为 8、公差为-2 的等差数列,设 Tn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | (n ? N*) , 某学生设计一个求 Tn 的部分算法框图,图中空白处理框中是用 n 的表达式对 Tn 赋值,则空 白处理框中应填入: Tn = . 否

图 8-13 13.若函数 f ( x) ? log2 | 2 ? 1 | ?1 ? log2 a 有唯一的零点,则实数 a 的取值范围为
x

.

14.研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R) 的性质,分别得出下面几个结论: 1? x

21

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立 ②函数 f ( x ) 的值域为 (?1,1) ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有 3 个零点 其中正确结论的序号是 .

15.(在给出的二个题中,任选一题作答,若多做,则按第一题给分) ( 1 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ?

?x ? t ? 3 ( 参 数 t ? R ). 圆 C 的 参 数 方 程 为 ?y ? 3?t
.

? x ? 2cos ? (参数 ? ? [0, 2? ) ),则圆心到直线 l 的距离为 ? ? y ? 2sin ? ? 2
(2)若关于 x 的不等式 x ? x ?1 ? a 无解,则实数 a 的取值范围为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 中,三个内角 A, B, C ,两向量 p ? (2 ? 2sin A,cos A ? sin A) ,

? ?

? ?? ? q ? (sin A ? cos A,1 ? sin A) ,若 p 与 q 是共线向量.
(1)求 ? A 的大小;
2 (2)求函数 y ? 2sin B ? cos(

C ? 3B ) 取最大值时, ? B 的大小. 2

17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, an ? 0(n ? N ) ,其前 n 项和为 S n ,且 S1 ? 2 ,当 n ? 2 时, S n ? 2a n , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
22

18.(本小题满分 12 分) 在数轴上有一个随机游动的粒子 A,从原点开始每隔 1 秒钟随机地向左或右移动 1 次,每次移动一个长度 单位,已知每次向左移动的概率为

1 ,设粒子 A 从原点开始经过 3 次所达到的位置的坐标为 (? , 0) . 3

(1)求概率 P(? ? 3) ; (2)求概率 P(?2 ? ? ? 2) ; (3)求 ? 的数学期望.

19.(本小题满分 12 分) (2010 年福建文科第 20 题)如图 8-14,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E , H 分别是棱 A1B1 , D1C1 上的 1 点(点 E 与 B1 不重合) ,且 EH ??A D1 .过 EH 的平面与棱 BB1 , CC1 相交,交点分别为 F , G . 1 (1)证明: AD?? 平面 EFGH ; (2)设 AB ? 2 AA ? 2a ,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 内 1 1 随机选取一点,记该点取自于几何体 A ABFE ? D1DCGH 内 1 的概率为 p .当点 E , F 分别在棱 A1B1 , B1B 上运动且满足 EF ? a 时, 求 p 的最小值. A 图 8-14 B A1 D D1 H C1 G E B1 F C

23

20.(本小题满分 13 分) 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,给定两点 A(1, 0), B(0, ?2) ,点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中

??? ?

??? ?

??? ?

? , ? ? R ,且 ? ? 2? ? 1 .
(1)求点 C 的轨迹方程; (2)设点 C 的轨迹与双曲线 证:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于两点 M , N ,且以 MN 为直径的圆过原点,求 a 2 b2

1 1 ? 为定值. a 2 b2

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ,当 a ?

1? a ? 1 ( a ? R) . x

1 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

24

第八讲参考答案
第一节 变式与引申 1 解:因为 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) , 所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) , 又因为 f (x) 在 R 上是奇函数,? f (0) ? 0 ,得 f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) , 而由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) , 又因为 f (x) 在区间 [0, 2] 上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 , 即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D. 变式与引申 2: 解:令 g ( m) ? ( x2 ?1)m ? 2 x ? 1 为 m 的一次函数, m ? [?2, 2] 运用函数与方程思想解题的策略

? g (?2) ? 0 问题转化为 g ( m) 在 m ? [?2, 2] 上恒小于 0,则 ? ,解得: ? g (2) ? 0
变式与引申 3: 解: (1)依题设得椭圆的方程为

7 ?1 3 ?1 ?x? 2 2

x2 ? y 2 ? 1,直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 4

如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) , 其中 x1 ? x2 ,且 x1,x2 满足方程

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,故 x2 ? ? x1 ?
??? ? ????

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ?

1 7

(6 x2 ? x1 ) ?

5 7

x2 ?

10 7 1? 4k
2



由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?
2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?

2 1 ? 2k

.所以

2 1? 2k

?

10 7 1? 4k
2



2 3 或k ? . 3 8 (2)根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

, h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )


25

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 4k 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2 ? 4 k 1 4(1 ? 2k ) AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? ?2 2, ? ? 2 1? ?2 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 5(1 ? 4k 2 ) 1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2
北 C 30t
30
0

当且仅当 2k ? 1 ,即 k ? 变式与引申 4:

解(1)方法一:设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,如图,则

A 20

B S

S ? 900t ? 400 ? 2 ? 30t ? 20 ? cos(90 ? 30 )
2 0 0

1 ? 900t 2 ? 600t ? 400 ? 900(t ? )2 ? 300 3
故当 t ?

西

O



1 10 3 ? 30 3 时, S min ? 10 3, v ? 1 3 3



即小艇以 30 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. 方法二:若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. 设小艇与轮船在 C 处相遇.在 Rt ?OAC 中, OC ? 20cos30 ? 10 3 , AC ? 30t , OC ? vt
0

此时,轮船航行时间 t ?

10 1 10 3 ? , v ? 1 ? 30 3 30 3
3

即小艇以 30 3 海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇 由题意可得: (vt )2 ? 900t 2 ? 400 ? 2 ? 30t ? 20 ? cos(900 ? 300 ) 化简得: v ?
2

400 600 1 3 ? ? 900 ? 400( ? )2 ? 675 2 t t t 4

由于 0 ? t ?

