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2014年东阳二中高一数学竞赛辅导资料


2014 年东阳二中高一数学竞赛辅导资料(二) 高一数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求. 1.设全集 U ? R ,集合 M ? {x | lg x ? 0} , P ? {x | x( x ? 1) ? 0} , 则 M ? P ? ( ) A. {x | x ? 1} B.

{x | x ? 1} C.

{x | x ? 1或x ? 0}


D. ?

2.等比数列 {an } 中,若 a3 ? ?9, a7 ? ?1 ,则 a5 的值为( A. 3 或 ?3 B. 3 C. ?3

D. ?5

3.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ? b , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 | c | ? ( )
2

? ? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

A. 1

B. 2

C. 3 )

D. 5

4.要得到函数 y ? sin(2 x ? A. 向左平移

?
3

) 的图象,可由函数 y ? sin 2 x (
B. 向左平移

? 个长度单位 3 ? C. 向右平移 个长度单位 3

? 个长度单位 6 ? D. 向右平移 个长度单位 6

?x ? y ?1 ? 0 ? 5.如果实数x, y满足条件: , 那么2x ? y的最大值为( ) ? y ?1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ? A 2 B 1 C -2 D -3
6.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)? cos x 的最小正周期为( A. ) D.

?

B.

? 2

C. 2?

? 4
Acos ? B ,

7. 已知 ?ABC ,角 A 、 B 、C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 sin A ? sin B ? cos 则 ?ABC 是( A.等腰三角形 形 ) B.直角三角形 C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角

8.函数 f ( x) ?| 2 ? 1| ,若 a ? b ? c 且 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列四个式子一成立的是
x



) B. a +c ? 0 C. b ? c ? 0 D. b ? c ? 0

A. a +c ? 0

9.某人年初向银行贷款 a 元用于购房,银行贷款的年利率为 r ,按复利计算(即本年的利 息计入次年的本金) ,若这笔贷款要分 10 年等额还清,每年年初还一次,并且从借款后 次年年初开始归还,则每年应还( )元. A.

a(1 ? r )9 10

B.

a(1 ? r )10 10

C.

ar (1 ? r )9 (1 ? r )9 ? 1

D.

ar (1 ? r )10 (1 ? r )10 ? 1

10. 已知函数 f t ( x) ? ( x ? t ) ? t (t ? R) , 设 a ? b , f ( x) ? ?
2

? f a ( x), f a ( x) ? f b ( x) , 若函数 ? f b ( x), f a ( x) ? f b ( x)
) D. 2 ? 3

y ? f ( x) ? x ? a ? b 有三个零点,则 b ? a 的值为(
A. 2 ? 5 B. 2 ? 3 C. 5 ? 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分. 11.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x, 4) ,且 a ∥ b ,则实数 x ?

?

?

?

?



12.若直线y ? kx ? 2与圆(x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同交点,则k的取值范围为

13.直线m被两平行线L1:x-y+1=0与L 2:x-y+3=0所截得的线段长为2 2, 则m的倾斜角为 (写出所有正确答案的序号)

14.P( x, y )是圆x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上任意一点,若不等式x ? y ? c ? 0恒成立, 则c的取值范围为
15. 已知 2 ? 5 ? m , 且
a b

1 1 ? ? 1 ,则 m ? a b

16. 在直角坐标系中,已知角 ? 的终边与单位圆交点的横坐标是 ?

3 ,角 ? ? ? 的终边与单 5


位圆交点的纵坐标是

5 ,且 ?、? ? (0,? ), 则 cos ? = 13

17. 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用 记号 ? x ? 表示.对于实数 a ,无穷数列 {an } 满足如下条件: ( i ) a1 ?? a ? ; (ii)

? 1 ?, ( a n ? 0) 1 ?? an ?1 ? ? a n ,当 a ? 时,对任意的自然数 n 都有 an ? a ,则实数 a = 2 ?0, ( a ? 0) n ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字、符号说明,证明过程或演算步 骤. 18. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 ) 的部分图像如右图所示,点 B(

?

x?

?
3

12

, 0) ,且在

处取得最大值

(I)若 ?? ? ? ? ? ,求 ? 的值; (II)若 ? ? R,图中 A, B, C, D 中哪些点的横坐标可能为 ?

? . ?

19. (本小题 14 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 2 ,
D F E A B C

???? ??? ? 1 ??? ? AD?AB ? | AB |2 3
(I)求 ?BAD 的大小;

(II)若 E 为 BC 边上的中点, F 为平行四边形内(包括边界) 的一动点,求 AE ?AF 的最大值.

??? ? ??? ?

20. (本小题 14 分) 已知各项全不为零的数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an an ?1 , a1 ? 1 (I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)求数列 ?an ? an ?1? 的前 2n 项和 T2 n .

21.(本小题 14 分)
x 已知函数 f ? x ? ? log 2 (4 ? a ), g ? x ? ? x ,设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?

(I)若 h ? x ? 是偶函数,求 a 的值; (II)若关于 x 的方程 h ? x ? ? 0 有解,求 a 的取值范围.

22.(本小题 16 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a, b, c ,

A

AD 是 BC 边上的高, 且 AD ? BC
(I)若 B ? C ,求 sin A 的值; (II)求

c b ? 的取值范围. b c

B

D

C


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