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2016年云南省第一次高三统测理科数学质量分析报告


2016 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测 理科数学质量分析报告

一、抽样统计分析 1.抽样全卷基本情况
样本数 1350 满分值 150 平均分 87.48 难度 0.42 标准差 24.75 及格 人数 674 及格率 50.0% 最高分 142

2.抽样分数段
分数段 人数 合计 分数段 人数 合计 90~

99 202 100~109 192 0~49 107 50~59 92 60~69 133 676 110~119 152 674 120~129 106 130~139 21 70~79 168 80~89 176 抽样总数 1350 140~150 1

理科数学分数段分布表 250

200

150 人数 100

50

0 0~49 50~59 60~69 70~79 80~89 90~99 100~109 110~119 120~129 130~139 140~150

1

3.各小题抽样情况 (1)选择题
题 满 分 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 正 确 选 项 D B C A A B D C A C D B 6 104 23 1209 1323 68 266 157 811 9 22 159 A 人 数 A 比例 % 0.45 7.72 1.71 89.69 98.15 5.04 19.73 11.65 60.16 0.67 1.63 11.80 B 比例 % 0.89 89.8 4.82 3.41 0.59 72.9 13.1 10.6 17.5 2.52 3.41 64.3 C 人 数 28 11 1140 57 3 150 273 1027 159 1266 71 192 C 比例 % 2.08 0.82 84.57 4.23 0.22 11.13 20.25 76.19 11.80 93.92 5.27 14.24 D 人 数 1299 19 116 30 10 142 627 16 136 37 1203 120 未 D 比例 % 96.36 1.41 8.61 2.23 0.74 10.53 46.51 1.19 10.09 2.74 89.24 8.90 (多) 选人 数 3 3 3 5 4 5 4 5 6 2 6 10 未 (多) 选比 例% 0.22 0.22 0.22 0.37 0.30 0.37 0.30 0.37 0.45 0.15 0.45 0.74

B 人数

12 1211 65 46 8 983 177 143 236 34 46 867

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

满分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

平均分 4.82 4.49 4.23 4.48 4.91 3.65 2.33 3.81 3.01 4.7 4.46

难度 0.94 1.51 1.81 1.52 0.68 2.22 2.49 2.13 2.45 1.2 1.55

区分度 0.96 0.9 0.85 0.9 0.98 0.73 0.47 0.76 0.6 0.94 0.89

标准差 0.08 0.26 0.38 0.35 0.05 0.45 0.67 0.37 0.65 0.15 0.27

满分 人数 1299 1211 1140 1209 1323 983 627 1027 811 1266 1203

满分率 96.36 89.84 84.57 89.69 98.15 72.92 46.51 76.19 60.16 93.92 89.24

2

12

空缺

空缺

空缺

空缺

空缺

空缺

空缺

题 号

满 分 值

平 均 分



区 分

标 准 差

及 格 人 数

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分





选 择 题 60 48.02 0.80 0.35 10.31 1156 85.63 259 19.19 60

(2)填空题
题 满 分 号 填空题 13 14 15 16 值 20 5 5 5 5 平 均 分 5.27 2.61 1.69 0.96 0.02 度 0.26 0.52 0.34 0.19 0.00 难 区 分 度 0.46 0.62 0.71 0.52 0.01 标 准 差 4.90 2.50 2.37 1.97 0.27 及 格 人 数 132 703 456 259 4 及 格 率 9.78 52.1 33.8 19.2 0.3 满 分 人 数 2 704 457 259 4 满 分 率 0.15 52.15 33.83 19.21 0.30 最 高 分 20 5 5 5 5

(3)解答题
题 平 均 分 6.92 7.17 7.02 3.79 3.17 34.06 度 0.58 0.60 0.59 0.32 0.26 0.49 难 区 分 度 0.45 0.56 0.14 0.57 0.43 0.45 标 准 差 3.35 4.05 2.39 3.93 2.90 13.55 及 格 人 数 875 812 842 354 138 447 及 格 率 64.8 60.1 62.3 26.2 10.2 33.11 满 分 人 数 56 423 1 2 18 0.00 满 分 率 4.15 31.31 0.07 0.15 1.34 0.00 最 高 分 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 67.00

满分 值

号 17 18 19 20 21 解答 题

12 12 12 12 12 70

3

(4)第 II 卷
题 满 分 号 第 II 卷 90 39.32 0.44 0.45 16.88 319 23.63 0 0 82 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及格 人数 及 格 率 满分 人数 满 分 率 最 高 分

