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第七章 第七节 立体几何的向量方法


立体几何的向量方法 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. .理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系. 平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的 . 一些定理(包括三垂线定理 . 一些定理 包括三垂线定理). 包括三垂线定理 4.能用

向量方法解决直线与直线、直线与平面、 .能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题, 平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法 在研究立体几何问题中的应用. 在研究立体几何问题中的应用.

[理 要 点] 理 一、平面的法向量 1.所谓平面的法向量,就是指所在的直线与 平面垂直 的 .所谓平面的法向量, 向量,显然一个平面的法向量有 无数 多个,它们是 多个, 向量, 共线 向量. 向量. 2.在空间中,给定一个点A和一个向量 ,那么以向量 为 .在空间中,给定一个点 和一个向量 和一个向量a,那么以向量a为 法向量且经过点A的平面是 法向量且经过点 的平面是 唯一的 .

二、利用向量求空间角 1.两条异面直线所成角的求法 . 设两条异面直线a,b的方向向量为 ,b,其夹角为 ,则 的方向向量为a, ,其夹角为θ, 设两条异面直线 , 的方向向量为 cosφ=|cosθ|= = =
|a·b| (其中 为异面直线 ,b所成的角 . 其中φ为异面直线 所成的角). 其中 为异面直线a, 所成的角 |a||b|

2.直线和平面所成的角的求法 . 如图所示,设直线 的方向向量为 的方向向量为e,平面α的法向量为 的法向量为n, 如图所示,设直线l的方向向量为 ,平面 的法向量为 , 直线l与平面 所成的角为φ,两向量e与n的夹角为 ,则 直线 与平面α所成的角为 ,两向量 与 的夹角为θ, 与平面 所成的角为 的夹角为 |n·e| . 有sinφ=|cosθ|= = = |n||e|

3.求二面角的大小 . (1)如图①,AB、CD是二面角 -l-β的两个面内与棱 垂 如图① 是二面角α- - 的两个面内与棱 的两个面内与棱l垂 如图 、 是二面角 uuu uuu r r 直的直线,则二面角的大小θ= 直的直线,则二面角的大小 = 〈 AB , CD 〉 .

(2)如图②③,n1,n2分别是二面角 -l-β的两个半平 如图②③, 分别是二面角α- - 的两个半平 如图②③ 的法向量, 面α,β的法向量,则二面角的小大 = 〈n ,n 〉 , 的法向量 则二面角的小大θ= 1 2 (或π-〈n1,n2〉) . 或 -

[究 疑 点] 究 如何求一平面的法向量? 如何求一平面的法向量? 提示: 设出平面的法向量为 设出平面的法向量为n= , , ; 提示:(1)设出平面的法向量为 =(x,y,z);
(2)找出 求出 平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a1, 找出(求出 找出 求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 = b1,c1) ,b=(a2,b2,c2); = ; (3)根据法向量的定义建立关于 x、y、z 根据法向量的定义建立关于 、 、
?n·a=0 = ? 的方程组? ?n·b=0 = ?



(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 解方程组

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.已知向量a=(-2,- .已知向量 = - ,- ,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4, , = , =- , -6,2),则下列结论正确的是 , A.a⊥c,b⊥ A.a⊥c,b⊥c C.a∥c,a⊥b . ∥ , ⊥ ( B.a∥b,a⊥ B.a∥b,a⊥c D.以上都不对 . )

解析: = - ,- ,-6,2)=2(-2,- ,-3,1),∴a∥c. 解析:∵c=(-4,- = - ,- , ∥ =-2× + - × + × = , 又a·b=- ×2+(-3)×0+1×4=0,∴a⊥b. =- ⊥ 答案: 答案:C

2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 如图所示,正方体 如图所示 - E,F分别是 1,CD的中点,M为AE , 分别是 分别是BB 的中点, 为 的中点 上一点. 上一点. (1)求证平面 求证平面AED⊥平面 1FD1; 求证平面 ⊥平面A (2)当AM与AE有怎样的数量关系时,A1M⊥平面 当 与 有怎样的数量关系时 有怎样的数量关系时, ⊥平面DAE?