1 1 ,即 ? 2 , 2 t

所以当 ? 2 时, v 取得最小值 10 13 . 即小艇航行速度的最小值 10 13 海里/小时. (3)由(2)知 v ?
2

1 t

400 600 1 ? ? 900 ,设 ? u (u ? 0) 于是 400u 2 ? 600u ? 900 ? v2 ? 0 (*) 2 t t t

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程 (*) 应有两个不等正根,即:

?6002 ? 1600(900 ? v 2 ) ? 0 ,解得 15 3 ? v ? 30 ? 900 ? v 2 ? 0 ?

所以 v 的取值范围是 (15 3,30)

习题 8-1
1.C. 提示:? f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 13 ? f ( x ? 2) ?

13 13 ? f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 4) ? f ( x) f ( x) f ( x ? 2)
26

? f ? x ? 是周期为 4 的周期函数,? f ? 99 ? ? f (4 ? 24 ? 3) ? f (3) ?
3 3 或 m? 2 2

13 13 ? ,故选 C. f (1) 2
1)

2. m ? ?

. 提示:依据题意得

x2 ? 1 ? 4 2 ( 2 ? 1 )? x( ? 2 1 )? 1 m24 ( 在 m x ? ? 2 m

3 x ? [ , ??) 上恒成立, 2 1 3 2 3 2 即 2 ? 4m ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立. m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x ? 时,函数 y ? ? 2 ? ? 1 取得最小值 ? ,所以 2 ? 4m ? ? , 2 x x 3 m 3
即 (3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? . 2 2

3.解:方法一:因为 f (a) ? f (b) ,所以 lg a ? lg b ,所以 lg a ? lg b 或 lg a ? ? lg b ,即 a ? b (舍去), 或b ?

1 2 ,所以 a ? 2b ? a ? a a 2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ? (0,1) 上为 a

又 0 ? a ? b ,所以 0 ? a ? 1 ? b ,令 f (a ) ? a ?

减函数,所以 f (a) ? f (1) ? 1 ? 2 ? 3 ,即 a ? 2b 的取值范围是 (3, ??) .

? ?0 ? x ? 1 0 ? a ?1 ? ? ? 方法二: 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 得 ? b ? 1 , 由 利用线性规划得 ? y ? 1 , 转化为求 z ? x ? 2 y 的 ? ab ? 1 ? 1 ? ? y? x ?
取值范围问题.从图中可知 z ? x ? 2 y 的取值范围为 (3, ??) . 4.设剪成的小正三角形的边长为 x ,则: S ?

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

(方法一)利用导数求函数最小值

S ( x) ?

4 (3 ? x)2 , ? 2 3 1? x

4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3x ? 1)( x ? 3) S ?( x ) ? ? ? ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 3 3
1 S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 3 1 1 当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 函数 S ( x) 在 (0, ] 上单调递减; 3 3
27

当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 函数 S ( x) 在 [ ,1) 上单调递增. 故当 x ?

1 3

1 3

1 32 3 时, S 取最小值是 . 3 3

(方法二)利用函数的方法求最小值. 令 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) ,则 S ?

1 t

1 1 3 2

4 t2 4 1 ? 2 ? ? 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? 8 ? 6 ?1 t2 t

故当 ?

1 t

3 1 32 3 , x ? 时, S 取最小值是 . 8 3 3

5. 解:(1)因为直线 l : x ? my ?

m2 m2 2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) ,所以 m 2 ? 1 ? ,得 m ? 2 , 2 2

又因为 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ?1 ? 0 .

? m2 x ? my ? ? m2 ? 2 2 ?1 ? 0 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 ,消去 x 得 2 y ? my ? 4 x ? ? y2 ? 1 ? m2 ?
则由 ? ? m ? 8(
2

m2 m m2 1 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 ,且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ?y2 ? ? . 4 2 8 2

由于 F (?c,0), F2 (c,0), 故 O 为 F1F2 的中点,由 AG ? 2GO, BH ? 2HO , 1 可知 G (

????

??? ???? ?

????

x1 y1 x y ( x ? x ) 2 ( y ? y2 ) 2 2 , ), H ( 2 , 2 ) , GH ? 1 2 ? 1 3 3 3 3 9 9
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,由题意可知 2 MO ? GH , 6 6

设 M 是 GH 的中点,则 M (

即 4[(

x1 ? x2 2 y ?y ( x ? x )2 ( y ? y )2 ) ? ( 1 2 )2 ] ? 1 2 ? 1 2 6 6 9 9 m2 m2 m2 1 )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m2 ? 1 ( ? ) ) 2 2 8 2

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 1 ? ? 0 ,即 m2 ? 4 所以 8 2
又因为 m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 ,所以 m 的取值范围是 (1, 2)

28

第二节 变式与引申 1:

运用数形结合思想解题的策略

? x 2 ? x ? a ? 1 ( x ? a) ? 解: y ? f ( x) ? ? 2 ? x ? x ? a ? 1 ( x ? a) ?

1 2 3 ? ?( x ? 2 ) ? 4 ? a ( x ? a ) ? ?? ?( x ? 1 ) 2 ? 3 ? a ( x ? a ) ? ? 2 4
1 1 3 (1)当 a ? ? 时,如图 1 知 y ? f (? ) ? ? a 2 2 4 1 1 (2)当 ? ? a ? 时,如图 2 知 y ? f (a) ? a2 ? 1 2 2 1 1 3 (3)当 a ? 时,如图 3 知, y ? f ( ) ? ? a 2 2 4 1 3 综上所述:当 a ? ? 时,值域为 [ ? a, ??) 2 4 1 1 当 ? ? a ? 时,值域为 [a2 ? 1, ??) 2 2 1 3 当 a ? 时,值域为 [ ? a, ??) 2 4
变式与引申 2:

y

-1 _ 2

a

O

1 _ 2

x

图2

y

-1 O
2

_ 1 2

a

x

_

图3

解: (方法一)当 x ? ?3 时, ∵原不等式即为 ?( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 3 ? ?5 ? 3 , 这显然不可能, x ? ?3 不 ∴ 适合. 当 ?3 ? x ? 2 时,∵原不等式即为 ( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 3 ? x ? 1,又 ?3 ? x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 适合. 当 x ? 2 时,∵原不等式即为 ( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 3 ? 5 ? 3 ,这显然恒成 立,∴ x ? 2 适合. 故综上知,不等式的解集为 x 1 ? x ? 2或x ? 2 ,即 x x ? 1 . (方 法二)设函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ,则

?