选考题数据统计
题号 22 23 24 满分值 10 10 10 选择人数 160 1112 76 平均分 4.09 6.39 5.07 难度 0.41 0.64 0.51 标准差 3.57 3.02 2.75 及格人数 53 455 57 及格 率% 33.1 40.9 75.0 最高分 10 10 10

二、试题特点分析 1.题型、题量 2016 年云南省高中毕业生复习第一次统一检测理科数学试卷包括第Ⅰ卷和 第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题.考试时间为 120 分钟,满分为 150 分.全卷共 24 个题目.试题分选择题、填空题和解答题.其中,选择题有 12 个小题,满分 60 分,在机读卡上答题;填空题有 4 个小题,满分 20 分;解 答题有 8 个小题,满分 70 分,其中第 17~21 题为必考题,每小题满分 12 分, 第 22~24 题,为三选一选考题,每小题满分都是 10 分.与 2015 年全国高考数 学试卷Ⅱ(新课改卷)相比,结构、题型与题量保持一致. 2.试题考查内容 理科数学试卷中,代数共 15 题,约占 96 分;平面解析几何共 3 题,约占 22 分; 立体几何共 3 题, 约占 22 分, 选修 4—1 (几何证明选讲) 10 分, 选修 4—4 (坐标系与参数方程)10 分,选修 4—5(不等式选讲)10 分.

4

3.试题考查的知识和方法
题 号 1 2 3 4 5 6 主要内容 复数 平面向量 三角函数 二项式定理 算法 三视图 三角函数的 图像与变换 数列 充分、必要 条件 线性规划 概率 双曲线 线性规划求最小值 几何概型 双曲线的定义及其几何性质、抛物线的几 何性质 对数函数、分段函数、函数值 复数的除法运算 平行向量的概念及运算 三角函数的化归求最值 二项展开式的通项公式 程序框图、条件结构、循环结构 半圆锥、三棱锥的组合体 知识 方法、能力 运算能力 转化能力、运算能力、 方程思想 观察能力、化归能力 运算能力 观察能力、推理能力 观察能力、空间想象能 力、运算能力 观察能力、转化能力 观察能力、运算能力、 推理能力 运算能力、观察能力、 推理能力、转化思想 运算能力、数形结合 转化能力、推理能力 方程思想、数形结合、 运算能力 观察能力、运算能力、 推理能力、分类讨论 观察能力、运算能力、 空间想象能力 化归能力、转化思想、 运算能力 转化能力、运算能力、 推理能力 运算能力、转化能力、 推理能力 阅读理解能力、推断能 力、能力、应用能力

7

三角函数图像的平移、诱导公式

8

递推数列、周期数列 直线与圆相切

9 10 11 12

13

分段函数 球与几何体 的切接 解三角形

14

球表面积、三棱锥 三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、 三角函数的同角关系 导函数公式、函数的性质、方程的根

15

16

函数

17

数列

递推数列的通项公式、求和、不等式证明

18

概率

概率、随机变量的分布列、数学期望

5

19

三棱锥

几何体中的垂直问题、二面角、几何综合 法、几何向量法 椭圆方程及其几何性质、直线与椭圆、韦 达定理、四边形的周长 用导数研究函数的单调性、最值构造函数 三角形相似、圆的性质、等腰三角形的性 质及应用 参数方程、 直角坐标及极坐标方程的互化、 动点到直线距离的最值问题 解绝对值不等式、不等式的证明、均值不 等式

观察能力、画图能力、 空间想象能力、推理能 力 数形结合、方程思想、 观察能力、运算能力 分类讨论、推理能力、 转化与化归、运算能力 观察能力、推理能力、 运算能力 运算能力、转化能力

