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第1课时 不等式的性质及比较法


第1课时 不等式的性质及比较 法证明不等式
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析

要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础,通 过本节复习,要求理解不等式的性质,会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性,正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质: 1.a>b? b<a.

(反身性) 2.a>b,b>c =>a>c.(传递性) 3.a>b ? a+c>b+c.(平移性) 4.a>b,c>0 => ac>bc; a>b,c<0 => ac<bc.(伸缩性) 5.a>b≥0 => n a ? n b ,n∈N,且n≥2.(乘方性) 6.a>b≥0 => a>nb,n∈N,且n≥2.(开方性) 7.a>b,c>d => a+c>b+d.(叠加性) 8.a>b≥0,c>d≥0 => ac>bd.(叠乘性)

2.掌握用比较法证明不等式的方法,熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和,也可以变成因式的积或常数; 有关指数式的比较法通常用作商法,步骤是作商——变 形——与1比较大小.

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课前热身
1.设a<0,-1<b<0,则a,ab,ab2三者的大小关系为 a<ab2<ab ____________. 2.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R且x≠1,则A,B的大小关系 为A____B. >

4 3.若n>0,用不等号连接式子 2 ___ 3-n. ≥ n

4.若0<a<1,则下列不等式中正确的是( A ) (A)(1-a)(1/3)>(1-a)(1/2)? (B)log(1-a)(1+a)>0 (C)(1-a)3>(1+a)2 (D)(1-a)1+a>1

5.已知三个不等式:①ab>0,②-ca<-db,③bc>ad.以其中 3 两个作条件,余下一个作结论,则可组成___个正确的命题.

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能力·思维·方法
1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N,x,y∈R+)的大小.

【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形,常利用因 式分解、配方等方法,目的是使差式易于定号,一般四项 式的分解常用分组分解法.

1 1 ? a 2 ? ? b2 ? 2. 设a>0,b>0,求证: ? ? ? ? ? ? a 2 ? b2 ? b ? ?a ? ? ? ? ?

1 2

1 2

【解题回顾】(1)用比较法证明不等式,步骤是:作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较);常见的变形手段是通分、 因式分解或配方等;常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是,商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中,也可用基本不等式来完成:

a ? b - ab 2 ab - ab ? ?1 ab ab

3. 已知x≥0,y≥0,求证:

1 1 2 ?x ? y? ? ?x ? y? ? x y ? y x 2 4

【解题回顾】在使用放缩技巧时,一定要注意方向,保持 一致.

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延伸·拓展
4. 设0<a<1,根据函数的单调性定义,证明函数f(x)=logax+

? 1? logxa在 ? 1, ? 上是增函数. ? a?

【解题回顾】用定义法证明函数的单调性,多用到比较法, 特别是作差比较,要切实掌握比较法的推理过程,注意推理 的严密性. 返回

误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号,否则既繁琐又易出错.

(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号,所以对数性 质的应用是解决本题的关键.

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