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汕头2012、2013年高一数学统考题按知识点分类汇总(含答案)


汕头高一(2012、2013)期末统考题 按知识点分类汇总 (含答案和评分标准) 必修一
第一部分 集合 1.设集合 P ? {x | x ? 1} , Q ? {x | x2 ? x ? 0} ,则下列结论正确的是 A. P ? Q B. P Q ? R C. P ? Q D. Cu ( A ? B) D. Q ? P

2.图中阴影部分表示的集合

是( ) A. (CU A) ? B B. A ? (CU B) C. Cu ( A ? B)

15.(本小题满分12分) 设全集U=R,A={x|0≤x<8 },B={x|1<x<9},求 (Ⅰ)(?U A)∪B; (Ⅱ)A∩(?U B) 答案:C D
15、解: (Ⅰ)?U A={x|x<0 或 x≥8 }……………… 3 分 则(?U A)∪B ={x|x<0 或 x≥8 }∪{x|1<x<9}={x||x<0 或 x>1} ……………… 6 分 (Ⅱ)?U B={x|x≤1 或 x≥9 },……………… 9 分 则 A∩(?U B)= {x|0≤x<8 }∩ {x|x≤1 或 x≥9 }={x|0≤x≤1 }…… ………… 12 分

第二部分 函数的性质 一、函数的概念 3.下列函数 f ( x), g ( x) 表示的是相同函数的是( ) A. f ( x) ? 2 , g ( x) ? log2 x
x

B. f ( x) ? x , g ( x) ?

x2

x2 C. f ( x) ? x, g ( x) ? x
答案:B 二、函数的奇偶性

D. f ( x) ? 2 lg x, g ( x) ? lg(2 x)

3.已知 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 3 ,则 f (?2) ?
x

A.1 答案:B

B. ?1

C.

1 4

D. ?

11 4

x 5.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数) ,

则 f (?1) 的值为( ) A. -3 B. -1 答案:A

C. 1

D. 3

三、分段函数
3 ? ?? x , x ? 0 12.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f (?1)] ? ? ?2 , x ? 0



答案:2

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 13.设 f ( x) ? ? 1 ?log 3 ( x 2 ? 1) ,x ? 2. ?
答案:



2 e2

20.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 3x x ? a ,其中 a ? R , (1)当 a ? 2 时,把函数 f ( x) 写成分段函数的形式; (2)当 a ? 2 时,求 f ( x) 在区间[1,3]上的最值; (3)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在开区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范围(用 a 表示) .
2 ? ?4 x ? 6 x, x ? 2 f ( x) ? x ? 3x | x ? 2 |? ? 2 ? ?? 2 x ? 6 x, x ? 2 ….2 a ? 2 20. 解: (1) 时, 2



3 9 f (3) ? 18, f ( ) ? f ( 2 ) ? 4 2 2 (2)结合图像, f (1) ? 4 , , 所以函数在区间 [1,3] 上最大值为 18,最小值为 4. ………..6 分
(也可写出单调区间,写出可能的最值点及最值。不写过程,只写出最值结 果的各得 1 分) (3)①当 a ? 0 时,函数的图像如右,要使得在开区间 (m, n) 有最大值又

3a 4 处取得; 有最小值,则最小值一定在 x ? a 处取得,最大值在 a a 3a x? ?m? 2 2 f (a) ? a , 2, 4 ; 在区间 (??, a) 内, 函数值为 a 时 所以 2 x?
3?3 3 3a 9a 2 9a 2 x? a f( )? 8 4 8 ,而在区间 (a,?? ) 内函数值为 8 时 ,所 3?3 3 a?n? a 8 以 …….10 分

②当 a ? 0 时,函数的图像如右,要使得在开区间 (m, n) 有最大值又有最小值,则最大值一定

3a a x?? 2 2 8 处取得, f (a) ? a , 4, 在 x ? a 处取得, 最小值在 在 (a,?? ) 内函数值为 a 时 3a a 3a 9 ?n?? f ( ) ? ? a2 4, 8 16 ,在区间 (??, a) 内,函数值为 所以 8 9 ? a2 16 时, x?
6?3 6 6?3 6 a a?m?a 8 8 ,所以 ……………..13 分 a 3a 3?3 3 综上所述, a ? 0 时, ? m ? ,a ? n ? a; 2 4 8 3a a 6?3 6 a ? 0 时, a ? m ? a , ? n ? ? ……………………..14分 8 4 8 x?
四、指对幂函数 11.已知幂函数 y ? x ? 的图象过点 (2, 2 ) ,这个函数的表达式为______ 答案: y ? x
1 2

五、方程的根函数的零点 6.函数 f ( x) ? ln x ? A. ? , 1? 答案:D
1 1 9.设方程 log4 x ? ( ) x ? 0 、 log 1 x ? ( ) x ? 0 的根分别为 x1 、 x 2 ,则 4 4 4

2 的零点所在的大致区间是( ) x
C. ?1, 2 ? D. ? 2,3?