?

?

?

( x ? ?3) ? ?5 ? f ( x) ? ?2 x ? 1 ( ?3 ? x ? 2) ? 5 ( x ? 2) ?

作函数 f ( x ) 的图象,

如图所示,并作直线 y ? 3 与之交于点 A .又令 2 x ? 1 ? 3 ,则 x ? 1 ,即点 A 的横坐标为 1.故结合图形知, E 不等式的解集为 x x ? 1 . 变式与引申 3: (1)提示:由向量加法的平行 四边形法则, OP 为平行四边形的对角线,该四 C M B D
29

?

?

P

O

A

边形应是以 OB 和 OA 的反向延长线为两邻边, ∴ x 的取值范围是 (??, 0) .

1 1 3 时,要使 P 点落在指定区域内,即 P 点应落在 DE 上, CD ? OB , CE ? OB ,∴ y 的取 2 2 2 1 3 值范围是 ( , ) . 2 2
当x ?? 点评:平面向量经常和平面图形结合到一块,利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本 定理处理实际问题. (2)B 提示:? MD ? MO ? OD, NC ? NO ? OC ,

???? ?

???? ??? ???? ? ?

???? ??? ?

???? ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ???? ???? ???? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ?MD ? NC ? (MO ? OD) ? ( NO ? OC) ? MO ? NO ? MO ? OC ? OD ? NO ? OD ? OC
? 2 ? 2 ? cos1800 ? 2 ? 6 ? cos 600 ? 2 ? 6 ? cos 600 ? 6 ? 6 ? cos 600 ? 26 ,故选 B
变式与引申 4: (1)D 提示:分析方程的结构特点,联想椭圆第二定义,可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到 直线的距离: m x ? ( y ? 1) ?
2 2

| x ? 2y ? 3| ? 5, 5

x 2 ? ( y ? 1) 2 5 即e ? ? ? (0,1) 时表示椭圆,解得 m ? 5 ,故选 D. | x ? 2y ? 3| m 5
点评:本题考查椭圆的第二定义,考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力. y (2)C 提示:画出函数 f ( x) ? log2 (2 x ? 2) 的图像, a, b, c 分别 1 表示图像上的三点 ( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )),( x3 , f ( x3 )) 与原点连线 x3 x2 x1 x O -1 的斜率,有图像可知 a ? b ? c ,故选 C

习题 8-2 1 1 1.A 提示:设函数 f ( x) ?| x ? a |, g ( x) ? ? ,作出两个函数在 x ? 0 上的图像易知 a 的取值范围是 2 x a?2
1 2. ? 4 1 2

? x ? y≥ 0 ? 提示:易知 a ? 0 ,如图所示,画出不等式组 ? x ? y≥ 0 表示的平面区域, ? x ≤a ?

y

x=a x-y=0

2 2 得 ? 2a ? a ? 4 ? a ? 2 ,令 z ? x ? y ,即 y ? ? x ? z

O

x

30

x+y=0

当抛物线 y ? ? x2 ? z 与直线 x ? y ? 0 相切时, z 最小 联立 ?

? y ? ? x2 ? z ? x? y ?0

2 ,得 x ? x ? z ? 0 , ? ? 1 ? 4 z ? 0 ? zmin ? ?

1 4

此时 x ?

1 1 ,y?? 2 2

3.提示:由

x2 y2 ? ? 1 可知 a ? 3 , b ? 5 , c ? 2 ,左焦点 F1 (?2,0) ,右焦点 F2 (2,0) ,由椭圆定义, 9 5
P1 y

PF1 ? 2a ? PF2 ? 6 ? PF2 ,
∴ PF ? PA ? 6 ? PF2 ? PA ? 6 ? PA ? PF2 1 如图,由 PA ? PF2 ? AF2 ? 知 ? 2 ? PA ? PF2 ?
F1

o

A

F2 P2 P

x

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 2

2

当 P 在 AF2 延长线上的 P 处时,取右“=”号; 2 当 P 在 AF2 的反向延长线的 P1 处时,取左“=”号. 即 PA ? PF2 的最大、最小值分别为 2 , ? 2 于是 PF ? PA 的最大值是 6 ? 2 ,最小值是 6 ? 2 . 1

a 2 x0 x 4.提示: (1)设点 A( x0 , y0 ) ,则 k1 ? ? 2 , k2 ? 0 b y0 p ? k1k2 ? ? a 2 x0 x0 a2 x 2 ? ?? 2 0 b2 y0 p b py0
2
2 2 2

y

A O

B x

由 py0 ?

a x0 x0 2a ?? 2 ,? k1k2 ? ? 2 x b 2 b2 ? 0 2

l1

D

l2

(2)? x0 ? (?a,0) ,可得 l2 : x0 x ? p( y ? y0 )

?0 ? p( y0 ? 2)

即 y0 ? 2

x0 ? ?2 p

? A(?2 p , 2) 将 A(?2 p , 2) 代入曲线 C1 的方程得:
2 2 2 2

4 4p ? ?1 a 2 b2

4 4p 4 pa 2 4b 2 ? a ? b ? (a ? b )( 2 ? 2 ) 4 p ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 p ? 8 p ? 4 ? a b b a

31

? 1 ? ?4 p ? 8 p ? 4 ? 9 ?p? 4 ? ? 2 ? 4 pa 2 4b 2 当且仅当 ? 时等号成立,解得 ?a ? 6 ? 2 2 b a ?b2 ? 3 ? ? ? 4p 4 ? ? b2 ? a 2 ? 1 ?
? C1 : x2 y 2 1 ? ? 1( y ? 0) C2 : x 2 ? y 3 6 2

5.(1)依题: h?( x) ? 2ax ? b 过 (0, ?8), (4, 0) ,? ?

