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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题2 导数的概念及应用


2014 福建高考文科数学第二轮专题复习 导数的概念及应用(教师版)
★★★高考在考什么
【考题回放】
1 文.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为(D)
3 2

A. (2, ??) B. (??, 2) C. (??,0)

D. (0, 2) ) D (2π,3π)<

br />
1(理)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数(B A ( ? , 3? )
2 2
4

B (π,2π)

C ( 3? , 5? )
2 2

2.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 A

A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

3. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =(B) A.2 B.3 C.4 D.5

4. 在函数 y ? x 3 ? 8 x 的图象上,其切线的倾斜角小于 的点的个数是 A.3
3

B.2

C.1

? 的点中,坐标为整数 4 ( D ) D.0

5.曲线 y?x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x?2 所围成的三角形的面积为

______8/3____
6. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a.
3 2

(Ⅰ)求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点. 【专家解答】:(I) f '( x) =3 x 2 -2 x -1

1 若 f '( x) =0,则 x ==- , x =1 3 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表: 1 1 1 (-≦, - ) - (- ,1) 1 x (1, +≦) 3 3 3 f '( x) + 0 0 + - f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 1 5 ? f ( x) 的极大值是 f (? ) ? ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27 (II)函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) ? a ? 1 由此可知, 取足够大的正数时, f ( x) >0, 有 取足够小的负数时有 f ( x) <0, 所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一个交点 结合 f ( x) 的单调性可知: 5 5 当 f ( x) 的极大值 ? a <0,即 a ? (??, ? ) 时,它的极小值也小于 0, 27 27 因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在(1,+≦)上。 当 f ( x) 的极小值 a -1>0 即 a ? (1,+≦)时,它的极大值也大于 0,因此 1 曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在(-≦,- )上。 3 5 ?当 a ? (??, ? ) ∪(1,+≦)时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点 27

★★★高考要考什么
【考点透视】(理科) 1 了解导数概念的实际背景,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意 义;理解导函数的概念。 2 熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函 数的求导法则.会求某些简单函数的导数。 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的 必要条件和充分条件。 4 会求一些实际问题的最值。 (文科) 1 了解导数概念的某些实际背景。 2 理解导数的几何意义。 3 掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导 数。 4 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的 单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

5 会利用导数求某些简单实际问题的最值。 【热点透析】 1.考查导数的概念和某些实际背景,求导公式和求导法则。 2.导数的简单应用,利用导数研究函数的单调性和极值,复现率较高。 3.综合考查, 包括解决应用问题, 将导数内容和传统内容中有关不等式 和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一 起,设计综合试题。

★★★高考将考什么
【范例 1】已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.
3 2

f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程. 2 (1)解: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0. 3 2 解得 a ? 1, b ? 0 . ? f ( x) ? x ? 3x, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 . 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f (x) 在 (1, ? ?) 上是增函数. 若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在 (?1, 1) 上是减函数. 所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值.
(1)讨论 (2)解:曲线方程为 设切点为 M ( x0 , 因

y ? x 3 ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上.
3 y 0 ) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x0 ? 3x0 .

2 2 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y 0 ? 3( x0 ? 1)( x ? x0 )

注意到点 A(0,16)在切线上,有
3 2 3 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x 0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 . 所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 . 【点晴】过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题 的关键. 【文】 2 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值 3

(1) 求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间 (2) 若对 x?〔-1,2〕,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。 解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b 2 12 4 1 由 f?( - )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= - ,b= 3 2 9 3 -2 f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1),函数 f(x)的单调区间如下表: 2 2 2 (-?,- ) - (- ,1) x 1 (1,+?) 3 3 3 f?(x) f(x) + 0 极大 值 - 0 极小 值 +

?

?

?