证明: 解:(1)证明:建立如图所示的空间 证明 直角坐标系 D-xyz,不妨设正方体 - , 的棱长为 2, , 则 D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1), , , , F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2), , , , uuu r uuu r ∴ DA =(2,0,0), DE =(2,2,1). , . 设平面 AED 的法向量 n1=(x1,y1,z1), , uuu r ?n1· DA =0, , r 则? uuu , ?n1· DE =0,

?(x ,y ,z )·(2,0,0)=0, , ? 1 1 1 ( , , ) 即? ?(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0, ( , , ) , ? ?2x =0, , ? 1 ∴? ?2x1+2y1+z1=0, , ? ?x =0, , ? 1 ∴? ?z1=- 1. ? =-2y

,-2). 令 y1=1,可得 n1 =(0,1,- . , ,- 同理可得平面 A1FD1 的一个法向量 n2=(0,2,1). . ∵n1·n2=0, , ∴平面 AED⊥平面 A1FD1. ⊥ (2)由于点 M 在直线 AE 上, 由于点 uuuu r uuu r 所以可设 AM =λ AE =λ(0,2,1)=(0,2λ,λ), = , ,

uuuur 从而可得 M(2,2λ,λ),于是 A1 M =(0,2λ,λ-2). , , , - .
要使 A1M⊥平面 DAE,需要 A1M⊥AE, ⊥ , ⊥ , r uuuur uuuu (0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0, ∴ A1 M · AM =(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0, 2 ∴λ=5. = 2 故当 AM= AE 时,A1M⊥平面 DAE. 5

3.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, 如图,已知直三棱柱 如图 - 为等腰直角三角形, △ABC为等腰直角三角形,∠BAC= 为等腰直角三角形 = 90°,且AB=AA1,D、E、F分别为 ° = 、 、 分别为 B1A、C1C、BC的中点.求证: A、 C、BC的中点 求证: 的中点. (1)DE∥平面ABC; ∥平面 ; (2)B1F⊥平面 ⊥平面AEF.

证明:如图以 为原点 为原点, 、 、 证明:如图以A为原点,AB、AC、 AA1为x、y、z轴建立空间直角坐 、 、 轴建立空间直角坐 标系A—xyz, , 标系 令AB=AA1=4, = , 则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0), , , , B(4,0,0),B1(4,0,4). , . (1)取AB中点为 , 取 中点为 中点为N, 则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), , , ,

r uuu uuur ∴ DE =(-2,4,0), NC =(-2,4,0), - , - , uuu uuur r ∴ DE = NC .∴DE∥NC, ∴ ∥ ,
又 NC 在平面 ABC 内,故 DE∥平面 ABC. ∥ uuu r uuuu r (2) B1 F =(-2,2,- , EF =(2,- ,- , ,-4), ,-2,- - ,- ,- ,-2), uuur AF =(2,2,0), , uuuu uuu r r B1 F · EF =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, - × + ×- +- ×- = ,

r r uuuu uuu 则 B1 F ⊥ EF ,∴B1F⊥EF, ⊥ , uuuu uuur r ∵ B1 F · AF =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. - × + × +- × = uuuu uuur r ∴ B1 F ⊥ AF ,即 B1F⊥AF,
又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面 AEF.

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 利用直线的方向向量和平面的法向量, 利用直线的方向向量和平面的法向量,可以判定直 线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直. 线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直. 1.设直线l1的方向向量为v1=(a1,b1,c1),直线l2的方向 .设直线 的方向向量为 ,直线 向量为v 向量为 2=(a2,b2,c2),则l1∥l2?v1∥v2?(a1,b1, , c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R); = ∈ ; l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2+b1b2+c1c2=0.