? b ? ?8 ? a ?1 ?? ?8a ? b ? 0 ?b ? ?8

? h( x) ? x2 ? 8x ? c f ( x) ? 6ln x ? x2 ? 8x ? c , f ?( x) ?
6 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 8 ? x x

? f ( x) 的递增区间为 (0,1), (3, ??) ,单调递减区间为 (1,3)
故要使 f ( x ) 在区间 ( m, m ?

1 1 5 ) 上是单调函数,则 0 ? m ? 或1 ? m ? 或 m ? 3 2 2 2

(2)由题意知,对任意 k ? [?1, 1] ,当 x ? (0,6] 时, kx ? f ( x) 恒成立 即k ?

6 ln x c ? ? x ? 8 恒成立 x x

设 g ( x) ?

6 ln x c 6 ? c ? x 2 ? 6 ln x ? ? x ? 8, x ? (0, 6] ,则 k ? g ( x)max ,又 g ?( x) ? x x x2
2

令 ? ( x) ? x ? 6ln x ? 6 ? c , ? ?( x) ? 2 x ?

6 2( x 2 ? 3) ? x x

当 x ? (0, 3) 时, ? ?( x) ? 0 ,当 x? ( 3, ??) 时, ? ?( x) ? 0

?? ( x) 在 (0, 3) 单调递减,在 ( 3, ??) 单调递增

??( x)min ? ?( 3) ? 3 ? 6ln 3 ? 6 ? c ? 9 ? 3ln3 ? c ? 6 ? 3ln3 ? 0
即 x ? (0, 6] 时, g ?( x) ? 0

c ? x ? (0,6] 时, g ( x) 是单调递增函数,? g ( x) max ? g (6) ? ln 6 ? ? 2 6 c ? k ? ln 6 ? ? 2 对任意 k ?[?1,1] 恒成立 6 c 即 ?1 ? ln 6 ? ? 2 ,又 c ? 3 ,? c ? 6 ? 6 ln 6 6
32

第三节 变式与引申 1:

运用分类讨论思想解题的策略

?a ? 1 ? (1)解:当 B ? ? 时, 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ;当 B ? ? 时, ?2a ? 6 ? 2 ? a ? 3 ?a ? 1 ? 3 ?
综上, a ? 1 或 2 ? a ? 3 (2)证明: (1)当 q ? 1 , Sn ? na1 , Tn ? a1 , Pn ?
n

n a1

?S ? ?S ? 2n 2 2n 2 ∴ ? n ? ? a1 , Tn ? a1 ,∴ ? n ? ? Tn . ? Pn ? ? Pn ?
(2)当 q ? 1 时, Sn ?
n

n

n

n ( n ?1) a1 (1 ? q n ) q n?1 ? q , Tn ? a1n q 2 , Pn ? 1? q a1q n (q ? 1)
n

?S ? ?S ? 2 n n ( n ?1) , Tn2 ? a12 n q n ( n ?1) ,∴ ? n ? ? Tn2 . ∴ ? n ? ? a1 q ? Pn ? ? Pn ? ?S ? 2 综上,在等比数列 ?an ? 中, ? n ? ? Tn 成立. ? Pn ?
变式与引申 2: 解: (1) ( x ? 1)(ax ? 1 ? a) ? 0
n

a ?1 ); a 1 a ?1 ) ? (?1, ??) ; 当 0 ? a ? 时, x ? (??, 2 a 1 a ?1 , ??) ; 当 a ? 时, x ? (??, ?1) ? ( 2 a
当 a ? 0 时, x ? ( ?1, 当 a ? 0 时, x ? (?1, ??) ; 当a ?

1 时, , x ? (??, ?1) ? (?1, ??) . 2

2 (2)①当 k ? 4 时,方程变为 4 x ? 0 ,即 x ? 0 ,表示直线;

2 ②当 k ? 8 时,方程变为 4 y ? 0 ,即 y ? 0 ,表示直线;

x2 y2 ? ? 1 ,又有以下五种情形讨论: ③当 k ? 4 且 k ? 8 时,方程变为 k ?4 8?k
ⅰ)当 k ? 4 时,方程表示中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线; ⅱ)当 4 ? k ? 6 时,方程表示中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆;
33

ⅲ)当 k ? 6 时,方程表示圆心在圆点的圆; ⅳ)当 6 ? k ? 8 时,方程表示中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆; ⅴ)当 k ? 8 时,方程表示中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线. 变式与引申 3: 解: (1)当 x ? 2 时, 2e
x ?1

? 2 ,解得 1 ? x ? 2 ;

当 x ? 2 时, log3 ( x2 ?1) ? 2 ,解得 x ? ( 10, ??) 综上所述,可得不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (1, 2) ? ( 10, ??) .故选 C.

? x(1 ? x n ) nx n ?1 ? (1 ? x)2 ? 1 ? x ( x ? 1) ? 2 3 n (2) x ? 2 ? x ? 3 ? x ? ? ? n ? x ? ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? 2 ?
变式与引申 4: (1)当 n 为偶数时, S n ? ?4 ? 当 n 为奇数时, S n ? ?4 ?

n ? ?2 n , 2

n ?1 ? 4n ? 3 ? 2n ? 1 . 2

??2n ? 综上, Sn ? ? ? 2n ? 1 ?

( n ? 2k , k ? N * ) (n ? 2k ? 1, k ? N * )

(2)当 n ? 6 时, Tn ? Sn ? 12n ? n2 , 当 n ? 7 时, Tn ? S6 ? (Sn ? S6 ) ? n2 ?12n ? 72 综上, Tn ? ?

?12n ? n 2 (n ? 6) ? 2 ?n ? 12n ? 72 (n ? 7) ?

习题 8-3
2 1.B. 提示:先应考虑“0”是特殊元素,当 0 排在末位时,有 A9 ? 9 ? 8 ? 72 (个) ,

当 0 不排在末位时,有 A4 ? A8 ? A8 ? 4 ? 8 ? 8 ? 256(个) 于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有 ,
1 1 1

72 ? 256 ? 328 (个).故选 B. n? 2 n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 2.470. 提示:由于 {cos 3 3

12 ? 22 42 ? 52 282 ? 292 2 2 S30 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 2 2 2 k ?1

34

3.解:由于 B ? {?1, 2, 4} ,且 A ? B ,则集合 A 可能是空集、单元素集合和两个元素集合.
2 (1)当 ? ? a ? 16 ? 0 ,即 ?4 ? a ? 4 时,因为 A ? ? ,满足 A ? B ,所以 a ? ? ?4,4 ?