?1 ? ?e ?

B. ? e, ???

A. 0 ? x1 x2 ? 1 答案:A 19.(本小题满分 14 分)

B. x1 x2 ? 1

C. 1 ? x1 x2 ? 2

D. x1 x2 ? 2

已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3, g ( x) ? mx ? 5 ? 2m . (Ⅰ)若 y ? f ( x) 在[-1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)当 a =0时,若对任意的 x1 ∈[1,4],总存在 x2 ∈[1,4],使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 实数m的取值范围;
2 19. 解:(Ⅰ):因为函数 f ( x) =x -4x+a+3 的对称轴是 x=2,

所以 f ( x) 在区间[-1,1]上是减函数,……………………………2 分 因为函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:

? f (1)≤0 ?a≤0 即? ,解得 -8≤a≤ 0 ,故所求实数 a 的取值范围为[-8,0] .………………5 分 ? ? f (?1)≥0 ?a ? 8≥0
(Ⅱ)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2)成立, 只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集.……………………………………6 分
f ( x) =x -4x+3,x∈[1,4]的值域为[-1,3],……………………………………7 分
2

①当 m=0 时,g(x)=5-2m 为常数,不符合题意舍去;……………………………………9 分 ②当 m>0 时,g(x)的值域为[5-m,5+2m],要使[-1,3] ? [5-m,5+2m],

?5-m≤-1 需? ,解得 m≥6;……………………………………11 分 ?5 ? 2m≥3
③当 m<0 时,g(x)的值域为[5+2m,5-m],要使[-1,3] ? [5+2m,5-m],

?5 ? 2m≤-1 需? ,解得 m≤-3;……………………………………13 分 ?5-m≥3
综上,m 的取值范围为 ( ??, ?3] ? [6, ?? ) ……………………………………14 分

必修四
第一部分 三角函数 1.若 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则 ? 是( ) A.第一象限的角 答案:B 2.函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是 A. ?2, π 答案:D 16.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ? R ) (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ?[? B. ?2, 2 π C. ? 2 , π D. ? 2 , 2π B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角

5? ? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3
? 6

答案:16.解: (1)由题设 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ……………… 3分

? ? ? ? ? ≤ 2x ? ≤ 2k ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 6 2 3 6 ? ?? ? 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ? Z )……………… 6 分 3 6? ? 5? ? 2? ? ?? (2)由 ? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ ………………………… 8 分 12 3 3 6 6
由 2k ? ?

? y ? sin x ,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 ………………………… 10 分 6 ? 于是 -3 ≤ 2sin(2 x ? ) ? 1≤1 . 6 故 y ? f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] ……………………………………………… 12分
考察函数

18.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R .

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

18.解: f ?x ? ? sinx ? sin ? x ?

(1) T ? 2?

? = sinx ? cosx 2? ?? ? f ?x ? ? 2s i n ?x ? ? 4? ?

? ?

??

………1 分 ………3 分 ………5 分 ………9 分

(2) fmin ? ? 2, fmax ? 2 (3) f ?x ? ? sinx ? cosx ?

3 4 3 f ?? ? ? sin? ? cos ? ? 4 9 16

………11 分 ………12 分 ………13 分 ………14 分

sin 2? ? 2sin?cos ? ? cos 2? ? 1 ? sin2? ?
sin 2? ? ?

9 16

7 16

8.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 沿 y 轴向下平移1个单位,然后再把 4

图象上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标保持不变 ), 得到函数 y ? sin x 的图象 , 则

y ? f ? x ? 的解析式为
A. y ? sin ? 2 x ? C. y ? sin ? 答案:B

? ?

??

? ?1 4?

B. y ? sin ? 2 x ? D. y ? sin ?

? ?

??

? ?1 2?

?? ?1 x ? ? ?1 4? ?2

?? ?1 x ? ? ?1 2? ?2

? 9.将函数 y ? cos 2 x 的图象先向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度, 2 所得图象对应的函数解析式是( )
A. y ? ? sin 2 x 答案:C 第二部分 向量 4.已知平面向量 a ? (1 , 2) , b ? (?2,m) ,且 a ∥b ,则 2a ? 3b ? ( ) A. (?5, B. (?4, C. (?3, D. (?2, ? 10) ? 4) ? 8) ? 6) 答案:B 7.设平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, y) ,若 a ∥ b ,则 | 3a ? b | 等于 A. 5 答案:A 8.在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点, AB ? a, AD ? b ,则 BE 等于( ) A. ? B. 6 C. 17 D. 26 B. y ? ? cos2 x C. y ? 2 sin x
2

D. y ? ?2cos x
2

1 a?b 2

B. ?

1 a?b 2

C.

1 a?b 2

D.

1 a?b 2

答案:B 10. 如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线 交于圆外的点D,若 OC ? mOA ? nOB ,则m + n的取值范围是 A. (1, ? ? ) C. (0,1) 答案:D B. ( ? ?,?1 ) D. (-1,0)

必修五
第一部分 解三角形 5.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选 定一点C,测出AC的距离为50m,?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 后,就可 以计算出A、B两点的距离为
? ?

A. 50 2m
答案:A

B. 50 3m

C. 25 2m

D.

25 2 m 2

15.(本小题满分12分) 设△ABC 的内角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,且 cosB= (1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

4 ,b=2. 5

15、解: (1)因为 cosB=

4 3 ,所以 sinB= . 3分 5 5 a b a 5 2 由正弦定理 = ,可得 = .所以 a= . 6分 sin A sin B sin 30? 3 3 5 1 3 3 (2)因为△ABC 的面积 S= acsinB,sinB= ,所以 ac=3,ac=10. 9分 2 5 10 8 由余弦定理 b2=a2+c2=-2accosB, 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16, 即 a2+c2=20. 5
所以(a+c)2-2ac=20, (a+c)2=40,

所以 a+c=2 10 . 12 分 第二部分 数列 4.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于 A.10 B.12 C.15 D.30 答案:C 10.已知正项等比数列 {a n } 中, a1 ? 3 , a3 ? 243 ,若数列 {bn } 满足 bn ? log 3 a n ,

1 } 的前 n 项和 S n ? ( bn bn ?1 2n 2n A. B. 2n ? 1 2n ? 1
则数列 { 答案:D 17.(本小题满分14分)

) C.

n 2n ? 1

D.

n 2n ? 1

已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a6 ? ?5, S4 ? ?62. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn .
17.解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由条件得

?a1 ? 5d ? ?5 , ? 4 a ? 6 d ? ? 62 ? 1
所以 {an } 通项公式 an

…………………3 分解得 ?

?a1 ? ?20 ……………………5 分 ?d ? 3

? ?20 ? 3(n ?1) ,则 an ? 3n ? 23 ………………………6 分
23 ,……………………………7 分 3
……… ……………8 分

(2)令 3n ? 23 ? 0 ,则 n ? 所以,当 n 所以,当 n

? 7 时, an ? 0 ,当 n ? 8 时, an ? 0 . ? 7 时,

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ?[?20 n ?

n(n ? 1) ? 3 3 43 ] ? ? n 2 ? n …… 2 2 2

10 分 当n

? 8 时, Tn ? b1 ? b2 ? ?? bn ? ?(a1 ? a2 ? ?? a7 ) ? a8 ? ?? an

? ?2(a1 ? a2 ? ?? a7 ) ? a1 ? a2 ? ?? a7 ? a8 ? ?? an ?

3 2 43 n ? n ? 154 ………12 分 2 2

? 3 2 43 ? n ? n,1 ? n ? 7 ? ? 2 2 所以 Tn ? ? ………………………………………………14 分 3 43 ? n 2 ? n ? 154, n ? 8 ? 2 ?2
19.(本小题满分14分) 已知等差数列{an}的首项为 a (a ? R, a ? 0) .设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有

a2 n 4n ? 1 . ? an 2n ? 1

(1) 求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若 不存在,请说明理由. 19. 解 (1) 设等差数列{an}的公差为 d,

a 2 n 4n - 1 a a?d ?3 中,令 n=1 可得 2 =3,即 ? a an 2n - 1 a1 故 d=2a, an ? a1 ? (n ? 1)d ? (2n ? 1 )a 。 a 4n - 1 经检验, 2 n ? 恒成立 an 2n - 1
在 所以 an ? (2n ? 1 )a
2

………3 分 ………5 分 ………6 分
2

(2) 由(1)知 S n ? n a , Sn ?1 ? ?n ? 1? a , Sn ?k ? ?n ? k ? a
2 2

, Sn ? ? ?a ? n a 1? 3 ?? (2n - 1 )
2

………8 分 ………10 分

假若 Sn , Sn ?1 ? ?n ? 1? a Sn ?1 , Sn ? k 成等比数列,则 S
2

n ?1

n,k ? N ,所以 ?n ? 1? ? n?n ? k ? ,经整理得 n?k - 2? ? 1 …12 分 又因为 a ? 0, 考虑到 n、k 均是正整数,所以 n=1,k=3 所以,存在正整数 n=1 和 k=3 符合题目的要求。 ……14 分 20.(本小题满分14分)
*

即知 a 2 ?n ? 1? ? an 2 a?n ? k ? ,
4 2

? S n S n?k ,………11 分

2

数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

2n ?1 an ( n ? N ? ). 1 n ( n ? ) an ? 2 2

(Ⅰ)设 bn ?

2n ,求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ; an

(Ⅱ)设 cn ?

5 1 1 , 数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn , 求出 Sn 并由此证明: ? S n < . 16 2 n(n ? 1)an?1

20.解: (Ⅰ)由已知可得

an?1 an ? n ?1 1 2 (n ? )an ? 2n 2





2n?1 2n 1 ? ? n ? ………………………2 分 an?1 an 2 2n?1 2n 1 ? ? n? an?1 an 2
令bn =



2n an

,则 bn ?1

? bn ? n ?

1 …………………………………4 分 2 1 2

∴ b2

1 1 ? b1 ? 1 ? , b3 ? b2 ? 2 ? , 2 2

, bn ? bn ?1 ? (n ? 1) ?

迭加得 bn

? b1 ? 1 ? 2 ? 3 ?
∴ bn

? (n ? 1) ?

n ? 1 (n ? 1)n n ? 1 n 2 ? 1 ? ? ? 2 2 2 2
……………6 分

又 b1

?

2 2 ? ?1 a1 2
由 (

?

n2 ? 1 n2 ? 1 ?1 ? 2 2












an ?

2n 2n ?1 ? bn n2 ? 1





an?1 ?

2n ? 2 (n ? 1)2 ? 1



(n ? 1)2 ? 1 1 n2 ? 2n ? 2 7分 cn ? ? ? n(n ? 1)2n? 2 2 n(n ? 1) ? 2n?1

? 1? 1 ? 1 ? n2 ? n n?2 1 1 ? ? ? ? ? n?1 ? ? n n ?1 ? n ?1 n ?1 ? n ? 2 (n ? 1)2 ? 2 ? n(n ? 1)2 n(n ? 1) ? 2 ? 2 ? 2


………9 分

1 1 Sn ? ( 2 ? 2 2

?

1 1? 1 1 1 1 ) ? ?( ? )?( ? )? n ?1 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 23

?(

? 1 1 ? ) n n ?1 ? n ? 2 (n ? 1) ? 2 ?

1 1 (1 ? n ) ? 1? 1 22 1 1 n ? 2? 2 ? 1 ?1 ? ? ? ? ?1 ? ( ) n ?1 ? ? n ?1 ? 1 2 2 ? 2 (n ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 ? ? 1? 2
易知 (

……………………11 分

1 n ?1 n ? 2 1 1 ) ? ? ( ) n ?1 (1 ? ) 递减 2 n ?1 2 n ?1 1 n ?1 n ? 2 1 1? 2 3 ) ? ? ( )1?1 ? ? 2 n ?1 2 1?1 8


∴0< (



5 1? 1 n ? 2? ? ?1 ? ( )n ?1 ? 16 2 ? 2 n ?1? ?

1 2

,即

5 ? Sn 16



1 2

………14

第三部分 不等式

? y?x ? 14. 已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 , 点 P( x, y) ? S , 则 z ? 2x ? y 的 ? x?a ?
最大值为 答案: 6 16.(本小题满分 12 分) 浙江卫视为《中国好声音》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为3分30秒, 广告时间为30秒(即宣传和广告每次合共用时4分钟) ,收视观众为60万,宣传片乙播映 时间为1分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有4分钟广 告, 而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间. 两套宣传片每周 至少各播一次,问电视台每周应播映两套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多? 16. 解: 设电视台每周应播映甲片 x 次,乙片 y 次,总收视观众为 z 万人.…………1 分 .

? 0.5 x ? y ? 4 ? 3.5 x ? y ? 16 ? 由题意得 ? ? x ? 1, x ? N * ? ? y ? 1, y ? N *

? x ? 2y ? 8 ? 7 x ? 2 y ? 32 ? 即? ? x ? 1, x ? N * ? ? y ? 1, y ? N *

………5 分

目标函数为 z=60x+20y. ………6 分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域 如图(能画出相应直线,标出阴影部分,标明可行域,即可给分) ………8 分 作直线 l:60x+20y=0,即 3x+y=0.(画虚线才得分) ………9 分 平移直线 l,过点(1,12.5)时直线的截距最大, 但 x, y ? N * A(1,12) ,B(2,9)这两点为最优解 故可得:当 x=1,y=12 或 x=2,y=9 时,zmax=300.┄┄┄┄┄11 分 (本题两组答案,答对每组给 1 分) 答:电视台每周应播映宣传片甲 1 次,宣传片乙 12 次 或宣传片甲2次,宣传片乙9次才能使得收视观众最多. ……12分


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