2.设直线l的方向向量为 =(a1,b1,c1),平面 的法向量 .设直线 的方向向量为 的方向向量为v= ,平面α的法向量 为n=(a2,b2,c2),则l∥α?v⊥n?a1a2+b1b2+c1c2=0; = , ∥ ? ⊥ ? ; l⊥α?v∥n?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R). ⊥ ? ∥ ? = ∈ . 3.设平面α的法向量为 1=(a1,b1,c1),平面 的法向量 .设平面 的法向量为 的法向量为n ,平面β的法向量 为n2=(a2,b2,c2),则α∥β?n1∥n2?(a1,b1,c1)= , ∥ ? = k(a2,b2,c2)(k∈R);α⊥β?n1⊥n2?a1a2+b1b2+c1c2 ∈ ; ⊥ ? =0.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E .长方体 - = , = , 的中点,则异面直线BC 为CC1的中点,则异面直线 1与AE所成角的余弦值 所成角的余弦值 为________. .

解析:建立坐标系如图, 解析:建立坐标系如图, 则 A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0), , , , C1(0,2,2), , uuu r uuuu r - , - , BC1 =(-1,0,2), AE =(-1,2,1), uuuu uuu r r uuuu uuu r r BC1 · AE r uuuu uuu = 30. r cos〈 BC1 · AE 〉= 〈 | BC1 || AE | 10

30 答案: 答案: 10

2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 如图,在直三棱柱 如图 - 已知BC= , 已知 =1,BB1=2,AB⊥平面 , ⊥ BB1C1C. (1)求直线 1B与底面 求直线C 与底面 所成角的正切值; 求直线 与底面ABC所成角的正切值; 所成角的正切值 (2)在棱 1(不包括端点 、C1)上确定一点 的位置,使 在棱CC 不包括端点 不包括端点C、 上确定一点 的位置, 上确定一点E的位置 在棱 EA⊥EB1(要求说明理由 . ⊥ 要求说明理由). 要求说明理由

为坐标原点, 、 解:以 B 为坐标原点,BC、BB1、BA 所在 的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空 、 、 间直角坐标系, 间直角坐标系,则 B(0,0,0),C1(1,2,0),B1 , , (0,2,0). . (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC 的一个法向量为 在直三棱柱 - uuur uuuu r BB1 =(0,2,0),又 BC1 =(1,2,0),设 BC1 与平面 ABC 所成的 , , 角为 θ, ,

uuur uuuu r 2 5 则 sinθ=|cos〈 BB1 , BC1 〉|= = 〈 = , 5
∴tanθ=2,即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2. = ,

(2)设 E(1,y,0),A(0,0,z), 设 , , , , uuu r uuur ,-y, , 则 EB1 =(-1,2-y,0), EA =(-1,- ,z), - - , - ,- uuu uuur r EA⊥ ∵EA⊥EB1,∴ EA · EB1 =1-y(2-y)=0, - - = , 的中点. ∴y=1,即 E(1,1,0),∴E 为 CC1 的中点. , ,

3.(2010·江苏徐州 如图所示,在四棱 . 江苏徐州)如图所示 江苏徐州 如图所示, 锥 S-OABC 中,底面四边形 - OABC 是直角梯形,且∠COA= 是直角梯形, = π = = = , ∠OAB= ,OA=OS=AB=1, = 2 OC=4,点 M 是棱 SB 的中点,N 是 OC 上的点,且 = , 的中点, 上的点, ON∶NC=1∶3,以 OC,OA,OS 所在直线分别为 x ∶ = ∶ , , , 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz. - (1)求异面直线 MN 与 BC 所成的角的余弦值; 求异面直线 所成的角的余弦值; (2)求 MN 与平面 SAB 所成的角的正弦值. 求 所成的角的正弦值.

解:由题知 S(0,0,1),C(4,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0), , , , , 1 1 1 所以 N(1,0,0),M( , , ). , . 2 2 2

r uuuu 1 r 1 1 uuu (1) MN ( ,- ,- ),CB =(-3,1,0), , - , 2 2 2
3 1 r r uuuu uuu - - uuuu uuu r r MN uuu uuuu · CB = 2 2 =- 2 30. r r cos〈 MN ,CB 〉= 〈 15 3 | MN |·| CB | · 10 4 2 30 ∴直线 MN 与 BC 所成的角的余弦值为 15 .