2 (2)当 ? ? a ? 16 ? 0 ,即 a ? ?4 时,由 A ? B 得 a ? 4
2 (3)当 ? ? a ? 16 ? 0 ,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, A ? B

综上可得,当 a ? ? ?4, 4? 时, A ? B 4.解:如图,设 MN 切圆 C 于 N,则动点 M 组成的集合是 P ? {M MN ? ? MQ , ? ? 0} . ∵ON⊥MN, |ON|=1, ∴ | MN | ?| OM | ? | ON | ?| OM | ?1
2 2 2 2

y N

M

设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 2 2 则 x ? y ? 1 ? ? ( x ? 2) ? y

o

Q

x

即 (? 2 ?1)( x2 ? y 2 ) ? 4? 2 x ? (4? 2 ? 1) ? 0 . 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故方程为所求的轨迹方程. (1)当 ? ? 1 时,方程为 x ?

5 5 ,它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点 ( , 0) 的直线; 4 4

(2)当 ? ? 0且? ? 1 时,方程化为 ( x ?

2?2 2 1 ? 3?2 , ) ? y2 ? 2 ?2 ? 1 (? ? 1) 2

它是以 (

2?2 1 ? 3?2 ,0) 为圆心, 2 为半径的圆. ?2 ? 1 | ? ?1|

5.解: (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x ( x ? 1) 2 x

' ①当 a ? 2 ,则 f ( x) ?

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增. ②当 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调递减,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调递增
35

③当 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调递减,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调递增. (2)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x2 时,有 x1 ? x2

由于 1 ? a ? 5 ,故 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 单调递增,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 ,故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 x1 ? x2 x2 ? x1
故对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,均有 第四节 变式与引申 1:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x1 ? x2
运用等价转换思想解题的策略

a?m a ? ? b(a ? m) ? a(b ? m) b?m b ? ba ? bm ? ab ? am ? bm ? am ? b ? a a?m a ? b ? a 成立,? ? 成立 b?m b
(1)方法一:要证 方法二:设 A(b, a), B(?m, ?m) ,其中 m ? 0 , 因为 0 ? a ? b ,则直线 OA 的斜率 kOA ? tan ?1 ? 斜率 k AB

y A

a ? 1 ,直线 AB 的 b

O B

x

a?m ? tan ? 2 ? ? 1 ,因为 B 在第三象限的角平分线上, b?m

所以 AB 必与 x 轴正半轴相交,且有 0 ? ?1 ? ? 2 ?

?

4

,所以 tan ?2 ? tan ?1 ,即 F E D

a?m a ? . b?m b

方法三:在 Rt ?ABC 和 Rt ?ADF 中, AB ? a, AC ? b, BD ? m, 作 CE / / BD 交 DF 于 E ,因为 ?ABC 与 ?ADF 相似,所以

C

a a?m a?m a?m ? ? ? . b b ? CF b ? CE b ? m
变式与引申 2: (1)设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) 为 f ( x ) 不动点

B

A

3x1 ? a 3x ? a ? x1 , 2 ? x2 x1 ? b x2 ? b 3x ? a ? x (*)有两个互为相反数的实数根 ∴原问题 ? 方程 x?b 2 由(*) x ? (b ? 3) x ? a ? 0 ( x ? b ? 0 )
∴ x1 ? x2 ? 0 ,

36

??0 ? ? ∴ ? x1 ? x2 ? 3 ? b ? 0 ? x ? b ? 0, x ? b ? 0 2 ? 1

∴ b ? 3, a ? 0, a ? 9

2 2 (2)(Ⅰ)设 P( x, y) 是曲线 C 上任意一点,那么 P( x, y) 点满足 ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ( x ? 0) :化简得

y 2 ? 4 x ( x ? 0) .
(Ⅱ)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,设直线的 l 方程为 x ? ty ? m , 由?

? y1 ? y2 ? 4t ? x ? ty ? m 得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0, ? ? 16(t 2 ? m) ? 0 ,于是 ? ① 2 ? y1 y2 ? ?4m ? y ? 4x

又 FA ? ( x1 ?1, y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 ) ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 ,②
又x?

y2 ,于是不等式②等价于 4

y12 y2 2 y2 y 2 ( y y )2 1 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 ? 1 2 ? y1 y2 ? [( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ] ? 1 ? 0 ,③ 4 4 4 4 16 4
由①式,不等式③等价于 m ? 6m ? 1 ? 4t ,④
2 2

对任意实数 t , 4t 的最小值为 0 ,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m ? 6m ? 1 ? 0 ,即
2 2

3? 2 2 ? m ? 3? 2 2 .
由此可知,存在正数 m 对于点 M (m, 0) 且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线,都有 FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围为 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 . 变式与引申 3:

??? ??? ? ?

(1)∵ e ?

c 2 2 2 ,∴ a ? 2c ? a 2

设 O 关于直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的对称点为 O ? ,则 O ? 的横坐标为

a2 ? 2c c
又 OO ? 的方程为 y ? 2 x ,∴ O ? 的坐标为 (2c, 4c) 由 OO ? 的中点 (c, 2c) 在直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 上,得 c ? 1 ,故 a ?

2

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆方程为 2
37

? x2 2 ? ? y ?1 (2)设 F ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y 2 ) ,则由 ? 2 消去 y 得 ? y ? kx ? k 2 ? 1 ?

(2k ? 1) ? 4k k ? 1x ? 2k ? 0 , ? ? 8k ? 0
2 2 2
2

x1 ? x2 ? ?