所以函数 f(x)的递增区间是(-?,-
2 是(- ,1) 3

2 )与(1,+?),递减区间 3

(2)f(x)=x3- x2-2x+c,x?〔-1,2〕,当 x=- 时,f(x)
22 +c 27 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。要使 f(x)?c2 (x?〔-1,2〕)恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2

1 2

2 3



【范例 2】设函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ? ax?a ? 0 ? ,求 a 的取值范围,使函数 f(x) 在区间 ?0,??? 上是单调函数。 解: f ??x ? ?
x x ?1
2
1 ? ? 1 2 x ?1 2 ? x2 ?1 ? a ? 2

?

? ?

?

x x2 ?1

? a?a ? 0?

?

?1

?(1)当 a ? 1时, f ??x ? ?
减函数。

x x ?1
2

? a ? 0 恒成立,

?

f(x)在区间 ?0,??? 上是

(2)当 0 ? a ? 1 时,解不等式 f ??x ? ? 0 得 x ?
? a ? 在 ? 0, 1 ? a2 ? ? ? 上 f(x)是单调递减速函数 ?

a 1? a2

f ??x ? ? 0 得 x ?

a 1? a2

? a ? ? 在? ,?? ? 上 f(x)是单调递增函数 ? ? 2 ? 1? a ?

综合得:当且仅当 a ? 1 时,f(x)在区间 ?0,??? 上是单调函数。 【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视 【文】设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx 2 ? c 的图象的 一个公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 解:(I)因为函数 f (x) , g (x) 的图象都过点( t ,0),所以 f (t ) ? 0 , 即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .
g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.

又因为 f (x) , g (x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt. 将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t. 因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 ,b ? t ,c ? ?t 3 . ( II ) 解 法 一
y ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? t 2 x ? tx 2 ? t 3 , y ? ? 3x 2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )( x ? t ) .

当 y ? ? (3x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减.

由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3

由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则
t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3

又当 ? 9 ? t ? 3时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 解法二: y ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? t 2 x ? tx 2 ? t 3 , y ? ? 3x 2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )( x ? t ) 因为函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 (-1, 上单调递减, y ? ? (3x ? t )( x ? t ) 是 3) 且 (-1,3) 上的抛物线,
? y ? | x ? ?1 ? 0, 所以 ? ? y ? | x ? 3 ? 0.
?(?3 ? t )( ?1 ? t ) ? 0. 即? 解得 t ? ?9或t ? 3. ?(9 ? t )(3 ? t ) ? 0.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 【范例 3】设定义在 R 上的函数 f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x(其中 ai∈R,i =0,1,2,3),当x=- 2 2 时,f(x)取得极大值 ,并且函数 y=f′(x) 2 3

的图象关于 y 轴对称。 ⑴求 f(x)的表达式; ⑵试在函数 f (x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直, 且切点的横坐标都在区间[-1,1]上; ⑶求证:|f(sinx)-f(cosx)|≤ 2 2 )(x∈R). 3

解:≧f′(x)=4a0x3+3a1x2+2a2x+a3 为偶函数。 ?a0=a2=0,?f(x)=a1x3+a3x

又当 x=-

2 2 时,f(x)取得极大值 2 3 2 ? ?a1= , 2 3 解得? ?f(x)= x3-x,f′(x)=2x2-1 3 ?a3=-1, ?
2 2

?f(- 2)= 2, ? 2 3 ?? 2 ?f′(- 2 )=0, ?

⑵解:设所求两点的横坐标为 x1、x2,则(2x1 -1)(2x2 -1)=-1 又≧x1,x2∈[-1,1],?2x12-1∈[-1,1],2x22-1∈[-1,1] ?2x12-1,2x22-1 中有一个为 1,一个为-1, 1 ?x1=0,x2=±1,?所求的两点为(0,0)与(1,- )或(0,0)与(-1, 3 1 )。 3 ⑶证明:易知 sinx∈[-1,1],cosx∈[-1,1]。 当 0<x< 2 2 时,f′(x)<0;当 <x<1 时,f′(x)>0。 2 2 2 2 ]为减函数,在[ ,1]上为增函数, 2 2 2 2 1 )=- ,f(1)=- ,而 f(x)在[-1,1]上为奇函 2 3 3

