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福建省泉州一中2012-2013学年高一下学期期末数学试题


泉州一中2012-2013学年高一下学期期末数学试题
(考试时间120分钟,总分150分) 命题:陈惠彬 审题:邱形贵

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.数列 0,1,0,-1,0,1

,0,-1,…的一个通项公式是( ) D. cos

( ?1) n ? 1 A. 2

n? cos B. 2

C. cos

(n ? 1)? 2

( n ? 2)? 2


2.已知各项均为正数的等比数列{ a n }, a1 · a 9 =16,则 a 2 · a 5 · a8 的值( A.16 B.32 C.48 D.64 3.若 a、b、c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 ( ) A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc C.

c2 ?0 a?b

D. (a ? b)c ? 0
2

4.已知等差数列 {an } 中, a6 ? 4 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 等于( A . 22 B. 33 C . 44 D.55



5.在 ?ABC 中,若 A ? 60?, BC ? 4 3, AC ? 4 2, 则角 B 的大小为 ( A.30° B.45° C.135° D.45°或 135°



6.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,若 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,则 a 5 等于( A.16 7.给出下列命题: B.15 C.17 D.21



①存在实数 ? 使 sin ? ? cos ? ? 1 成立; ②存在实数 ? 使 sin ? ? cos ? ? ③函数 y ? sin(

5? ? 2 x) 是偶函数; 2

④x?

?
8

是函数 y ? sin(2 x ?

5? ) 的图象的 4

3 成立; 2

一条对称轴的方程; 其中正确命题的序号是( ) A.①、③ B.②、③、④ 8.下列命题中正确的是 ( ) 1 A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? ?2 lg x C.当 0 ? ? ?

C.③、④

D.①、③、④ B.当 x ? 0 , x ? 1 ? 2 x D.当 0 ? x ? 2时, x ?

?
2

, sin ? ?

2 的最小值为 2 2 sin ?
1

1 无最大值 x

9.设数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn ,若 S n ?

1 ( an ? 3) 2 ( n ? N? ),则 {an } 12

(

)

A.是等差数列,但不是等比数列; B.是等比数列,但不是等差数列; C.是等差数列,或是等比数列; D.可以既不是等比数列,也不是等差数列. 10.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,
2 2

则 A ?(

) D. 1500

A. 300 11.正数 x 、 y 满足

B. 600

C. 1200

2 1 ? ? 1,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) x y A. m ? ?2或m ? 4 B. m ? ?4或m ? 2 C. ? 2 ? m ? 4 D. ? 4 ? m ? 2

12.已知 {x1 , x2 , x3 , x4 } ? {x | ( x ? 3) ? sin ? x ? 1, x ? 0} ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.角 ? 的终边过点 (?1, 2) ,则 cos ? 的值为________.

?x ? 1 ? 1 ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,向量 a ? ( y ? 2 x, m), b ? (1, ?1) , 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
且 a / / b ,则 m 的最小值为________________. 15.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙 以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏 东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上.则 sin ? = .

* 16.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1 (n ? N , n ? 2) ,

则该数列前 n 项和 Sn ?

.

2

三. 解答题: 本大题共 6 小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本 小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a3 ? 3 , a1 ? a7 ? 8 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

1 ,证明:数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 1 . an ? an ?1

18.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x x ? 1 或x ? b} .
2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式: ax ? (ac ? b) x ? bc ? 0
2

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小;

sin A、 sin C 成等比数列,试判断 ?ABC 的形状. (Ⅱ)若 sin B、

20.(本小题满分 12 分) 小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起, 每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累 计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格 为 25 ? x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年). (Ⅰ)当大货车运输到第 3 年年底,该车运输累计收入是否会超过总支出?
3

(Ⅱ)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大? (利润=累计收入+销售收入-总支出)

21.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 2S ?ABC ? 3 BA ? BC . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 a ? c 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

4x . 4x ? 2

(Ⅰ)求 f ( x) ? f (1 ? x), x ? R 的值; (Ⅱ)若数列 {a n }满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n?1 ? an , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,是否存在正实数 k ,使 不等式 knSn ? 4bn 对于一切的 n ? N 恒成立?若存在,请求出 k 的取值范围;若不存在,
?

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) (n ? N *) , n

请说明理由.

4

泉州一中 2012-2013 年第二学期期末考

高一年数学科试卷答案
第Ⅰ卷(选择题

(2013.7)

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是( D ) A.