2k 2 4k k 2 ? 1 , x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

∴ OF ? OH ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? k 2 ? 1)(kx2 ? k 2 ? 1)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k k 2 ? 1( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1
(k 2 ? 1) ? 2k 2 ? 4k k 2 ? 1 k 2 ?1 2 2 ? ? k k ?1 ? ? k ?1 ? 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k ? 1
1 2 k 2 ?1 3 ? 2 ? ,∴ ? k 2 ? 1 2 3 2k ? 1 4



∵ | FH |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k ?
2 2

2 2k 2 2k 2 ? 1

2k 2 (k 2 ? 1) 1 又点 O 到直线 FH 的距离 d ? 1 ,∴ S ? d | FH |? 2 2k 2 ? 1
2 令 t ? 2k ? 1 , t ? [2, 3] , k ?
2

1 (t ? 1) 2

∵S ?

1 1 1 1 2 2 1 (t ? 1)[ (t ? 1) ? 1] ? (t ? 1) ? 1? 2 t 2 t 2 2 t
3 1 8 1 3 2 2 6 2 ? 1 ? 2 ? ,∴ 1 ? 2 ? [ , ] ,故 ?S? 4 9 t 4 3 2 3 t

由2 ? t ? 3得

变式与引申 4:

1 1 1 1 ,即 (1 ? a )b ? , (1 ? b)c ? , (1 ? c)a ? ,? a, b, c ? (0,1) , 4 4 4 4 1 1? a ? a 2 1 1 1 ? (1 ? a)b(1 ? b)c(1 ? c)a ? ) ? , 同 理 b(1 ? b) ? , c(1 ? c) ? , , 又 (1 ? a)a ? ( 64 2 4 4 4 1 ? (1 ? a)a(1 ? b)b(1 ? c)c ? ,这与假设矛盾,故原命题正确. 64 习题 8-4
证明:假设三式同时大于
2 1.B. 提示:转化为 f ?( x) ? 3x ? 3b 在 (0,1) 内与 x 轴有两交点,只需 f ?(0) ? 0 且 f ?(1) ? 0 .

38

4 A12 2. 1 ? 4 . 提示:转化为先求对立事件的概率,即四人生日各不相同的概率. 12

3.解:(1) ? f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 ,令 f ?( x) ? 0 得 ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 1? x

? 函数 f ( x) 的单调增区间为(-2,-1),(0,+?)
单调减区间为(-1,0),(-?,-2) (2)令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?2

1 1 1 ? 函数 f ( x) 在 [ ? 1, e ? 1] 上是连续的,又 f ( ? 1) ? 2 ? 2, f (0) ? 1 e e e

f (e ?1) ? e2 ? 2,? fmax ( x) ? e2 ? 2
? m ? e2 ? 2
(3)可转化为:方程 a ? (1 ? x) ? ln(1 ? x)2 在区间 [0, 2] 上恰有两个相异的实根. 令 g(x)=(1 ? x) ? ln(1 ? x)2 ,则 g?(x)=1 ?

2 ,令 g?(x)=0 得 x ? 1 1? x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减, 当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在区间 (1, 2) 上单调递增 又 g(0)=1,g(1)=2-ln4,g(2)=3-ln9 ,且 2-ln4<3-ln9<1

? 在区间 [0, 2] 上方程恰好有两个相异的实数根时,实数 a 的取值范围是 2-ln4<a ? 3-ln9
y2 ?1 4.解: (1)设 AB : y ? k ( x ? 1) ? 2 代入 x ? 2
2

整理得 (2 ? k 2 ) x2 ? 2k (2 ? k ) x ? (2 ? k )2 ? 2 ? 0 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 为方程①的两根
2 所以 (2 ? k ) ? 0 且 x1 ? x2 ?



2k (2 ? k ) ,由 N 为 AB 的中点, 2 ? k2



1 ( x1 ? x2 ) ? 1 ,? k (2 ? k ) ? 2 ? k 2 , 解得 k ? 1 , 2

故 AB 方程为: y ? x ? 1 (2)解出 A(?1, 0) 、 B(3, 4) 得 CD 的方程为 y ? 3 ? x ,与双曲线方程联立, 消 y 有 x ? 6 x ? 11 ? 0
2


39

记 C ( x3 , y3 ) 、 D( x4 , y4 ) 及 CD 中点 M ( x0 , y0 ) 由韦达定理可得 x0 ? ?3, y0 ? 6

? CD ? ( x3 ? x4 ) 2 ? ( y3 ? y4 ) 2 ? 4 10
又 MA ? MB ?

( x0 ? x1 ) 2 ? ( y0 ? y1 ) 2 ? 2 10 .即 A 、 B 、 C 、 D 四点到点 M 的距离相等,
1 2 x ? 2 x ? log a x ( x ? 0) 2

所以 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. 5.解: (1)? h( x) ?

1 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? h?( x) ? x ? 2 ? ? x ln a x ln a
因为 h( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数

所以

x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 在区间 (0, ??) 上恒成立 x ln a
2

若 0 ? a ? 1 ,则 ln a ? 0 ,于是 x ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 恒成立 又 h?( x) 存在正零点,故 ? ? (?2ln a)2 ? 4ln a ? 0 ,得 ln a ? 0 或 ln a ? 1 ,与 ln a ? 0 矛盾. 所以 a ? 1
2 ? 即 由 x ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 恒成立, h?( x) 存在正零点, ? ? (?2ln a)2 ? 4ln a ? 0 , n a 1 , a ? e 有 故 得l

(2)由(1)得 g ?( x0 ) ?

x2 ? x1 1 y2 ? y1 1 ,于是有 , x0 ? ? x0 x2 ? x1 x0 ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 ln x2 ? ln x1

以下证明 x1 ? x0 ? x1 ?

令 r ( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x2 ? x

r?( x) ? ln x2 ? ln x ,在 (0, x2 ) 上 r?( x) ? 0 ,所以 r ( x) 在 (0, x2 ] 上是增函数
当 x1 ? x2 时, r ( x1 ) ? r ( x2 ) ? 0 ,即 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 成立,从而 x1 ? x0 得到证明 同理可证 x0 ? x2 , 综上,得 x1 ? x0 ? x2 .