?f(x)在[0,

又 f(0)=0,f( 数,

?f(x)在[-1,1]上最大值为

2 2 ,最小值为- , 3 3

?f(sinx)∈[-

2 2 2 2 , ],f(cosx)∈[- , ], 3 3 3 3 2 2 … 3

?|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤

【点晴】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题

【文】已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x) 在区间

? ?1, 4? 上的最大值是 12。
(I)求 f ( x) 的解析式;
37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有 x 两个不等的实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

(II) 是否存在实数 m, 使得方程 f ( x) ?

解:(I)? f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5),

?可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).
? f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a.

由已知,得 6a ? 12, (II)方程 f ( x) ?

? a ? 2, ? f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x 2 ? 10 x( x ? R).

37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0. x

设 h( x) ? 2 x3 ? 10 x 2 ? 37, 则 h '( x) ? 6 x 2 ? 20 x ? 2 x(3x ? 10).
10 ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 3 10 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 3 10 1 ? h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 10 10 内分别有惟一实数根,而在区间 ? 方程 h( x ) ? 0在区间 (3, ), ( , 4) 3 3

当 x ? (0,

(0,3), (4, ??) 内没有实数根,

所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x) ? 有且只有两个不同的实数根。 【范例 4】已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)( a ? 0) .

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内 x

(1)求函数 y ? f (x) 的反函数 y ? f

?1

( x)及f ( x) 的导数 f ?(x);

(2)假设对任意 x ? [ln(3a), ln(4a)], 不等式 | m ? f ?1 ( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 成 立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)? e x ? 0,? y ? ln a,? y ? f
y? ? ex 1 ? 1? x x e ?a e ?a
?1

?x ? ? ln ?e x ? a ?, ?x ? ln a ? ;

(2) x ? [ln(3a), ln(4a)], 不等式 | m ? f ?1 ( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0
? f
?1

?x ? ? ln f ??x ? ? m ?

f

?1

?x ? ? ln f ??x ?

? ln e x ? a ? ln

?

?

ex ex ? m ? ln e x ? a ? ln x ex ? a e ?a

?

?

ex ex ? a e2x ? a 2 ex ex ? a e2x ? a 2 m ? ln ? m ? ln ?e ? ? ex ? a ex ex ? a ex

?

?

?

?

令: u ?t ? ?
? v? ? t ? ?

t ?t ? a ? t 2 ? a2 , v?t ? ? , t ? e x , t ? ?3a,4a ? t?a t

?

?

t 2 ? a2 t 2 ? 2at ? a 2 ? 0, t ? ?3a, 4a ? , u ? ? t ? ? ?0 t2 (t ? a) 2

所 以 u (t ), v(t ) 都 是 增 函 数 . 因 此 当 t ? [3a,4a] 时 , u(t ) 的 最 大 值 为
u ( 4a ) ? 12 8 a, v(t ) 的 最 小 值 为 v(3a) ? a, 而 不 等 式 ② 成 立 当 且 仅 当 5 3 12 8 12 8 u (4a) ? e m ? v(3a), 即 a ? e m ? a ,于是得 ln( a) ? m ? ln( a). 5 3 5 3

解法二:由 | m ? f ?1 ( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 得
ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x ? m ? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x.

设 ? ( x) ? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x,? ( x) ? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x, 于是原不等式对于 x ? [ln(3a), ln(4a)] 恒成立等价于 ? ( x) ? m ? ? ( x). ③…7 分 由 ? ?( x) ?
ex ex ex ex ?( x) ? x ? ? 1,? ? ? 1 ,注意到 ex ? a ex ? a e ? a ex ? a

0 ? e x ? a ? e x ? e x ? a, 故有 ? ?( x) ? 0,? ?( x) ? 0 ,从而可 ? ( x)与? ( x) 均在

[ln(3a), ln(4a)] 上单调递增,因此不等式③成立当且仅当

? (ln(4a)) ? m ? ? (ln(3a)). 即 ln(
决较简单.