20

直线与椭圆

21

导数的应用

22

圆与三角形 坐标系与参 数方程 不等式

23

24

推理能力、运算能力

4.试题综评 (1)重视基础知识、基本技能的考查 本套试卷保持往年命题原则,在题型、题量、分值上与往年高考试题相比保 持一致,试题难度上仍然体现“低起点、缓坡度、散难度”的特点,选择题简洁 平稳,填空题难度适中,解答题层次分明,重视基础知识、基本技能的考查.试 题着力于通过适度联系与综合,将知识、方法、能力的考查融为一体,强调通性 通法,考查学生的数学思维能力、运算能力和解决问题的能力,如第 1 题到第 5 题、第 7 题、第 10 题、第 11 题、第 19 题第(1)问、第 20 题第(1)问、第 23 题,题干叙述简练,侧重考查基础,整个试卷布局合理,难度适中,无偏题、 怪题,让中等生考出自信,让“弱势”学生找到问题,以便后期复习查缺补漏,均 衡发展. (2)突出知识的情境创新、注重思维方法的考查 本套试卷在素材选择、情景设置和设问方式上有创新亮点,考查学生的探究 意识,应用意识和创新意识,试题命制贴近生活,同时适度强化了不同模块之间 的联系与综合,中等程度学生能快速、正确地进行解答.如第 6 题、第 8 题、第 13 题、第 14 题;第 17 题将数列与不等式的应用结合在一起,加强了思维方法 与综合能力的考查;第 18 题以教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生

6

环保知识团体竞赛为背景,考查概率统计的应用.这些试题立意新颖,背景深刻, 情境生动,设问巧妙,能很好的考查学生理性思维的素质,提高学生的数学学习 兴趣,激发学习动力. (3)合理控制计算量、注重探究能力的考查 本套试卷注意贴近学生的心理特征和思维特点,在避免过复杂或繁琐的运 算,这样的命题方式有利于引导老师和学生扎扎实实的讲透和学好“双基”内容, 夯实基础,为学生的全面可持续发展提供可靠保证,关注学生的猜想、估算的分 析能力、计算能力, 应用知识解决问题的意识的培养.全卷对于公式运用、运算 能力与实际应用的考查明显加强,如第 1 题到第 5 题、第 12 题、第 13 题、第 14 题、第 15 题、第 18 题、第 22 题、第 23 题等,第 2 题对二项式展开式的通 项公式的直接考查.同时也关注对公式运用、运算能力的深度考查,如第 6 题、 第 8 题、第 9 题、第 14 题,注重考查考生应用意识与探究能力,第 14 题需要学 生有探究猜想的能力, 通过特殊位置, 当 P 到平面 ABC 距离的最大时, 顶点 P 以 及 ?ABC 外接圆心 O1 在球心 O 的两侧,且 P 、 O 、 O1 三点共线,再进行运算, 很有新意. 本套试卷为了保证较好的区分度,通过第 16 题、第 20 题第(2)问、第 21 题等来合理适度增加运算难度, 让优秀的学生树立信心,并对自己提出更高要 求和更大的挑战,同时对全体同学起到了引领和示范作用. (4)强化学科主干知识、突出考查重点 本套试卷不刻意追求知识点的覆盖率,不回避重点知识,主干知识的考查, 符合近几年高考理科数学试题的命题导向,依旧主要分布在函数、导数与方程, 数列与不等式,三角、平面向量,解析几何,立体几何和概率统计等高中数学知 识体系中的六大知识板块中,体现了重要内容重点考查,主干知识反复考查的原 则,并在难易程度上作了适当的调整,体现了考点不变、考法变化的思想,既符 合考生的学情,也符合考试说明和大纲的要求.解答题较往年题目顺序保持不变, 依次是数列、概率统计、立体几何、解析几何与函数导数,“三选一”的选做题仍 是几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲.本套试卷这个题型顺序,让 大多数同学心中有数,不至于措手不及,影响考试水平的发挥.

7

三、试题质量分析 第(1)题: 已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 1 ? i ,则 (A) ?
1 2

z1 ? z2
1 2

(B)

(C) ? i 解法一:直接求解, ∵ z1 ? 1 ? i , z 2 ? 1 ? i , ∴

(D) i

z1 1 ? i ? ? i .故选(D) z2 1 ? i

解法二:代入验证,把各选择项乘以 z 2 后看是否得到 z1 ,从数的特点可排 除选项(A), (B),利用 i 2 ? ?1 的符号可排除(C),故选(D). 答题情况分析: 1.本题考查复数的基本运算,第一种解法是利用复数的除法运算法则完 成,比较常用. 第二种解法注意到选项的特点,利用带入思想进行验证排除, 相对于第一种解法简单. 2.从抽样数据反映学生完成情况较好,错选主要是在分母实数化及完全平 方公式的运算问题上出错,导致选择错误,错选(A),(B),(C). 第(2)题: 已知平面向量 a ? ( 3 , 6 ) , b ? ( x , ? 1 ) ,如果 a // b ,那么 b ? (A) 5 (C) 3 解:∵ a ? ( 3 , 6 ) , b ? ( x , ? 1 ) , a // b , ∴ ? 3 ? 6 x ? 0 ,解得 x ? ? ∴b ? ( ?
1 , ?1 ) . 2
8

(B) (D)

5 2
3 2

1 . 2

∴ b ?