(2)设平面 SAB 的一个法向量为 n=(a,b,c), 设平面 = , , , uur ,-1)= + - = , 则 n· SB =(a,b,c)·(1,1,- =a+b-c=0, , , ,- uur n· SA =(a,b,c)·(0,1,- =b-c=0. ,-1)= - = , , ,- 令 b=1 可得 n=(0,1,1), = = , uuuu r uuuu r -1 MN 6 uuuu ·n = r cos〈 MN ,n〉= 〈 〉= =- . 3 3 | MN |·|n| · 2 4 uuuu r 3 ∴sin〈 MN ,n〉= . 〈 〉= 3 3 ∴直线 MN 与平面 SAB 所成的角的正弦值为 . 3

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.求异面直线所成角时注意的问题 . 利用向量的夹角来求异面直线的夹角时,注意区别: 利用向量的夹角来求异面直线的夹角时,注意区别: 当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时, 当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时,就是该异 面直线所成的角;当异面直线的向量的夹角为钝角时, 面直线所成的角;当异面直线的向量的夹角为钝角时, 其补角才是异面直线所成的角. 其补角才是异面直线所成的角. 2.利用向量法求线面角的方法 . 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向 或其补角); 量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角 ; 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角

二是通过平面的法向量来求, 二是通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平 面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线 面的法向量所夹的锐角或钝角的补角, 和平面所成的角. 和平面所成的角.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1), .已知两平面的法向量分别为 = , = , 则两平面所成的二面角为 A.45° . ° C.45°或135° . ° ° B.135° . ° D.90° . ° ( )

m·n 1 2 解析: 〈 , 〉= 解析:cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1· 2 2 〉=45°. 即〈m,n〉= , 〉= ∴两平面所成二面角为 45°或 180°-45°=135°. 或 - =

答案: 答案:C

2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则 . 的中点, - 平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 ( 1 A. 2 3 C. 3 2 B. 3 2 D. 2 )

解析: 为原点建系, 解析:以 A 为原点建系, 设棱长为 1. 1 则 A1(0,0,1),E(1,0,2), , , , D(0,1,0), , uuuu r ,-1), ∴ A1 D =(0,1,- , ,-
r uuuu 1 A1 E =(1,0,- ), ,-2 ,

设平面 A1ED 的法向量为

n1=(1,y,z) , , -= , ?y-z=0, ?y=2, ? ? = , 则? 1 ∴? ?z=2. - = , ? = ?1-2z=0, ? , ∴n1=(1,2,2), ∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1). . 2 2 ∴cos〈n1,n2〉= 〈 = . 3×1 3 × 2 即所成的锐二面角的余弦值为 . 3

答案: 答案:B

3.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC, 如图, ⊥ 如图 , ⊥ , PA=AC=1,BC= 2,则二面角 = = , = , A-PB-C 的余弦值大小为 - - 的余弦值大小为________. .

解析: 为原点, 解析:以 C 为原点,CA 为 x 轴, CB 为 y 轴建立空间直角坐标系 C—xyz,因为 A(1,0,0),B(0, 2, , , , , 0),C(0,0,0),P(1,0,1), , , , uuu r uuu r uuu r ,-1), ∴ AP =(0,0,1), PB =(-1, 2,- , CB (0, 2,0), , - , ,- , , , 设平面 APB 的法向量为 n1(x1,y1,z1),平面 PBC 的法向 , 量为 n2(x2,y2,z2), ,

?z1=0 ? 则? ?-x1+ ?

2y1-z1=0

? 2y =0 ? 2 ? ?-x2+ 2y2-z2=0 ?

∴n1=(2, 2,0),n2(-1,0,1) , , , - -2 3 ∴cos〈n1,n2〉= 〈 =- 3 6× 2 × 3 ∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 . - - 3

3 答案: 答案: 3

4.(2010·陕西高考 如图,在四棱锥 P-ABCD 陕西高考)如图 陕西高考 如图, - 是矩形, ⊥ 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, , AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD, = = , = , , , PC 的中点. 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; 证明: ⊥ 证明 ; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 求平面 夹角的大小.

