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§2 集合的基本关系课件


§2 集合的基本关系

学习目标
1.了解集合间包含关系的意义;
2.理解子集、真子集的概念和意义;(重点)

3.理解空集的含义;(难点)
4.会判断简单集合的包含关系.(难点)

引入课题
元素和集合之间有属于与不属于的关系:
如A={1,2,3},3∈A,4?A 集合与集合 之间呢?

探究点1

子集及其相关概念

问题1:观察下面两个例子,A、B两个集合之间有什么关系? ①A={1,3,4}, B={1,2,3,4,5}; ②A={两条边相等的三角形}, B={等腰三角形}.

提示:①、②中集合A中的每一个元素都是集合B中的元素.

探究点1
子集

子集及其相关概念

一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素 都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A为集合B的子集.

读作:“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言:

探究点1

子集及其相关概念

Venn图表示集合的包含关系

B

A

探究点2

集合相等

问题2:观察下面两个例子,A、B两个集合之间有什么关系? (1)A={1,2,3}, B={3,2,1}; (2)A={x|x是三条边相等的三角形}, B={x|x是三个内角相等的三角形};

提示:①、②中集合A中元素和集合B中的元素相同.

探究点2 集合相等

集合相等

如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A 的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一 样的,因此,集合A与集合B相等,记作: A=B

探究点3
真子集

真子集

如果集合A是集合B的子集(A?B),但存在元素x∈B,且x?A,则 称集合A是集合B的真子集. 记作: A B (或 B A)

读作:“A真含于B(或“B真包含A”).

探究点4
空集

空集

(1)定义: 不含任何 元素的集合叫做空集. (2)符号表示为: ? .
(3)规定:空集是任何集合的 子集 .

(4)规定:空集是任何非空集合的

真子集

探究点5

子集的有关性质

子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的 子集 ,即

A?A

.

(2)对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么 A?C .

典例精讲:题型一:子集、真子集的概念
【例1】 已知集合A={x|x<2且x∈N},B={x|-2<x<2且x∈Z}. (1)试判断集合A、B间的关系. (2)写出集合A的子集、集合B的真子集. [思路探索] 由于A中元素x∈N ,B中元素x∈Z ,不难发现A、B均为有 限集,可用列举法将集合表示出来,再来考察集合的关系. [解析] A={x|x<2且x∈N}={0,1}, B={x|-2<x<2,且x∈Z}={-1,0,1}. (1)A B. (2)A的子集为:?,{0},{1},{0,1},
B的真子集为:?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1}.

变式训练
变式 1 :已知集合 A = {x|x2 - 3x + 2 = 0 , x∈R} . B = {x|0 < x < 5 ,
x∈N},则满足条件A?C?B的集合C的个数为 ( D ).

A.1
解析

B.2

C.3

D.4

易知A={1,2},B={1,2,3,4},又A?C?B.

∴集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

典例精讲:题型二:集合的相等问题

[解析]



∴ b=0,

则a2=1. 又a≠1,∴a=-1,

∴a2 013+b2 014=(-1)2 013+02 014=-1.
答案 C.

典例精讲:题型三:参数范围问题
【例3】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},

且B?A.求实数m的取值范围.
[思路探索] 借助数轴分析,注意B是否为空集.

[解析] ∵B?A,
(1)当B=?时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当B≠?时, 综上得m≥-1.
-3 2m-1

m+ 1 4

x

解得-1≤m<2,

典例精讲:题型三:参数范围问题
【例4】已知A={x

| x2-2x-3=0}, B={x | ax-1=0}, 若B?A, 求实数a的值.

【例5】

典例精讲:题型三:参数范围问题
解: ? A ? {0, -4},B ? A,于是可分类处理. (1)当A ? B时,B ? {0, -4}. 由此知:, 0 -4是方程x 2 ? 2(a ? 1) ? a 2 ? 1 ? 0的两根, 由韦达定理得 ?-2(a ? 1) ? ?4 ? 2 ?a ? 1=0 解得 a ? 1

(2)当B ? A时,又可分为: (a) B ? ?时,即B ? {0},或B ? {-4}, ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0, 解得a ? ?1 B ? {0}满足条件; 综合(1)、 (2)知,所求实数a的值a ? ?1, 或a ? 1.

(b)B ? ?时,? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0, 解得a ? ?1

课堂练习
1.已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<a},若A
( ).

B,则实数a满足

A.a<4
C.a>4 [解析] 由A 答案 D

B.a≤4
D.a≥4 B,结合数轴,得a≥4.

课堂练习
2 .已知集合 A = {2,9} ,集合 B = {1 - m,9} ,且 A = B ,则实数 m =

________.

[解析] ∵A=B,∴1-m=2,∴m=-1. 答案 -1.

课堂练习
3.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. [解析] ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},

∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.

∴ A 的 子 集 有 : ? , {(0,2)} , {(1,1)} , {(2,0)} , {(0,2) , (1,1)} ,
{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.

归纳小结
1. 子集和真子集
2. 空集 知识点

3. 子集的性质
4. 集合相等 思想方法: 数形结合思想 分类讨论思想


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