5 .故选(B). 2

答题情况分析: 1.本题主要考查平行向量,向量的模的概念及相关的向量坐标运算.准确 理解相关概念是解题的关键. 2. 有的考生将向量垂直与向量平行的坐标运算混淆, 不能准确得到 x 的值, 导致后面求解出错,选了(A).有的考生虽求出正确的 x 值,由于求模公式出 错,错选(D).这说明向量的概念与运算是应用的基础. 第(3)题: 函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 的最小值为 (A) ? 4 (C) ? 2 ? 1 (B) ? 3 ? 1 (D) ? 2

解:∵ y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 ? sin 2x ? cos2x ? 1
? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1,

∴它的最小值为 ? 2 ? 1 .故选(C). 答题情况分析: 1.本题主要考查三角恒等变换的倍角公式、辅助角公式及三角函数的最 值问题,解题关键在于降幂思想及化整思想的应用. 2.考生由于公式记忆理解不到位,导致不能完成.有的考生对三角函数最 值的理解不全面,没有注意取等条件的成立要求,错选(A),(D). 第(4)题:
(? x? 1 10 ) 的展开式中 x 2 的系数等于 x

(A) 45 (C) ? 30 解:∵ ( ? x ?

(B) 20 (D) ? 90
1 10 ) 的二项展开式的第 r ? 1 项为 x

C (? x )
r 10

10?r

x

?r

? (?1)

10?r

C x

r 10

10?3r 2

,由题意得

10 ? 3r ? 2. 2

∴r ? 2.
9

2 2 ∴ x 2 的系数等于 (?1)10?2 C10 ? C10 ? 45 .

∴正确选项为(A). 答题情况分析: 本小题主要考查二项展开式某项的系数问题,平均分为 4.48 分,难度系
r n ?r r 数为 0.9,较易.只要熟练掌握二项展开通项公式 Tr ?1 ? Cn a b 即可.

第(5)题: 若运行如图所示程序框图,则输出结果 S 的值为 (A) 94 (B) 86 (C) 73 (D) 56
i ? 1, S ? 1
i ? i ?1
开始

S ? 2( S ? 1)


i ? 5?


输出 S 结束

解:运行程序,容易得到 S ? 94 . ∴正确选项为(A). 答题情况分析: 本小题主要考查程序框图的应用,平均分为 4.91 分,难度系数为 0.98,较 易.考生需要读懂程序框图的意义,并按循环体的要求正确计算每一次的运算结 果,再按控制条件输出所求.对控制条件理解错误则易错选(A)或(C). 第(6)题: 下图是底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱被削掉一部份后剩下的几何体的三视 图(注:正视图也称主视图,侧视图也称左视图),则被削掉的那部份的体积为
10

(A)

? ?2
3
2 2

5? ? 2 (B) 3 5? (C) -2 3

1

1

1

1

正视图

侧视图

(D) 2? ?

2 3
1 1

俯视图

解:由题意知,剩下几何体是底面半径为 1cm ,高为 2cm 的半圆锥与底面为等 腰直角三角形,高为 2cm 的三棱锥的一个组合体,因此
1 1 1 1 5? ? 2 V削 ? V圆柱 ? V锥= ? ? 12 ? 2-( ? ? ? ? 12 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2)= 2 3 3 2 3

正确选项为(B). 答题情况分析: 本题通过三视图考查圆柱、圆锥及棱锥的体积公式,平均分为 3.65 分, 难度系数为 0.73,属中等题.要求考生具有一定的空间想象力和计算能力.同 时,若考生审题不认真,没有找对所求的是削掉的那部份的体积,会错选; 若最后结果的分式处理错误,会误选(C). 第(7)题: 为得到 y ? cos ( 2 x ? (A)向右平移 (C)向左平移

?
6

) 的图象,只需要将 y ? sin 2 x 的图象

? 个单位 3 ? 个单位 3
?
6
2 )

(B)向右平移 (D)向左平移

? 个单位 6 ? 个单位 6

解:∵ y ? cos ( 2 x ?
? sin (2 x ?