证明: 解:(1)证明:如图,以 A 为坐标原 证明 如图, 点,AB、AD、AP 所在直线分别为 、 、 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. , , 轴建立空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2 2, = = , = = , 四边形 ABCD 是矩形. 是矩形. ∴A,B,C,D,P 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 2, , , , , , , , 0),D(0,2 2,0),P(0,0,2), , , , , 的中点, 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, , , ∴E(0, 2,0),F(1, 2,1). , , , , , .

uuu r uuu r r uuu BF -2), 1), ∴ PC =(2,2 2, , - , =(-1, 2, ,EF =(1,0,1), - , , , uuu uuu r r uuu uuu r r =-2+ - = , ∴ PC · BF =- +4-2=0, PC · BF =2+0-2=0, + - = , r r uuu uuu uuu uuu r r ∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF ,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EF=F, ⊥ , ⊥ , ∩ = , ∴PC⊥平面 BEF. ⊥

r uuu ,-2), (2)由(1)知平面 BEF 的法向量 n1= PC =(2,2 2,- , 由 知平面 ,-

r uuu , , 平面 BAP 的法向量 n2= AD =(0,2 2,0),∴n1·n2=8.

, 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ, |n1·n2| 8 2 则 cosθ=|cos〈n1,n2〉|= = 〈 = = = , |n1||n2| 4×2 2 2 × ∴θ=45°,∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°. = ,

在本题条件下试求平面BEF与平面 与平面BED夹角的大小. 夹角的大小. 在本题条件下试求平面 与平面 夹角的大小
r uuu ,-2) 解:由(2)知,面 BEF 的法向量为 n1= PC =(2,2 2,- 知 ,- uur ,-2) 平面 BED 的法向量 n= PA=(0,0,- = ,-
n1·n2 4 1 ∴cos〈n1,n2〉= 〈 = = |n1||n2| 4×2 2 ×
∴平面 BED 与平面 BEF 夹角的大小为 60°.

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1.利用空间向量求二面角可以有两种方法:一是分别在 .利用空间向量求二面角可以有两种方法: 二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出 发的两个向量, 发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面 角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设 角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求: 二面角的两个半平面的法向量分别为n 二面角的两个半平面的法向量分别为 1和n2,则二面角 的大小等于〈 的大小等于〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉). 或 - . 2.利用空间向量求二面角时,注意结合图形判断二面角 .利用空间向量求二面角时, 是锐角还是钝角. 是锐角还是钝角.

一、把脉考情 从近两年高考试题来看, 从近两年高考试题来看,利用空间向量证明平行或垂 直、求空间角是高考的热点内容,题型主要以解答题为主, 求空间角是高考的热点内容,题型主要以解答题为主, 难度中档偏上. 难度中档偏上. 此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标 的运算能力及应用能力,运算能力要求较高.预测 的运算能力及应用能力,运算能力要求较高.预测2012年 年 仍会考查此热点问题,注意强化复习训练. 仍会考查此热点问题,注意强化复习训练.

二、考题诊断 1.(2010·湖南高考 如图所示,在正方体 . 湖南高考)如图所示 湖南高考 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, - E是棱 1的中点. 是棱DD 的中点. 是棱

(1)求直线 和平面 求直线BE和平面 所成的角的正弦值; 求直线 和平面ABB1A1所成的角的正弦值; (2)在棱 1D1上是否存在一点 ,使B1F∥平面 1BE?证明 在棱C 上是否存在一点F, 在棱 ∥平面A ? 你的结论. 你的结论.

