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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第1章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件]


第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.(2013 年福建)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2011 年山东)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命 题是( ) A.

若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 3.(2012 年广东珠海摸底)“a=1”是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件 4 .一元二次方程 ax2 + 2x + 1 = 0(a≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( ) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1 5.对于任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中是真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.给定两个命题 p,q.若綈 p 是 q 的充分而不必要条件,则綈 q 是 p 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是____________. 8.给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中是真命题的序号是________.

9.已知 p:|x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围.

10.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,证明 am,am+2,am+1 成等差数列; (2)写出(1)的逆命题,判断它的真假,并给出证明.

第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.A 解析:当“a=3”时,有“A?B”;当“A?B”,不一定有“a=3”,亦可 a =2,所以“a=3”是“A?B”的充分而不必要条件.故选 A. 2.A 解析:由于一个命题的否命题既要否定题设又要否定结论,因此原命题的否命 题为“若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3”. 2π 3. A 解析: y=cos2ax-sin2ax=cos2ax 的最小正周期为 π 等价于 T= =π, ∴a=± 1. |2a| 故选 A. 1 4. C 解析: 一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根, 则 x1x2= <0, a ∴a<0,其充分不必要条件应该是集合(-∞,0)的真子集,只有 C 符合题意. 5.B 解析:只有②④正确.故选 B. 6.A 7. -2 2≤a≤2 2 解析: 因为“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题, 则“?x∈R,2x2 -3ax+9≥0”为真命题.因此 Δ=9a2-4×2×9≤0,故-2 2≤a≤2 2. 8.①②④ 解析:①若 k>0,则 Δ=4+4k>0,是真命题.②的否命题为“若 a≤b, 则 a+c≤b+c”,是真命题.③的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④ 的否命题为“若 xy≠0,则 x,y 中两个均不为 0”,是真命题. 9.解:由 x2-2x+1-m2≤0(m>0),得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}. 由|x-4|≤6,得-2≤x≤10, ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, m>0, ? ? ∴?1-m≤-2, ? ?1+m≥10, 解得 m≥9.

10.证明:(1)∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2. 由已知 2Sm+2=Sm+Sm+1, ∴2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1), 1 1 ∴am+2=- am+1,即数列{an}的公比 q=- . 2 2 1 1 ∴am+1=- am,am+2= am. 2 4 ∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1 成等差数列. (2)(1)的逆命题是:若 am,am+2,am+1 成等差数列, 则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 设数列{an}的公比为 q,∴am+1=amq,am+2=amq2. 由题设,知 2am+2=am+am+1,即 2amq2=am+amq, 1 即 2q2-q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2 当 q=1 时,a1≠0,2Sm+2=2(m+2)a1=(2m+4)a1, Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1, 显然 Sm+Sm+1≠2Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列.逆命题为假.


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