)

?
6

?

?

11

? sin (2 x ?

?
3

) ? sin[ 2( x ?

?
6

)] ,

∴只需要将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ∴正确选项为(D). 答题情况分析:

? 个单位. 6

1.本题立足于三角函数图像的变换考查. 2.考生存在的主要问题有: (1)弄不清由哪个函数变换为哪个函数; (2)分不清平移是向左移还是向右移. 3.通过本题的分析在教学中应注意以下几点: (1)抓基本功; (2)注意三角图像变换的变换方法. 第(8)题: 在数列 ? an ?中, a1 ? (A) (C)
5 6
7 2
1 1 , a 2 ? , an an ? 2 ? 1, 2 3

1 1 , a 2 ? , an an?2 ? 1,则 a2016 ? a2017 ? 2 3

(B)

7 3

(D) 5

解:∵ a1 ?

∴ a3 ? 2 , a 4 ? 3 , a 5 ? ∴ a2016 ? a2017 ?
7 . 2

1 1 1 , a 6 ? ,??, a2016 ? 3 , a 2017 ? . 2 3 2

∴正确选项为(C). 答题情况分析: 1.本题考察数列的周期性. 2.考生存在的主要问题:在解决数列有关问题时不会挖掘隐含条件. 3.通过本题的分析在教学中要教会学生注意挖掘隐含条件,利用性质, 可以减少运算量,提高解题速度.

12

第(9)题:
q: b 都是实数,p:a ? b ? 2 ; 已知 a 、 直线 x ? y ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2

相切.则 p 是 q 的 (A)充分但不必要条件 (C)充要条件 (B)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

解:∵直线 x ? y ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切, ∴

a?b 2

? 2 ,即 a ? b ? 2 .

∵ a ? b ? 2, ∴ a ? b ? 2 ,即若 p:a ? b ? 2 ,则 q: 直线 x ? y ? 0 与

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切.
但若 a ? b ? 2 ,而 a ? b ? 2 不一定成立. ∴ p 是 q 的充分但不必要条件. ∴正确选项为(A). 答题情况分析: 1.本题考察充分、必要条件,要分清条件与结论,然后才进行推理判断. 2.考生存在的主要问题: (1)计算直线和园相切时学生不知用什么方法做. (2)计算有误. 3.通过本题分析,在教学中我们要注意: (1)提高学生运算能力. (2)注意数形结合思想. 第(10)题:
? x ? 4 y ? ?3 , ? 若 x , y 满足约束条件 ?3x ? 5 y ? 25, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 1, ?

(A) 6 (C) 3

(B) 5 (D) 1

本题考查线性规划求最小值的运算能力、数形结合.

13

解:画出区域图,易知 z ? 2 x ? y 的最小值为 3 . ∴正确选项为(C). 答题情况分析: 在平面直角坐标系中,将约束条件的三条直线画出,找到可行域即可获解. 考生画图画错,解方程组出错导致本题失分. 第(11)题: 在长为 3m 的线段 AB 上任取一点 P ,则点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于
1m 的概率等于

(A) (C)

1 2 2 3

(B) (D)

1 4 1 3

本题考查几何概型的概率,利用数形结合的方法可知. 解: 把 AB 三等分, 由点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1m 得 P 在中间 1m
1 的这段内,所以所求概率等于 . 3

∴正确选项为(D). 答题情况分析: 点 C、 D 将线段 AB 三等分, 由点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1m 得 P 在 线段 CD 这段内.考生不能把问题转化为几何概型,导致失分. 第(12)题: 已知双曲线 M 的焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,直线 7 x ? 3 y ? 0 是双曲线 M 的一
2 条渐近线,点 P 在双曲线 M 上,且 PF 1 ? PF 2 ? 0 . 如果抛物线 y ? 16x 的准线经

过双曲线 M 的一个焦点,那么 | PF 1 | ? | PF 2 |= (A) 21 (C) 7 (B) 14 (D) 0

本题综合考查双曲线与抛物线的定义、几何性质及其应用,对式的变形运算 能力有较高要求. 解:∵双曲线 M 的焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,直线 7 x ? 3 y ? 0 是双曲线 M 的一 条渐近线,
14

∴设双曲线 M 的方程为

x2 y2 b 7 7a ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,且 ? ,即 b ? . 2 a b a 3 3
4a . 3

设双曲线 M 的焦距为 2c ,则 c ?

