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2016大连航运职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)


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2016 大连航运职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解 析)
一、选择题: [ ]1 已知: 是 R 上的增函数,点


在它的图像上,

为其反函数,则不等式 (A )
。 ;

<1 的解集是 ;

(B)

(C)



(D)

[

]2 定义在 R 上的函数
,则当

满足 时,


,当

时,


的最小值是(A)

(B ) [ ]3 设曲线 (A )


;(C)

;(D)


;(B)

处的切线方程为
;(C)

,则 ;(D)

[

]4 已知数列 (D)12。





、……、

、……,它的前 n 项积大于



则正整数 n 的最小值为

(A)8;

(B)10;

(C)11;

[

]5 集合



,若



有一个子集,则实数 k 的取值范围为 (A)
。 ;

(B)



(C)



(D )

[

]6 有 4 位学生参加某种竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两题 中任选一题作答,选甲答对得 100 分,答错得 分;选乙答对得 90

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分,答错得 情况的种数是 (A)48; 18。 [ ]7 某班有 48 名学生,某次数学测验,算术平均分为 70 分,标准差为 100 分,更正后计算得标准差为 (A)
< 。 > ; ,则 ; ,

分。若 4 位同学的总分为 0 分,则这 4 位同学不同得分

(B)36;

(C)24;

(D)

后发现成绩记录有误,某甲得 80 分却记为 50 分,某乙得 70 分却记为 与 之间大小关系是 (C)
> ;

(B)

(D)

[

]8 四棱锥 形, 的顶点 (A)圆; 分。

中,




,底面

为梯

,满足上述条件的四棱锥

的轨迹是 (C)抛物线; (D)抛物线的一部

(B)不完整的圆;

[

]9 已知实数



,则

的取值范围为

(A) [ ]10 若



(B)



(C )
,则



(D) 的最小值为



(A) 二、填空题: 11 已知曲线 曲线



(B)



(C )



(D)



,则过点 ,则过点

的切线方程为 的切线方程为

;已知 。

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12 若
,则

的最小值等于



13 设

,若

的图像向左平移至少

个长度单位后得到的

图像恰为奇函数的图像,而向右平移至少 偶函数的图像,则 的最小正周期为

个长度单位后得到的图像恰为


14 将一个侧棱互不相等的四棱锥 为


的每个顶点染上一种颜色,并使同

一条棱的两个端点异色,如果只有 5 种颜色可供,那么不同的染色方法种数

15 给出命题:①圆
;②双曲线

关于点

对称的圆方程为

右支上一点 P 到左准线距离为 18,

则该点到右焦点距离为

;③顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过 ;④ 、 、

的抛物线方程只能是 两个动点, 为坐标原点,直线


是椭圆
,则



的斜率之积为

等于定值 20。把你认为正确的命题序号填写在横线上

16 已知椭圆的离心率为 的最大值为 三、解答题:

, 。



是两个焦点,

是椭圆上任意一点,则

17 甲、乙两公司生产同一种产品,经测算,对于函数
,当甲公司投入



及任意的 万

万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于

元,则乙公司有失败

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的风险,否则无失败风险;当乙公司投入 传费小于 万元作宣传时,若甲公司投入的宣

万元,则甲公司有失败的风险,否则无失败风险。

(Ⅰ)试解释



的实际意义;(Ⅱ)当



时,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均 无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用。问此时甲、乙两公司各应投入 多少宣传费?

18 如图,四棱锥 为平行四边形, 平面
,垂足为 ,

中,底面 在边 上,且

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, , 。 ,

是边 P

的中点,四面体

的体积是
(Ⅰ)求异面直线 (Ⅱ)求点



所成的角; 的距离; A G

到平面

D
(Ⅲ)若点

是棱

上一点且





的值。

B

E

C

19 已知数列



满足关系:





(a>0)。

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(Ⅰ)求数列

的通项公式并证明: 时 与

;(Ⅱ)设

是数列

的前 n 项的和,当

是否有确定的大小关系?若有则加以

证明;若没有则说明理由。

20 从原点出发的某质点 M,按照向量 移动的概率为
,设 M 可到达点

移动的概率为 的概率为

,按照向量 。

(Ⅰ)求



; (Ⅱ)求证:

; (Ⅲ)求

的表

达式。

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21 已知点

在椭圆

(a>b>0)的第一象限上运动。

(Ⅰ)求点

的轨迹
,且在区间

的方程;(Ⅱ)若把轨迹 内

的方程表达式记 的离心率

为: 的取值范围。

有最大值,试求椭圆

参考答案

1B2A3D4C5B6B7D8B9A10C

11、 420;





;12、

;13、2π;14、

15、②④ ;16、 解 17①:

。 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败的风险至少要 表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败

投入 11 万元的宣传费;

的风险至少要投入 21 万元的宣传费。

②设甲、乙公司投入的宣传费分别为 x、y 万元,当且仅当

……①,

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……②时双方均无失败的风险,由①②得 得 ,所以 解 18: ,故 。 易解

解 19:①∵

>0,∴





,∴

,所以









②当



(当且仅当

时取等号)







……,









,∵





















解 20:①点 M 到达点

的概率



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点 M 到达点 的事件由两个互斥的事件组成:点 M 先按向量 平移动到达点(0,2),此时概率为 。故所求概率 按向量 。于是 移动到达点 ;点 M 按向量 ; 移

(0,1),再按向量

移动直接到达点(0,2),此时概率为 ②点 M 到达点 动,此时概率为

的事件由两个互斥的事件组成:从点 ;从点(0,n)按向量

移动,此时概率为





③由②可知数列

是以 故

为首项, 。

为公比的等比数列,即

解 21:①椭圆 数)

(a>b>0)的参数方程为

(θ 为参

又设点

是轨迹

上任意一点,则

(θ 为参数)

消去参数θ 得 。

,故轨迹

的方程

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②把方程 函数在 在 上为增函数,在 处取得最大值,要使函数在 ,从而 < <1 。 表达为函数解析式为: 上为减函数,因此函数在 内取到最大值,则只要 ,可证 上有最大值且 < 即 <


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