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二次函数求最值参数分类讨论的方法hai


二次函数求最值参数分类讨论的方法
新课改前,二次函数在初中教材中,只是让学生掌握些基本知识,没有作 过高的要求,而高中教材中没有列入,但是,高考对其的考查却是常考常新,进 而使其成为高中学生数学学习上的一大“盲区”。现在,新课程改革把二次函数 列入了高一数学必修(1)中,足以看出其重要性。但是,对于二次函数的深入 学习,依然是现在高中学生学习数学的一大“心病”,感觉到不

好把握,特别是 含参数二次函数的最值,更是让许多学生感到迷惑。结合自己若干年的教学,特 对二次函数求最值参数分类讨论浅析如下: 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质 属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题. 一般地,对于二次函数 y=a(x-m)2+n,x∈[t,s]求最值的问题;解决此类问题 的基本思路为:根据对称轴相对定义域区间的位置,利用分类讨论思想方法。为 做到分类时不重不漏,可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

t

s?t 2
② ③

s





①表示对称轴在区间[t,s]的左侧,②表示对称轴在区间[t,s]内且 靠近区间的左端点,③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点,④表示对称轴 在区间[t,s]的右侧。然后,再根据口诀“开口向上,近则小、远则大”;“开 口向下,近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型,无论哪种题型都围绕 着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一:“动轴定区间”型的二次函数最值 例1、求函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? 3 在 x ? [0, 4 ] 上的最值。 分析:先配方,再根据对称轴相对于区间的位置讨论,然后根据口诀写出最值。 解: f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? 3 ? ( x ? a ) 2 ? 3 ? a 2 ∴此函数图像开口向上,对称轴 x=a ①、当 a<0 时,0 距对称轴 x=a 最近,4 距对称轴 x=a 最远, ∴x=0 时, y m in =3,x=4 时, y m a x =19-8a ②、当 0≤a<2 时,a 距对称轴 x=a 最近,4 距对称轴 x=a 最远, ∴x=a 时, y m in =3-a2,x=4 时, y m a x =19-8a

③、当 2≤a<4 时,a 距对称轴 x=a 最近,0 距对称轴 x=a 最远, ∴x=a 时, y m in =3-a2,x=0 时, y m a x =3 ④、当 4≤a 时,4 距对称轴 x=a 最近,0 距对称轴 x=a 最远, ∴x=4 时, y m in =19-8a,x=0 时, y m a x =3 例 2、已知函数 f ( x ) ? a x 2 ? (2 a ? 1) x ? 3 在区间 [ ? , 2 ] 上最大值为 1,求实数 a 的
2 3

值 分析:取 a=0,a≠0,分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函 数的性质分类讨论. 解:1)若 a=0,则 f(x)=-x-3,而 f(x)在 [ ? , 2 ] 上取不到最大值为 1,∴a≠0
2 3

2)若 a≠0,则 f ( x ) ? a x 2 ? (2 a ? 1) x ? 3 的对称轴为 x 0 ? (Ⅰ)若 f ( ? ) ? 1 ,解得 a ? ?
2 3 10 3 23 20 1 3 3 2

1 ? 2a 2a 3 2 , 2]

,此时 x 0 ? ?
)?1

23 20

? [?

a<0, f ( x 0 ) 为最大值,但 f ( ? (Ⅱ) 若 f (2) ? 1 解得 a ?
a ? 3 4
f (2)

3 4

此时 x 0 ? ? ? [ ? , 2 ]

? 0, x 0 ? ?

1 3

距右端点 2 较远

最大值符合条件
?3 ? 2 2 2
3 2

(Ⅲ) 若 f ( x 0 ) ? 1 解得 a ?
?3 ? 2 2 2 ?3 ? 2 2 2
3 4

当a ?

?0

时 x0 ? ? 2 2 ? 4 ? [ ? , 2 ]
3 2

当a ?

?0

时 x0 ? 2 2 ? 4 ? [ ? , 2 ]
?3 ? 2 2 2

综收所述 a ?

或a ?