∵ y 2 ? 16x 的准线为 x ? ?4 ,抛物线 y 2 ? 16x 的准线经过双曲线 M 的一个焦 点, ∴c ?
4a ? 4 ,解得 a ? 3 . 3

∵ PF 1 ? PF 2 ? 0, ∴ PF12 ? PF22 ? 4c 2 ? 64 . ∵点 P 在双曲线 M 上, ∴ PF1 ? PF 2 ? ?6 . ∴ PF1 PF 2 ?

PF1 ? PF2 ? 36 2

2

2

? 14.

∴正确选项为(B). 答题情况分析: 熟练掌握双曲线的定义, 双曲线与抛物线的几何性质是正确解答该题的关键, 对式的变形运算能简便地将双曲线的焦半径之积作为整体未知数求出 .考生弄错 问题涉及的量与量之间的关系,计算正确率不高导致失分. 第(13)题:

?lg x , x ? 0 , 已知函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , ? x ? R , f ( x ? 90) ? ? ?? x , x ? 0 ,
则 f (10) ? f (? 100) 的值为 .

解法一:∵ f (10) ? f (100? 90) ? lg100 ? 2 , f (? 100) ? f (?10 ? 90) ? 10 , ∴ f (10) ? f (? 100) ? 2 ? 10 ? ?8

?lg x , x ? 0 , 解法二:∵ ? x ? R , f ( x ? 90) ? ? ?? x , x ? 0 ,
∴ f ( x) ? ?
? ?lg ? x ? 90? , x ? ?90, ? ?? ? x ? 90? , x ? ?90,

∵ f (10) ? lg ?10 ? 90? ? lg100 ? 2 , f (? 100) ? ? ? ?100 ? 90? ? 10 ,

15

∴ f (10) ? f (? 100) ? 2 ? 10 ? ?8 . 答题情况分析: 1.本题主要考查分段函数的求值问题.看懂所给分段函数是解题难点.本 题的关键在于找到相应的 x 值. 2.解法一利用所以给分段函数探寻相应的 x 值,体现出求同思维.解法二 利用函数图像变换,探寻出 f ( x) 的解析式,使问题得以解决. 3.考生由于对所给分段函数的表达形式理解不清晰导致答题错误. 第(14)题: 已知三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 、A 、B 、C 在球 O 的球面上,?ABC 是边长为 3 的等边三角形,如果球 O 的表面积为 36? ,那么 P 到平面 ABC 距离的最大值 为 . 解:由球 O 的表面积为 36? ,得 4?R 2 ? 36? ? R ? 3 ,由正弦定理得 ?ABC 外接圆半径 r ?
3 当 P 到平面 ABC 距离的最大时, 顶点 P 以及 ?ABC ? 1, 2 sin 600

外接圆心 O1 在球心 O 的两侧,且 P 、 O 、 O1 三点共线,过 P 、 O 、 O1 和 ?ABC 的顶点 A 作出截面图如图,在 Rt ?OO1 A 中,
OO1 ? OA 2 ? O1 A 2 ? R 2 ? r 2 ? 3 2 ? 12 ? 2 2 ,

因此, P 到平面 ABC 距离的最大值为 3 ? 2 2 .

P O O1 A
答题情况分析: 本题把球体与锥体结合在一起考查, 其中最值的设置是个亮点.考生只要找 对满足最值的 P 点的位置,问题就转化为简单的解直角三角形,巧妙地考查了

16

空间想象力与逻辑推理能力.如果考生在审题时对“最大值”有畏难情绪,会误 认为是难题.此题平均分为 1.69 分,难度系数为 0.34,反映出学生的审题能力 与计算能力较差. 第(15)题: 在 ? ABC 中,内角 A 、 B 、 C 对的边分别为 a 、 b 、 c ,如果 ? ABC 的面积等 于 8 , a ? 5 , tan B ? ? 解:∵ tan B ? ? ∴ sin B ?
4 a?b?c ? ,那么 3 sin A ? sin B ? sin C



4 , B 是 ? ABC 的内角, 3 4 3 , cos B ? ? . 5 5

∵ ? ABC 的面积等于 8 ,
1 ∴ ac sin B ? 2c ? 8 ,解得 c ? 4 . 2

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B ? 65 . ∴ b ? 65 . ∴
a?b?c b 5 65 . ? ? sin A ? sin B ? sin C sin B 4