解:设正方体 ABCD-A1B1C1D1 -

r uuu uuu uuur r 如图所示, 如图所示,以 AB , AD , AA1 为单
位正交基底建立空间直角坐标系. 位正交基底建立空间直角坐标系. 1 (1)依题意,得 B(1,0,0),E(0,1,2),A(0,0,0), )依题意, , , , , uuu r r 1 uuu D(0,1,0),所以 BE =(-1,1, ), AD =(0,1,0). , - ,2 , . 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, - 因为 AD⊥平面 ABB1A1, ⊥ uuu r 的一个法向量, 所以 AD 是平面 ABB1A1 的一个法向量,设直线 BE 和平 面 ABB1A1 所成的角为 θ,则 ,

的棱长为 1.

r r uuu uuu |uuu · AD | BE uuu r r = 1 =2. sinθ= = 3 | BE |·| AD | 3×1
2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所 2 成的角的正弦值为3.

uuur uuu r (2)依题意 (2)依题意,得 A1(0,0,1), BA1 =(-1,0,1), BE = 依题意, (0,0,1), (-1,0,1),
1 (-1,1, ). - ,2 . 的一个法向量, 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量,则由 = , , 是平面

?-x+z=0, uuu r uuur ? += , n· BA1 =0,n· BE =0,得? , , 1 + + = ?-x+y+2z=0. ?

1 所以 x=z,y=2z. =, = 取 z=2,得 n=(2,1,2). = , = . 上的点, ≤≤ , 设 F 是棱 C1D1 上的点,则 F(t,1,1)(0≤t≤1), uuuu r 又 B1(1,0,1),所以 B1 F =(t-1,1,0).而 B1F?平面 A1BE, , - . ? , uuuu r 于是 B1F∥平面 A1BE? B1 F ·n=0?(t-1,1,0)·(2,1,2)=0 ∥ ? = ? - = 1 的中点. ?2(t-1)+1=0?t= ?F 为 C1D1 的中点. - + = ?= 2 的中点), ∥ 这说明在棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点 ,使 B1F∥平 面 A1BE.

2.(2010·天津高考 如图,在长方体 . 天津高考)如图 天津高考 如图,在长方体ABCD 分别是棱BC, -A1B1C1D1中,E、F分别是棱 ,CC1 、 分别是棱 上的点, = = 上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1 , ∶ ∶ =1∶2∶4. ∶ ∶ (1)求异面直线 与A1D所成角的余弦值; 求异面直线EF与 所成角的余弦值; 求异面直线 所成角的余弦值 (2)证明 ⊥平面 1ED; 证明AF⊥平面A ; 证明 (3)求二面角 1-ED-F的正弦值. 求二面角A 的正弦值. 求二面角 - 的正弦值

解:如图所示,建立空间直角坐 如图所示, 标系,点 A 为原点,设 AB=1, 标系, 为原点, = , 依题意得 D(0,2,0),F(1,2,1), , , 3 A1(0,0,4),E(1, ,0). , ,2 .

r uuu uuuu r 1 (1)易得 EF =(0, ,1), A1 D =(0,2,- . 易得 , , ,-4). ,- 2 r uuu uuuu r 于是 cos〈 EF , A1 D 〉 〈 uuu uuuu r r EF · A1 D 3 r r = uuu uuuu =- . 5 | EF || A1 D |
3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5

uuur uuu r uuur 3 (2)证明:易知 AF =(1,2,1),EA1 =(-1,- ,4),ED 证明: , - ,- , 证明 2
1 =(-1, ,0), - , , 2 uuur uuur uuur uuu r 于是 AF · EA1 =0, AF · ED =0. , 因此, ⊥ 因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. ⊥ 又 EA1∩ED=E, = , 所以 AF⊥平面 A1ED. ⊥ (3)设平面 (3)设平面 EFD 的一个法向量为 u=(x,y,z),则

?1 r uuu , ?2y+z=0, ?u· EF =0, , r ? uuu 即? , ?u· ED =0, ?-x+1y=0. 2 ? ,-1). 不妨令 x=1,可得 u=(1,2,- . , ,- uuur (2)可知 可知, 的一个法向量. 由(2)可知, AF 为平面 A1ED 的一个法向量. uuur uuur uuur u· AF 2 uuur = ,从而 sin〈u,AF 〉= 5. 于是 cos〈u,AF 〉= 〈 〈 3 3 |u|| AF | 5 所以二面角 A1-ED-F 的正弦值为 . 3

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