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高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数


普通高中课程标准实验教科书(A版)选修2-2 导数及其应用 1.1 变化率与导数 背景介绍 早在十七世纪,欧洲资本主义 发展初期,由于工场的手工业 向机器生产过渡,提高了生产 力,促进了科学技术的快速发 展,其中突出的成就就是数学 研究中取得了丰硕的成果 ―――微积分的产生。 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹,他们分别从运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的

帮助,成 为十七世纪最伟大的数学发现,此后,微积分得到了广泛的 应用。例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程问题, 天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。 函数 微积分(牛顿,莱布尼兹) ? 一、已知物体运动的路程作为时间的函 数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长度、面积、体积和重心等。 ? 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大(小)值等 问题最一般、最有效的工具。 一、平均变化率 ? 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随 着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球膨胀率 气球体积增加量相 同,相应半径增 加量越来越小 ?r 越来越小 即 ?v ? 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 V (r ) ? ? r ? (单位:dm)之间的函数关系是 3 ? 3V r (V ) ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 4? 3 ? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) r (1) ? r (0) ? 气球的平均膨胀率为 ? 0.62(dm / L) 1? 0 ? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) r (2) ? r (1) ? 气球的平均膨胀率为 ? 0.16(dm /显然 L) 2 ?1 0.62>0.16 所以气球半径增加得越来越慢 P3 思考? ? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀 率是多少? r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1 气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢 ? 问题2 高台跳水 ? 运动员相对于水面的高度h(单位:米) h 与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数 关系 ? h(t)=-4.9t2+6.5t+10. o ? (t1)用运动员在某些时间段内的平均速 ?0 度粗略地描述其运动状态; 求 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v : h h(t)=-4.9t2+6.5t+10 o t ?t1, t2 ? 运动员在时间 ?t1, t2 ? 内的高度的平均变化率为 h1 ? h2 v? t1 ? t2 即平均速度 平均变化率: 上述问题中的变化率可用式子 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 表示 ? 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1) ? 则平均变化率为 f(x2 ) ? f ( x1 ) ? ?f ( x) x2 ? x1 ?x 练习:1、智力报P3 《课堂及时练》1.1.1 EX1,2 例:《智力报》P5上文 (2)你认为用平

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