答题情况分析: 1.本题主要考察正弦定理及面积公式、三角函数同角之间的关系; 2.考生存在的主要问题:不会用正弦定理列出关系式,不会利用比例性质来 解答; 3.通过本题分析, 教师在教学中应注重正弦定理教学及利用比例性质解答问 题的重要性. 第(16)题: 已知实数 a 、b 都是常数,若函数 y ? 处的切线方程为 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , y ? 三个公共点,则实数 k 的取值范围是
a x ?1 x?2 ? b e 2 x ? 1 的图像在切点 ( 0 ,
1 ) 2

a x ?1 x?2

? b e 2 x ? 1 与 y ? k ( x ? 1 ) 3 的图像有



本题综合考查函数的单调性、导函数的几何性质及其应用、含参数的方程的 根等问题.
17

解:∵切点为 ( 0 ,

1 ), 2

∴当 x ? 1 时, y ?

a (1 ? x) ? 3a ? b e 2 x? 1 , y? ? ? 2b e 2 x? 1 . x?2 ( x ? 2) 2
? 3a ? 2b e ? 1 . 4

∴当 x ? 0 时, y ? ? ∵函数 y ?
a x ?1 x?2

? b e 2 x ? 1 的图像在切点 ( 0 ,
3x ? 4 y ? 2 ? 0 ,

1 ) 处的切线方程为 2

∴当 x ? 0 时, y ? ?

? 3a ? 2b e ? 1 . 4

3 ? ? 3a ?1 ? 2 be ? ? , ? 4 ? a ? 1, 4 ∴? 解得 ? a 1 ?b ? 0. ? ? be?1 ? , 2 ? 2
∴函数 y ?
a x ?1 x?2 ? b e 2 x? 1 ? x ?1 x?2



∵已知函数 y ? ∴
x ?1 x?2

x ?1 x?2

的图像与函数与 y ? k ( x ? 1 ) 3 的图像有三个公共点,

? k ( x ? 1) 3 有三个不同实数根.

∵ x ? 1是

x ?1 x?2

? k ( x ? 1) 3 的实数根, x ?1 x?2
x ?1 x?2 x ?1 x?2

∴当 x ? 1 时, ∵当 x ? 1 时, 当 x ? 1 时, ∴y?

? k ( x ? 1) 3 有两个实数根.
? k ( x ? 1) 3 可化为 ? k ( x ? 1) 3 可化为
1 ? k ( x ? 1) 2 , x?2 ?1 ? k ( x ? 1) 2 , x?2

? ( x ? 1)2 ( x ? 2), x ? 1, 1 与 f ( x) ? ? 有两个公共点. 2 k ??( x ? 1) ( x ? 2), x ? 1且x ? ?2 ? ( x ? 1)2 ( x ? 2), x ? 1, ? x 3 ? 3x ? 2, x ? 1, f ( x ) ? 得 ? 3 2 ??( x ? 1) ( x ? 2), x ? 1且x ? ?2 ?? x ? 3x ? 2, x ? 1且x ? ?2.

由 f ( x) ? ?

∴当 x ? (?1,1) 或 x ? (1,? ?) 时, f ( x) 单调递增;
18

当 x ? (?? ,?2 ) 或 x ? (?2 ,?1) 时, f ( x) 单调递减. 又∵ f (?1) ? ?4 ,

?1 ? k ? 0, 1 ? 0 ∴ 或? 1 k ? ? ?4, ?k
1 解得 k ? 0 或 k ? ? . 4

∴实数 k 的取值范围是 ( ? ? , ? 答题情况分析:

1 ) ? (0 , ? ? ) . 4

对函数求导正确是本题的关键,利用导函数的几何性质与切线的方程,求得 a、b 的值,由方程的根、函数的单调性的讨论解决问题.由于本题涉及的知识、 数学方法多,综合性强,考生普遍不适应,导致失分. 第(17)题: 设数列 ? an ?的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n , 3 an ? 2 S n ? 2 . (Ⅰ)求数列 ? an ?的通项公式;
2 (Ⅱ)求证: S n?2 S n ? S n ?1 .

解:(Ⅰ)∵对任意正整数 n , 3 an ? 2 S n ? 2 , ∴ 3 an?1 ? 2 S n?1 ? 2 . ∴ 3 an?1 ? 3an ? 2 Sn?1 ? 2Sn ? 0 ,即 3 an?1 ? 3an ? 2( Sn?1 ? