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2014年高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练:选修4-1几何证明选讲 Word版含解析]


选修 4-1
一、填空题

几何证明选讲

1.如图所示,过⊙O 外一点 P 作一条直线与⊙O 交于 A,B 两点.已知 PA=2, 过点 P 的⊙O 的切线长 PT=4,则弦 AB 的长为________.

解析

由切割线定理知 PT2=PA· PB,

42 ∴PB= 2 =8. ∴弦 AB 的长为 PB-PA=8-2=6. 答案 6

2.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC BD 为直径的圆与 AB 交于点 D,则DA=________.

解析

16 AB= 32+42=5,由 BC2=BD· BA 知 BD= 5 ,

16 9 BD 16 ∴DA=5- 5 =5.∴DA= 9 . 答案 16 9

3.如图,△ABC∽△AFE,EF=8,且△ABC 与△AFE 的相似比是 3∶2,则 BC 等于________.

解析 答案

BC 3 ∵△ABC∽△AFE,∴ EF =2.又 EF=8,∴BC=12. 12

4.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,且 AD∶BD=9∶4, 则 AC∶BC 的值为________.

解析

因为∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,所以由射影定理,得 AC2=AD· AB,

AB AD ?AC? AD· BC2=BD· AB,所以?BC?2=BD· AB=BD. ? ? 因为 AD∶BD=9∶4,所以 AC∶BC=3∶2. 答案 3∶2

5.如图所示,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB=________.

解析

利用相交弦定理及射影定理求解.

由题意知,AB=6,AE=1,∴BE=5. ∴CE· DE=DE2=AE· BE=5. 在 Rt△DEB 中,∵EF⊥DB, ∴由射影定理得 DF· DB=DE2=5. 答案 5

6.如图所示,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO =3,则⊙O 的半径 r=________.



设⊙O 的半径为 r(r>0),

∵PA=1,AB=2,∴PB=PA+AB=3. 延长 PO 交⊙O 于点 C, 则 PC=PO+r=3+r. 设 PO 交⊙O 于点 D, 则 PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA· PB=PD· PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),则 r= 6.

答案

6

7.(2013· 广东高考)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD, 过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2, 则 BC=________.

解析

因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AC⊥BC.又 BC=CD,所以△ABD 是等

腰三角形,所以 AD=AB=6,

∠DAC=∠BAC.因为 CE 切圆 O 于点 C.

∴∠ECA=∠ABC. 又∠BAC+∠ABC=90° , ∴∠DAC+∠ECA=90° ,故 CE⊥AD, 故 CD2=DE· DA=2×6=12,所以 BC=CD=2 3 答案 2 3

8.(2013· 湖北高考)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 CE OC 上的射影为 E,若 AB=3AD,则EO的值为________.

解析

2R R 4R 设圆 O 的直径 AB=2R,则 AD= 3 ,DO= 3 ,DB= 3 .

2 2 由相交弦定理,得 CD2=AD· DB,所以 CD= 3 R. DO2 R R 在 Rt△CDO 中,CO=R,由射影定理可得 EO= CO = 9 ,于是 CE=R- 9 = 8R CE 9 ,故EO=8. 答案 8

二、解答题 9.如图,已知圆上的弧 ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,

证明:(1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE· CD. 证明 (1)因为 ,所以∠ABC=∠BCD.

又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故 BE= BC ,即 BC2=BE· CD. 10.(2013· 辽宁高考)如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂 直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE. 证明:(1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC.

证明

(1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB.

π 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=2;又 EF⊥AB,得 π ∠FEB+∠EBF=2. 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 同理可证 Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC.

11.(2013· 课标全国Ⅰ)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上, ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半 径.

(1)证明

如图,连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE, 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以 BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为圆的直径,∠DCE=90° . 由勾股定理可得 DB=DC.

(2)解

由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

3 故 DG 是 BC 边的中垂线,所以 BG= 2 . 设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60° ,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE =30° , 3 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径为 2 .


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