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江西省南昌市新建二中2011届高三上学期第一次月考(数学理)


新建二中2010—2011学年度第一学期第一次月考试题
科目:高三理科数学 日期:2010年10月4日 考试范围: 集合与函数 命 题: 何俊辉
注意: 1、本次考试时间为120分钟,满分值为150分; 2、考试前请在答卷纸上工整写上班级、姓名、学号; 3、书写工整,用黑色水笔答题,保持卷面整洁。 (以下为试题内容) 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.

设 集 合A= ( ) A. | a ? b |? 3 B. | a ? b |? 3 C. | a ? b |? 3 D. | a ? b |? 3

? x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ? x || x ? b |? 2, x ? R? . 若 A ? B, 则 实数 a,b 必 满 足

π
2. 设0<x< 2 ,则“x sin2x<1”是“x sinx<1”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 ( )

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 定义在R上的偶函数 f (x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) , 且在[-1, 0]上单调递增, a ? f (3) , 设

b ? f ( 2 ) , c ? f ( 2 ) ,则 a , b , c 大小关系是 (
A. a ? b ? c B. a ? c ? b
2

) D. c ? b ? a

C. b ? c ? a )

4. 设 a <b,函数 y ? ( x ? a ) ( x ? b ) 的图像可能是(

() ( ()(

5. 为了得到函数 A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

y ? lg

3? x 10 的图像,只需把函数 y ? lg(? x) 的图像上所有的点





6.



f ? x? ?

1? x 1? x
) , 又 记

f1 ? x ? ? f ? x ? , f k ?1 ? x ? ? f

? f ? x ? ? , k ? 1, 2,? ,
k



f 2010 ( x ) ? (

?
A. 7. 若函数 以是 A.

1 x
B. x 的零点与

x ?1
C. x ? 1

1? x
D. 1 ? x 的零点之差的绝对值不超过0.25, 则

f ? x?

g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2

f ? x?



f ? x? ? 4x ?1

B.

f ? x ? ? ( x ? 1) 2

C.

f ? x? ? ex ?1

D.

1? ? f ? x ? ? In ? x ? ? 2? ?
8. 如果二次方程x2-px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有( A. 5个 B. 6个 C. 7个
f ( x) ? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), g ( x) ? x, x ? g ( x).



D. 8个 则 f ( x ) 的值域是( )

2 9. 设函数 g ( x ) ? x ? 2( x ? R ) ,

?

A.

? 9 ? ? ? 4 , 0 ? ? (1, ?? ) ? ?

B.

[0, ?? )

9 [ ? , ?? ) 4 C.

D.

? 9 ? ? ? 4 , 0 ? ? (2, ?? ) ? ?
0 ? b ? 1 ? a , 若关于x 的不等式 ( x ? b ) > ( ax ) 的解集中的整数恰有3个,则( 10.
2 2



A. ?1 ? a ? 0 B. 0 ? a ? 1 二、填空题(每小题5分,共25分)
2

C. 1 ? a ? 3

D. 3 ? a ? 6

? ?2, ?? ) 上是增函数,则 m 的取值范围是____________。 11. 若函数 y ? mx ? x ? 5 在
2 12. 由曲线y= x , y ? x 围成的封闭图形面积为

13. 若曲线

f ? x ? ? ax 2 ? Inx
n ?1

存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

.

14. 设曲线 y ? x 则

x a ? lg xn ( n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与x轴的交点的横坐标为 n ,令 n 1) ,
的值为 .

a1 ? a 2 ? ? ? a99

15. 已知函数 y ? f (x ) 和 y ? g (x ) 在 [? 2, 2 ] 的图象如下所示:给出下列四个命题:

①方程 f [ g ( x )] ? 0 有且仅有6个根 ③方程 f [ f ( x )] ? 0 有且仅有5个根 其中正确的命题是

②方程 g [ f ( x )] ? 0 有且仅有3个根 ④方程 g [ g ( x )] ? 0 有且仅有4个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

三、解答题(16-19题各12分,20题13分,21题14分,共75分)

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? ? 2 2 2 ? x ? 2 x ? 8 ? 0. . 16. 设p:实数x满足 x ? 4 ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? (1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;
(2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 x 的取值范围.