评注:此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值,解决此类问题的关 键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置,讨论时做到不重不漏。 题型二:“动区间定轴”型的二次函数最值 例 3、求函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 x∈[a,a+2]上的最值。 解: f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3

? ( x ? 1) ? 2
2

∴此函数图像开口向上,对称轴 x=1 ①当 a>1 时,a 距对称轴 x=1 最近,a+2 距 x=1 最远, ∴当 x=a 时, y m in =- a2+3 ,x=a+2 时, y m a x = a2 +2a+3 ②当 0<a≤1 时,1 距对称轴 x=1 最近,a+2 距离 x=1 最远, ∴当 x=1 时, y m in =2 ,x=a+2 时, y m a x = a2 +2a+3 ③当-1<a≤0 时,1 距对称轴 x=1 最近,a 距 x=1 最远, ∴当 x=1 时, y m in =2 ,x=a 时, y m a x =a2-2a+3 ④当 a≤-1 时,a+2 距对称轴 x=1 最近,a 距 x=1 最远, ∴当 x=a+2 时, y m in = a2 +2a+3 ,x=a 时, y m a x = a2 -2a+3 例 4、 已知函数 f ( x ) ?
3 4 x ? 3 x ? 4 是否存在常数 a、 b(0<a<b),使的定义域为[a,b]
2

值域也是[a,b]?若存在求出 a 和 b;若不存在,说明理由. 分析:首先将化为顶点式,找出对称轴与 f(x)的最小值,结合[a,b]进行 分类讨论. 解: f ( x ) ? 1)
3 4 ( x ? 2 ) ? 1 ,当
2

x=2 时 f(x)有最小值为1

当 a<2<b 时,a= y m in =1
7 4 ? 1, b ? f ( b )

f ( a ) ? f (1) ?

解得 b ?

4 3

? 2

(舍去)或 b=4

∴a=1,b=4 2) 当 b<2 时,则 f(x)在[a,b]上为减函数
3 2 ? b ? a ? 3 a ? 4 (1) ? ? 4 ? 3 2 ? a ? b ? 3b ? 4 ( 2 ) ? ? 4

(1)-(2)得 a+b=

8 3

,(1)+(1)得 a 2 ? b 2 ?
8 32 9 32 9 ?0 ?

32 9 32 9

又 2ab ? (a ? b)2 ? (a 2 ? b 2 ) ? ( )2 ?
3

又 (a ? b)2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ?

32 9

?

∴a=b 与已知 0<a<b 矛盾 3) 若 a>2 时, 则 f(x)在[a,b]上为增函数

3 2 ? a ? a ? 3a ? 4 ? ? 4 ? ? b ? 3 b 2 ? 3b ? 4 ? ? 4

∵a<b∴解得 a ?

4 3

,b ? 4 与

a>2 矛盾

综上所述:存在 a=1,b=4 符合题目的要求. 评注:此题属于“动区间定轴”型的二次函数最值,解决的关键是讨论 对称轴相对于定义域区间的位置,然后依据口诀,很快就可解决问题。 题型三: “动轴动区间”型的二次函数最值 例5、已知函数 f ( x ) ? 9 x 2 ? 6 a x ? a 2 ? 1 0 a ? 6 在 [ ? , b ] 上恒大于或等于0,其中
3 1

实数 a ? [3, ? ? ) ,求实数 b 的范围. 分析: 找出函数的对称轴:x ? 情况 解:∵ f ( x ) ? 9 ( x ? ) 2 ? 1 0 a ? 6, x ? [ ? , b ]
3 3 1 3 a a 3 3 a 1 a 3

结合区间 [ ? , b ] 讨论
3

1

a 3

?b

或?

1 3

?

a 3

?b





a 3

?b

时,f(x)在 [ ? , b ] 上是减函数

∴ y m in = f ( b ) ? 9 ( b ? ) 2 ? 1 0 a ? 6 即 9 ( b ? ) 2 ? 1 0 a ? 6 ≥0 则条件成立 令 u ? g ( a ) ? a 2 ? (6 b ? 1 0 ) a ? 9 b 2 ? 6, a ? [3, ? ? ) (Ⅰ)当 3b+5≤3 时.即 b ? ?
2 3

则函数 g(x)在 ?3, ?? ? 上是增函数

∴ u m in ? g (3) ? 9 ? 18 b ? 30 ? 9 b 2 ? 6 即 9 b 2 ? 18 b ? 27 ? 0 解得 b≥3 或 b≤-1 ∵b ? ?
2 3

,∴b≤-1
2 3

(Ⅱ)当 3b+5>3 即 b ? ?

, u m in ? g (3 b ? 5) ? ? 3 0 b ? 3 1
31

若-30b-31≥0 解得 b ? ? (2)若 ?
1 3 ? a 3 3 5 ?b

与b ? ?

2

矛盾;

时, y m in

30 3 a ? f ( ) ? ? 1 0 a ? 6 即-10a-6≥0 3

解得 a ? ? 与 a ? [3, ? ? ) 矛盾; 综上述:b≤-1 评注: 此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值,解决的关键是讨论对称轴与

定义域区间的位置更便于我们分类类讨论,然后依据口诀,很快就可解决问题。 最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则:一、分类不重不漏; 二、一次分类只能按已确定的同一标准进行.


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