( ?1) n ? 1 2

B. cos 2

n?

C. cos

(n ? 1)? 2

D. cos

( n ? 2)? 2
D )

2.已知各项均为正数的等比数列{ a n }, a1 · a 9 =16,则 a 2 · a 5 · a8 的值( A.16 B.32 C.48 D.64 3.若 a、b、c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 ( D ) A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc C.

c2 ?0 a?b

D. (a ? b)c ? 0
2

4.已知等差数列 {an } 中, a6 ? 4 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 等于( C A . 22 B. 33 C . 44 D.55



5.在 ?ABC 中,若 A ? 60?, BC ? 4 3, AC ? 4 2, 则角 B 的大小为 ( B ) A.30° B.45° C.135° D.45°或 135°

6.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,若 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,则 a 5 等于( C ) A.16 7.给出下列命题: B.15 C.17 D.21

①存在实数 ? 使 sin ? ? cos ? ? 1 成立; ②存在实数 ? 使 sin ? ? cos ? ? ③函数 y ? sin(

5? ? 2 x) 是偶函数; 2

④x?

?
8

是函数 y ? sin(2 x ?

5? ) 的图象的 4

3 成立; 2

一条对称轴的方程; 其中正确命题的序号是( C ) A.①、③ B.②、③、④ 8.下列命题中正确的是 ( B ) A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 lg x C.当 0 ? ? ?

C.③、④

D.①、③、④

B.当 x ? 0 , x ? 1 ? 2 x

2 1 的最小值为 2 2 D.当 0 ? x ? 2时, x ? 无最大值 2 sin ? x 1 ( an ? 3) 2 ( n ? N? ),则 {an } ( D ) 9.设数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn ,若 S n ? 12
, sin ? ?
5

?

A.是等差数列,但不是等比数列; B.是等比数列,但不是等差数列; C.是等差数列,或是等比数列; D.可以既不是等比数列,也不是等差数列. 10.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,
2 2

则 A ?(

A ) D. 1500

A. 300 11.正数 x 、 y 满足

B. 600

C. 1200

2 1 ? ? 1,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( D ) x y A. m ? ?2或m ? 4 B. m ? ?4或m ? 2 C. ? 2 ? m ? 4 D. ? 4 ? m ? 2
D)

12.已知 {x1 , x2 , x3 , x4 } ? {x | ( x ? 3) ? sin ? x ? 1, x ? 0} ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的最小值为( A.6 B.8 C.10 D.12

第Ⅱ卷(非选择题
13.角 ? 的终边过点 (?1, 2) ,则 cos ? 的值为___ ?

共 90 分)
5 _____. 5

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置.

?x ? 1 ? 1 ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,向量 a ? ( y ? 2 x, m), b ? (1, ?1) ,且 a / / b , 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
则 m 的最小值为______-6___________. 15. 如图, 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处, 且与岛屿 A 相距 12 海里, 西 ? 渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上.则 sin ? = B

北 C

A 南



3 3 14

.

16.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1 (n ? N * , n ? 2) ,则该数列前 n 项和 Sn ?

2n ?1 ? n ? 2

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a3 ? 3 , a1 ? a7 ? 8 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

1 ,证明:数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 1 . an ? an ?1

6

6

18.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x x ? 1 或x ? b} .
2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式: ax ? (ac ? b) x ? bc ? 0
2

19.(本小题满分 12 分)

7

在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小;

sin A、 sin C 成等比数列,试判断 ?ABC 的形状. (Ⅱ)若 sin B、

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 cos A ? ? ? 2bc 2bc 2 , ………4 分 解析: (Ⅰ)由已知得.

20.(本小题满分 12 分) 小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起, 每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累 计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格 为 25 ? x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年). (Ⅰ)大货车运输到第 3 年年底,该车运输累计收入是否会超过总支出? (Ⅱ)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?) (利润=累计收入+销售收入-总支出)

8

21.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 2S?ABC ? 3 BA ? BC . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 a ? c 的取值范围.

9

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

4x . 4x ? 2

(Ⅰ)求 f ( x) ? f (1 ? x), x ? R 的值; (Ⅱ)若数列 {a n }满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n?1 ? an , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,是否存在正实数 k ,使 不等式 knSn ? 4bn 对于一切的 n ? N 恒成立?若存在,请求出 k 的取值范围;若不存在,
?

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) (n ? N *) , n

请说明理由.

10

11


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