第八讲 测试卷 1.选 B 提示:由已知得 tan ? ? tan ? ? ?3 3 , tan ? ? tan ? ? 4 ,

40

则得 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? 3 ,又由符号判断得 tan ? ? 0, tan ? ? 0 ,结合已知条件得 1 ? tan ? ? tan ?
2? 3

?

?
2

? ? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0 ,??? ? ? ? ? ? 0 ,则有 ? ? ? ? ?

2.选 A 提示:考虑正四棱柱四个顶点的不同情形. 3.选 A 提示:原题转化为: a( x2 ? 1) ? (2 ? x) ? 0 恒成立,为 a 的一次函数 令 g (a ) ? a( x2 ?1) ? (2 ? x) 为 a 的一次函数,且 a ? [0,1] 问题转化为 g (a ) 在 a ? [0,1] 上恒大于 0,则 ?

? g (0) ? 0 ? g (1) ? 0

,解得: x ? 2 .

4.选 B 提示: e ? ( ) ?
2 2

c a

1 a 2 ? (a ? 1) 2 1 ? 1 ? (1 ? ) 2 ,所以当 a ? 1 时, 0 ? ? 1 ,所以 2 ? e 2 ? 5 , 2 a a a

即 2 ?e? 5. 5.选 C 范围是 ( 提示:由算法程序框图可知,输出的结果是 a, b, c 三数中的最大数,由数形结合思想得 ? 的取值

? 3?
2 , 4

) y y?0 1 ? 表示可行域内的点与原点连线的斜率,求函数 ? ? k ? 的 x x?0 k

6.选 C 提示:画出可行域,令 k ? 值域即可. 7.选 B 提示:由对称性得 a ?

1 1 1 x x ,则 y ? x 3 ? 2 ? 3 ,令 f (x) ? x 3 ? 3, g( x) ?2 ,两个函数的交点个数 3

即为函数 y ? xa ? 2x ? 3 的零点个数 8.选 A 提示:令 g ( x) ? f ( x) ? 2 ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b ),可知函数 f ( x ) 的图像向上平移 2 个单位 可得函数 g ( x) ,而方程 g ( x) ? 0 的两个根为 a , b ,结合图像可知 ?

?a?b??.

9.选 C 提示:有已知可得当射线 PK 逆时针旋转的过程中, ?POQ 是先迅速增大,到达 ? 后,角继续 增大,但是增加的幅度变慢,有图知 C 符合要求. 10.选 A 提示:当 X ? 6 时,则 a1 ? 6 ,此时 P ( X ? 6) ?

1 6 5 36

当 X ? 4 时,则 a1 ? a2 ? 6 ,有 (1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1) 五种情形,此时 P ( X ? 4) ? 当 X ? 2 时,则 a1 ? a2 ? a3 ? 6 ,有

(1,1, 4),(1, 2,3),(1,3, 2),(1, 4,1),(2,1,3), (2, 2, 2),(2,3,1),(3,1, 2),(3, 2,1),(4,1,1) 十种情形,

41

此时 P ( X ? 2) ?

10 5 ? 3 6 108 1 5 5 35 ? ? ? 6 36 108 54

当 X ? 0 时, P ( X ? 0) ? 1 ?

? EX ?

89 54
提示:弦 AB 中垂线即为两圆圆心的连线 提示: an ? 10 ? 2n ,当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 .

11. 3x ? y ? 9 ? 0 12. n ? 9n ? 40
2

故当 n ? 5 时, Tn ? a1 ? a2 ? ?? an ? 9n ? n2 当 n ? 5 时, Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ??? an ? ?(9n ? n2 ) ? 2 ? (9 ? 5 ? 52 )

? ?(9n ? n2 ) ? 2 ? (9 ? 5 ? 52 ) ? n2 ? 9n ? 40
13. [ , ??)

1 2

提示: f ( x) ? 0 ? log2 | 2x ?1|? 1 ? log 2 a ?| 2x ?1|? 2a( x ? 0)

由数形结合思想得 a ? [ , ??) 14.①②③ 提示:函数 f ( x ) 是奇函数,则①正确

1 2

当 x ? 0 时,f ( x) ? 故②正确

x 1 ?1? ? (0,1) ; x ? 0 时,f ( x) ? 0 ; x ? 0 时,f ( x) ? ? f ( x) ? (?1,0) , 当 当 1? x x ?1

函数 f ( x ) 是增函数,故③正确

当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ? x ?

x x2 ?x?? ? 0 ? f ( x) ? x 1? x 1? x

当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ? x ? 0 ? f ( x) ? x

当 x ? 0 时, g ( x) ? f ( x) ? x ?

x x2 ?x? ? 0 ? f ( x) ? x 1? x 1? x

15.(1) 2 2

2 2 提 示 : 直 线 l : x ? y ? 6 ? 0 , 圆 C : x ? ( y ? 2) ? 4 , 故 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为

d?

0 ? 2? 6 2

?2 2
当 x ? 1 时, x ? x ?1 ? 1

(2) a ? 1

提示:当 x ? 1 时, x ? x ?1 ? 2x ?1?[1, ??)

42

故 x ? x ?1 ?[1, ??) ,不等式 x ? x ?1 ? a 无解,即 a ? 1 16.解: (1)? p // q ,? (2 ? 2sin A)(1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(sin A ? cos A) ? 0 …………2 分 化简得 sin A ?
2

? ? ?

3 3 ,得 sin A ? …………4 分 4 2

? ?ABC 是锐角三角形,? A ? 60? …………6 分

C ? 3B 120? ? B ? 3B 2 ) ? 2sin B ? cos( ) (2) y ? 2sin B ? cos( 2 2
2

1 3 ? 2sin 2 B ? cos(60? ? 2 B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 2 2 ? 1? 3 1 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? sin(2 B ? 30? ) …………10 分 2 2
?

所以当 B ? 60 , ymax ? 2 …………12 分 17.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 …………1 分 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? 2a2 得 a2 ? 2 …………2 分 当 n ? 3 时,有 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,得 an ? 2an?1 …………4 分 故该数列从第 2 项起为公比 q ? 2 的等比数列,故 an ? ?