12 8 a) ? m ? ln( a). 5 3

【点晴】求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解

【文】如图所示,曲线段 OMB : x ? y (0 ? x ? 6) 在点 x ? t (即点 M)处
2

的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q,且 BA ? x 轴于 A, (I)试用 t 表示切线 PQ 的方程; Bo y (II)求 ? QAP 的面积 g(t)的最大值. 同时指出 g(t) 在(m ,n)上单调递减时 m ? n 的最小值。 Q M 解:(I)? y ? ? 2 x ?K= y ? | x ?t = 2 t,切线方程为 y–t 2 = 2t(x-t), 即 y = 2 t x - t2 ( 0 < t < 6 ) o o (II)在切线方程中 A P t t 令y = 0得 x = ? p( ,0), 令x ? 6,得y ? 12t ? t 2 ,? Q(6,12t ? t 2 ) 2 2 1 1 t 1 ? g (t ) ? | AP | ? | AQ |? (6 ? )(12t ? t 2 ) ? t 3 ? 6t 2 ? 36t (0 ? t ? 6) 2 2 2 4 x

3 2 t ? 12t ? 36, 4 ? 0 ? t ? 6 ? 令g ?(t ) ? 0得4 ? t ? 6; 令g ?(t ) ? 0得0 ? t ? 4 g ?(t ) ?

?函数 g (t ) 在 ?0,4 ? 上单调递增;在 ?4,6 ? 上单调递减 故g max (t ) ? g (4) ? 64 又g (t )在(m, n)上单调递减 依题知 (m, n) ? (4,6),? m的最小值为4. n 的最大值是 6,

故 m ? n 的最小值是 ? 2 【自我提升】 1 1 函数 f ( x) ? ax3 ? ax2 ? x ? 1 有极值的充要条件是( B 3 A. a ? 1或a ? 0 B. a ? 1或a ? 0
2

) D. 0 ? a ? 1

C. a ? 1或a ? 0

2.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线方程

为(D) A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 3. (浙江卷 11)设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x) 的图象如右图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是 y
y y y y
O
2

1

2

x

O 1

2

x

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(理 4(理).函数 f ( x) ? x ? 2 ln x 的单调减区间是( A
2

) D.[?1,0)及(0, 1]

A. (0, 1]

B. [1, ? ?)

C. (??, ? 1] 及 (0, 1]

4(文).函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.1,-1

B.1,-17

C.3,-17

D.9,-19

5. 当 k ?

时, f ( x) = x3 + kx 2 在 [0, 2] 上是减函数.
3 2

(- ? , 3]
6.过点 A(2,-1)作曲线 y=x +x -2x 的切线,则切线的方程

x+y=0 或 x+4y+2=0 或 31x-y-63=0
7. 已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f
3 '

? x ? 是的导函数

(Ⅰ) 对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值, 都有 g ? x ? ? 0 , 求实数 x 的取值范围;

(Ⅱ)设 a ? ?m2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象与 直线 y ? 3 只有一个公共点。 解:Ⅰ) ( 由题意 g ? x ? ? 3x 2 ? ax ? 3a ? 5 ,令 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x 2 ? 5 , 1 ? a ? 1 ? 对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0
? ? ?1? ? 0 ? ?? ?? ? ?1? ? 0 ?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0 2 即? 2 ,解得 ? ? x ? 1 3 ?3 x ? x ? 8 ? 0

? 2 ? 故 x ? ? ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ? 3 ?

(Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x 2 ? 3m 2 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x3 ? 1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:

x
f ' ? x? f ? x?

? ??, m ?
?
?

?m

?? m , m ?
?

m

? m , ?? ?
?
?

0
极大

0
极小

?