17. 设函数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2



(1)画出函数y=f(x)的图像; (2)若不等式
a ? b ? a ? b ? a f ( x)

, (a?0,且 | a |?| b |) )恒成立,求实数x的范围。

18. 某造船公司年造船量是20艘,已知造船 x 艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位: 万元) ,成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又在经济学中,函数f(x)的边际函

数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x); (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数MP(x)单调递减时x的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际 意义是什么?

19. 设函数 f ( x ) ? ax ? bx ? k ( k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1))
2

处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (1)求 a , b 的值;

g ( x) ?
(2)若函数

ex f ( x ) ,讨论 g ( x ) 的单调性.

20. 已知函数 f ( x ) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线x=2对称.
3 2

(1)求b的值; (2)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。

21. 已知函数 f ( x ) ? x ? ( k ? k ? 1) x ? 5 x ? 2 , g ( x ) ? k x ? kx ? 1 ,
3 2 2 2 2

其中 k ? R . (1)设函数 p ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .若 p ( x ) 在区间 (0, 3) 上不单调,求 k 的取值范围;

? g ( x ), x ? 0, q( x) ? ? ? f ( x ), x ? 0. (2)设函数
的非零实数

是否存在 k ,对任意给定的非零实数

x1

,存在惟一

x2



x2 ? x1

) ,使得

q ?( x2 ) ? q ?( x1 )

成立?若存在,求 k 的值;若不存

在,请说明理由.

新建二中2010—2011学年度第一学期第一次月考 高三理科数学参考答案
一、选择题 1—5 DBDCD 6—10 AACDC
1

0?m?
二、填空题 ③ 三、解答题 11.

1 4

12. 3

13.

a?0

14. -2

15. ①②

2 2 16. 解(1)由 x ? 4 ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a )( x ? a ) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是1< x ? 3 .

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? ? 2 ? x ? 2 x ? 8 ? 0 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 由?
若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .

? (2) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q ? ? p ,
设A= { x | ? p} ,B= { x | ? q} ,则 A

B,

又A= { x | ? p} = { x | x ? a或 x ? 3a} , B= { x | ? q} = { x ? 2或 x ? 3 }, 则0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .

?2 x ? 3 ? f ( x ) ? ?1 ?3 ? 2 x ? 17. 解:(1)

( x ? 2) (1 ? x ? 2 ) ( x ? 1)

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)
|a?b|? |a?b| ? f ( x)



|a|

|a?b|? |a?b|

又因为 则有2≥f(x)

|a|

?

|a?b?a?b| |a|

?2

1 2

2 解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得 3 2 18. 解(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3240x-5000,(x ? N*, 且1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275,(x ? N*,且1≤x≤19)

? x?

5

(2) P ?( x ) ? ?30 x

2

? 90 x ? 3240 ? ? 30 ( x ? 12 )( x ? 9 )

. ∴当0<x<12时 P?( x ) >0,当x<12时, P?( x ) <

0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)∵MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305, 所以,当x≥1时,MP(x)单调递减,x的取值范围为[1,19],且x ? N*

? 19. 解(I)因 f ( x ) ? ax ? bx ? k ( k ? 0), 故 f ( x ) ? 2 ax ? b
2

? 又 f ( x ) 在x=0处取得极限值,故 f ( x ) ? 0, 从而 b ? 0 ,


21世纪

由曲线y= f ( x ) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知,

? 该切线斜率为2,即 f (1) ? 2, 有2a=2,从而a=1
g ( x) ?
(II)由(Ⅰ)知,
2

ex x2 ? k

( k ? 0)

g ?( x ) ?

ex (x2 ? 2x ? k ) ( x 2 ? k )2

( k ? 0)

? 令 g ( x ) ? 0, 有 x ? 2 x ? k ? 0
? 故函数g(x)在R上为增函数 4 (1) ?? ? 4?k 0 , 当 即当 k ? 1 时,g ( x ) ? 0 在R上恒成立,

