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匹配滤波器


匹配滤波器 设计一种最佳滤波器。 该滤波器在白噪声 n(t ) 我们的任务是, 对于一个已知信号 s (t ) , 背景下,能最大限度地提高信噪比,以在信噪比最大的前提下检测信号 s (t ) 的有无。毫无疑 问,这会给信号检测带来好处。 该问题的一个应用例是主动声纳检测回波目标的有无。对于收发合置的主动声纳而言, 发射信号波形是已知的。由于接收换能器处噪声的存在,检测时,需要尽

可能地抑制噪声, 提高信噪比。 如图 所示,设滤波器的输入信号是

s (t ) + n(t ) ,s(t)的频谱为 S(w), n(t ) 是输入噪
声双边功率谱密度为 Pn ( w) =

s (t ) + n (t )

H ( jω )

so (t ) + no (t )

N0 ,N0 为噪声 2



信号与噪声通过滤波器

的单边功率谱密度;输出信号是 so (t ) + no (t ) ,其中 so (t ) 为 s(t) 的响应,是有用信号分量,

no (t ) 是输出中的白噪声分量; H ( jω ) 是传递函数,亦即我们要设计的滤波器的频率响应
函数。

设滤波器的输出为
Y(t)=so(t)+no(t) ()

在某时刻 t0 使输出信号 so(t0)的瞬时功率与输出噪声 no(t)的平均功率之比(称作输出信噪 比)最大的线性滤波器被称为信号 s(t)的匹配滤波器,如下所示: Y(t) t=to

X(t)

h(t) ? H(ω)

图 2.2.1.1 在相同的条件下(输入相同),不同滤波器的信噪比不一样,其中在 t=t0 最佳抽样时刻的 输出信噪比最大的滤波器就是匹配滤波器。 因此又称匹配滤波器为最大输出信噪比的最佳线 性滤波器。 匹配滤波器的传输特性与单位冲激响应, 实际上就是求 t=t0 最佳抽样时刻的输出信噪比 最大的 H ( jω ) 或 h(t) 。 令 so(t)的频谱为 S0(w),即 so (t ) ? So (ω ) ,根据线性电路理论有

So (ω ) = S (ω ) H ( jω )

(2.2.2.1)

由此得

so (t ) =

1 2π





?∞

S o (ω )e jωt d ω =

1 2π





?∞

S (ω ) H ( jω )e jωt d ω

(2.2.2.2)

在 t0 时刻输出信号的瞬时功率为 s o (t 0 ) ,输出噪声的统计平均功率为 E no (t 0 ) ;输 出信噪比为

2

[

2

]

ro =

so (t 0 )

2

2 E no (t 0 )

[

]

(2.2.2.3)

设输入信号的功率谱密度为 PX (ω ) ,输出信号的功率谱密度为 P (ω ) ,则有公式 Y

PY (ξ ) = H ( jω ) PX (ω )
2

(2.2.2.4)

根据式(2.2.2.4),no(t)的功率谱密度为

Pno (ω ) =
no(t)的平均功率为
2 E ? no (t ) ? = ? ?

N0 2 H (ω ) 2


(2.2.2.5)

1 2π



?∞

Pno (ω )d ω =

1 2π



N0 2 H (ω ) d ω ?∞ 2



(2.2.2.6)

从而,

ro =

1 2π





2

?∞

H ( jω ) S (ω )e jωt0 dω


1 2π

N 2 ∫?∞ 20 H ( jω ) dω

(2.2.2.7)

ro 与 H ( jω ) 有关。 t=t0 时刻, ro 最大的 H ( jω ) , 在 使 即为匹配滤波器的传输特性函数。 下面利用许瓦尔兹不等式求使 ro 最大的 H ( jω ) 。 许瓦尔兹不等式表述如下:对于任意复函数 X(ω)、Y(ω),存在不等式如下

1 2π





2

?∞

X (ω )Y (ω )d ω ≤

1 2π





?∞

X (ω ) d ω
2

1 2π





?∞

Y (ω ) d ω
2

(2.2.2.8)

且当 X (ω ) = KY ? (ω ) 时,式(2.2.2.8)变为等式,其中 K 为常数。 将式(2.2.2.8)用于(2.2.2.7)的分子中,且令

X (ω ) = H (ω ), Y (ω ) = S (ω )e jωt0
则得到

(2.2.2.9)

1 ro ≤ 4π
2





?∞

H ( jω ) d ω ∫
2



?∞

S (ω ) d ω
2

N0 4π





?∞

H (ξ ) d ω
2

=

π∫

1



?∞

S (ω ) d ω
2

N0

=

2E N0

(2.2.2.10)

其中 E 为信号 s(t)的能量。 式(2.2.2.10)说明,线性滤波器在 t=t0 抽样时刻所能给出的输出信噪比为

ro max =
?

2E N0

t =t 0

(2.2.2.11)

此值出现于式 X (ω ) = KY (ω ) 成立时,此时有

H (ω ) = KS ? (ω )e? jωt0

(2.2.2.12)

这就是最佳匹配滤波器的传输特性函数。由式(2.2.2.12)可知,使输出信噪比最大的线性 滤波器的传输特性函数与信号 s(t)频谱的复共轭相一致。因此,这种滤波器称为信号 s(t)的 匹配滤波器。 根据滤波器的单位冲激响应与传输特性互为傅里叶变换的关系, 可求出匹配滤 波器的单位冲激响应:

h(t ) =

1 2π





?∞

H ( jω )e jωt d ω = Ks (t0 ? t )

(2.2.2.13)

为使匹配滤波器物理可实现,要求当 t<0 时有 h(t)=0。要满足这个条件,就必须有 s(t0-t)=0,t<0 ,即 s(t)=0,t>t0 (2.2.2.14)

这说明,若 s(t)在 t=T 时刻消失,则只有当 t 0 ≥ T 时,匹配滤波器才可实现。一般总希 望 t0 尽量小,所以通常选 t0=T,此时有

h(t ) = Ks (T ? t )
若 s(t)的持续时间为(0~T),即 s(t)=0,t<0 或 t>T;且选 t0=T,则 s(t)的匹配滤波器的单 位冲激响应 h(t ) = Ks (T ? t ) 的持续时间也是(0~T)。 令匹配滤波器(与 s(t)匹配)的输入为 x(t),则输出

y (t ) = x(t ) ? h(t ) = ∫ h(α ) x(t ? α )dα
?∞



= ∫ Ks (T ? α )x(t ? α )dα
0

T

(2.2.2.15)

= K ∫ s (T ? α ) x(t ? α )dα
0

T

= KRSX (t ? T )
即 y(t)是 s(t)与 x(t)的互相关函数。

当 x(t)=s(t)时,则

y (t ) = K ∫ s (T ? α ) s (t ? α )dα = KRS (t ? T )
0

T

(2.2.2.16)

即此时 y(t)是 s(t)的自相关函数。


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