? f ? x ?极小 ? f ? x ? ? ?2m 2 m ? 1 ? ?1 又≧ f ? x ? 的值域是 R ,且在 ? m , ?? ? 上单调递增 ?当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点。 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? ? m ?
? 由 题 意 得 f ? ? m ? ? 3 , 即 2m 2 m 1 ? 2 m ? 1 ? 3 解 得 ,
3

m ? ? 3 2, 0 ? 0, 3 2

?

? ?

?

综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2

?

?

8.(理) 设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,

求实数 a 的取值范围. 解法一:令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 对函数 g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1, ……5 分 (i)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0,所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又 g(0)=0,所以对 x≥0,都有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. ……9 分 a -1 (ii)当 a>1 时,对于 0<x<e -1,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,ea-1-1) 是减函数, 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1,都有 g(x)<g(0), 即当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立. 综上,a 的取值范围是(-∞,1]. ……12 分 解法二:令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 于是不等式 f(x)≥ax 成立即为 g(x)≥g(0)成立. ……3 分 对函数 g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1, ……6 分 a-1 当 x> e -1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, ……9 分 a-1 所以要对所有 x≥0 都有 g(x)≥g(0)充要条件为 e -1≤0. 由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1]. 1 8(文)已知函数 f(x)= ax3 ? bx 2 ? cx ? d ,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差 3 2b 数 列 , 且 a > 0,d > 0. 设 x0为f ( x)的极小值点,在 [ 1,0 ] 上 , a
f ' ( x)在x1处 取 得 最 大 植 ,



x2处





最 ,

小 将

值 点

(x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ' ( x1 )), ( x2 , f ' ( x2 , f ( x2 ))依

次 A, 记 C为 B,

(I)求 x o的值 (II)若⊿ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为 2 ? 3 ,求 a ,d 的值 【解析】(I): ? 2b ? a ? c
? f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c ? ax 2 ? (a ? c) x ? c ? ( x ? 1)(ax ? c)

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1或x ? ?

? a ? 0, d ? 0

?0 ? a ? b ? c c 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 a
所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即 xo ? ?1 (II) ? f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) 的图像的开口向上,对称轴方程为
x?? b a

c a c c ? ? 1, ? ? ?1 a a



b 2b b b 2b ? 1 知 | (1 ? ) ? (? ) |?| 0 ? (? ) | ? f ?( x) 在 [1 ? , 0] 上 的 最 大 值 为 a a a a a f ?( 0 ) c ?

即 x1 =0 又 由
b b 2 b b ? 1 知 ? ?[ 1 ? , , ] ?0 当 x ? ? 时 , a a a a
f ?( x) 取 得 最 小 值 为

2 b d b f ?(? ) ? 即x2 ? ? ? , a a a

1 b d2 1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 3 a a 3

由 三 角 形 ABC 有 一 条 边 平 行 于 x 轴 知 AC 平 行 于 x 轴 , 所 以
1 d2 ? a ? ? ,即a 2 =3d 2 ? (1) 3 a
1 b a 又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得 (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 2 a 3

2 d2 ? 2 ? 3 ? (2) 利用 b=a+d,c=a+2d,得 d ? 3 a

联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 .

解法 2: ? f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c(a ? 0) ? f ?(1 ? 又 c>0 知 f ( x) 在 [1 ?

2b ) ? 0, f ?(0) ? c a

2b , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c 即: x1 =0 a b b 2 b b 又 由 ? 1 知 ? ? [ 1 ? ?0 当 x ? ? 时 , f ?( x) 取 得 最 小 值 为 , , ] a a a a

b d2 b f ?(? ) ? ? ,即x2 ? ? a a a 1 b d2 1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 3 a a 3

由 三 角 形 ABC 有 一 条 边 平 行 于 x 轴 知 AC 平 行 于 x 轴 , 所 以
1 d2 ? a ? ? ,即a 2 =3d 2 ? (1) 3 a
1 b a 又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得 (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 2 a 3

2 d2 ? 2 ? 3 ? (2) 利用 b=a+d,c=a+2d,得 d ? 3 a

联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3


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