2 (2) ? ? 4 ? 4 k ? 0, 即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根

x1 ? 1 ? 1 ? k , x2 ? 1 ? 1 ? k
? 当 x ? ( ?? ,1 ? 1 ? k )是 g ( x ) ? 0, 故 g ( x )在( ? ? ,1 ? 1 ? k ) 上为增 函数

? ( 当 x ? 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ( x ) ? 0, 故 g ( x )在(1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 上为减函数 ? x ? 1 ? 1 ? k,+ ? ) ( 时, g ( x ) ? 0, 故 g ( x )在(1 ? 1 ? k,+ ? ) 上为增函数

? ? 20. 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 3 x ? 2bx ? c .因为函数 f ( x ) 的图象关于直线x=2对称,
2

?
所以

2b 6

?2

,于是 b ? ? 6.
3 2 2 2

? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? x ? 6 x ? cx , f ( x ) ? 3 x ? 12 x ? c ? 3( x ? 2) ? c ? 12 .

? (ⅰ)当c ? 12时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值。
x x x x x x ? (ii)当c<12时, f ( x ) ? 0 有两个互异实根 1 , 2 .不妨设 1 < 2 ,则 1 <2< 2 . x ? x2 t ? x2 ? 2 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 处存在唯一极小值,所以 .
2 ? 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ?? ) .由 f (t ) ? 3t ? 12t ? c ? 0 得 c ? ? 3t ? 12t .

2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t ? 6t ? ct ? ? 2t ? 6t , t ? (2, ?? ) .
3 2 3 2

? 当 t ? 2 时, g (t ) ? ? 6t ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t )
2

在区间 (2, ?? ) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 ( ?? ,8). 21. 解析: (I)因 P ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ( k ? 1) x ? ( k ? 5) ? 1 ,
3 2

p ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2( k ? 1) x ? ( k ? 5)

p ? ? x ? ? 0 ? 0, 3 ? , p ( x ) 在区间 (0, 3) 上不单调, 因 所以 在

上有实数解,且无重根,由

p? ? x ? ? 0

得 k (2 x ? 1) ? ? (3 x ? 2 x ? 5),
2

?k ? ?

(3 x 2 ? 2 x ? 5) 2x ?1
9

??

3? 9 10 ? ? ? 2 x ? 1? ? 2 x ? 1 ? 3 ? 4? ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1, 7 ? ,记

h (t ) ? t ?

, t 则 h ? t ? 在 ?1, 3? 上单调递减,在 ? 3, 7 ? 上单调递增,所以有 h ? t ? ? ? 6,10 ? ,于 9 2x ?1 ? ? 6,10 ?



? 2 x ? 1? ?

,得

k ? ? ? 5, ? 2 ?

p ? ? x ? ? 0 ? 0, 3 ? ,而当 k ? ? 2 时有 在 上有两

k ? ? ? 5, ? 2 ? 个相等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 ;
(II)当 x ? 0 时有

q ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2( k 2 ? k ? 1) x ? 5
2



q? ? x ? ? g ? ? x ? ? 2k x ? k 当 x ? 0 时有 ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,

? 5, ?? ? (ⅰ)当 x1 ? 0 时, q ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 下面讨论 k ? 0 的情形,记A ? ( k , ?? ) ,B=
单调递增,所以要使

q ? ? x2 ? ? q ? ? x1 ?

成立,只能

x2 ? 0

且 A ? B ,因此有 k ? 5 , (ⅱ)当

x1 ? 0

时,

q? ? x ?



? 0, ?? ? 上单调递减,所以要使 q ? ? x2 ? ? q ? ? x1 ? 成立,只能 x2 ? 0 且

A ? B ,因此 k ? 5 ,综合(ⅰ) (ⅱ) k ? 5 ;
? x ? 0, q ? ? x1 ? ? B ? A q ? ? x2 ? ? q ? ? x1 ? ? x ? 0, 当 k ? 5 时A=B,则 1 ,即 2 使得 成立,因为 q? ? x ?


? 0, ?? ? 上单调递增,所以 x2 的值是唯一的;
, 即存在唯一的非零实数

同理,

? x1 ? 0

x2 ( x2 ? x1 )

, 要使

q ? ? x2 ? ? q ? ? x1 ?

成立, 所以 k ? 5

满足题意.


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