?2 (n ? 1) ? …………6 分 n ?1 (n ? 2, n ? N ) ?2 ?

(2)由(1)知 bn ? ?

( n ?1) ?1 …………9 分 ?n ? 1 ( n ? 2 , n ? N )

( n ?1) ?1 ? 故数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? ? n(n ? 1) …………12 分 ? 2 ? 1 ( n ? 2, n ? N ) ?
18.解: (1) P (? ? 3) ? ( ) ?
3

2 3

8 …………4 分 27

(2) P(?2 ? ? ? 2) ? P(? ? ?1) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1)

2 1 2 2 4 2 1 1 ? C3 ( ) 2 ? ? 0 ? C32 ? ( ) 2 ? ? ? …………8 分 3 3 3 3 9 9 3 1 …………10 分 27 1 6 12 8 ? E? ? (?3) ? ? (?1) ? ? 1? ? 3 ? ? 1 …………12 分 27 27 27 27
(3) P (? ? ?3) ? ( ) ?
3

1 3

19. (1)证明:在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AD??A D1 ,又 EH ??A D1 ,? AD??EH …………2 分 1 1 1
43

? AD ? 平面 EFGH , EH ? 平面 EFGH ,? AD?? 平面 EFGH …………4 分
(2)设 BC ? b ,则长方体 ABCD ? A B1C1D1 的体积 V ? AB ? AD ? AA ? 2a2b …………6 分 1 1 几何体 EB1F ? HC1C 的体积 V1 ? ( EB1 ? B1 F ) ? B1C1 ?

1 2

b EB1 ? B1F …………7 分 2

? EB12 ? B1F 2 ? a2
…………9 分

? EB1 ? B1 F ?

EB12 ? B1 F 2 a 2 2 ? 当且仅当 EB1 ? B1F ? a 时等号成立. 2 2 2

从而 V1 ?

ab 4

2

a 2b V 7 故 p ? 1 ? 1 ? 1 ? 42 ? …………11 分 V 2a b 8

7 2 a 时等号成立,所以, p 的最小值等于 …………12 分 8 2 ??? ? ??? ? ??? ? 20.解:(1)设 C ( x, y) ,∵OC ? ? OA ? ? OB ,∴( x, y) ? ? (1,0) ? ? (0, ?2) …………2 分
当且仅当 EB1 ? B1F ? ∴?

?x ? ? …………3 分 ? y ? ?2?

?? ? 2? ? 1 ∴x ? y ? 1 ,即点 C 的轨迹方程为 x ? y ? 1 …………6 分

?x ? y ? 1 ? (2)联立方程 ? x 2 y 2 ,得 (b2 ? a2 ) x2 ? 2a2 x2 ? a2 ? a2b2 ? 0 (b2 ? a 2 ? 0) …………8 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

2a 2 a 2 ? a 2b 2 , x1 x2 ? ? 2 …………9 分 b2 ? a 2 b ? a2

由题意得 OM ? ON ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 …………10 分 ∴x1 x2 ? (1 ? x2 )(1 ? x2 ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 1 ?

???? ???? ?

2a 2 2(a 2 ? a 2b2 ) ? b2 ? a 2 b2 ? a 2

b 2 ? a 2 ? 2a 2 b 2 ? ? 0 …………12 分 b2 ? a 2
得 b ? a ? 2a b ,所以
2 2 2 2

1 1 ? ? 2 为定值…………13 分 a 2 b2 1 1 ? a ?ax 2 +x +a ? 1 ?a? 2 ? …………2 分 x x x2

21.解:(1)原函数的定义域为 (0, ??) ,因为 f ?( x) ? 所以当 a ? 0 时, f ?( x) ?

x ?1 x ?1 ,令 f ?( x ) ? 2 >0 得 x >1 ,所以 2 x x

此时函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数…………3 分
44

1 1 ? x 2 +x+ ? 1 ? x 2 +2x ? 1 ?( x ? 1)2 1 2 ? 当 a ? 时, f ?( x) ? 2 ? 0 ,所以 ? 2 2 2 x2 2x2 x
此时函数 f ( x ) 在 (0, ??) 是减函数…………4 分 当 a <0 时, f ?( x) ? 令

1 ?ax 2 +x +a ? 1 >0 得 ?ax 2 +x ? 1+a >0 , 解得 x >1或x < ? 1 (舍去) 此时函数 f ( x ) , 2 a x

在 (1, ??) 上是增函数;在 (0,1) 上是减函数…………5 分

1 1 ?ax 2 +x +a ? 1 >0 得 ?ax 2 +x ? 1+a >0 ,解得 1<x < ? 1,此时函数 f ( x) 在 当 0<a < 时,令 f ?( x) ? 2 2 a x

1 1 (1, ? 1) 上是增函数;在 (0,1) 和 ( ? 1, ?? ) 上是减函数…………6 分 a a


1 1 ?ax 2 +x +a ? 1 <a <1 时,令 f ?( x) ? >0 得 ?ax 2 +x ? 1+a >0 ,解得 ? 1<x <1,此时函数 f ( x) 在 2 2 a x

1 1 ( ? 1,1) 上是增函数;在 (0, ? 1) 和 (1, ??) 上是减函数…………7 分 a a

1 ?ax 2 +x+a ?1 >0 得 ?ax 2 +x ? 1+a >0 ,可解得 0 ? x ? 1 ,此时函 当 a ? 1 时,由于 ? 1 ? 0 ,令 f ?( x) ? 2 a x
数 f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数;在 (1, ??) 上是减函数…………8 分

1 时, f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, 2) 上是增函数,所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 有 f ( x1 ) ? f (1) ? ? …………10 分 2 1 又已知存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) , x2 ??1,2? , 2 1 9 2 2 即存在 x ??1, 2? ,使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ? ,即 2bx ? x ? …………12 分 2 2 9 17 11 即 2b ? x ? 2 ? [ , ] …………13 分 4 2 x 17 17 17 所以 2b ? ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ?? ) …………14 分 4 8 8
(2)当 a ?

45


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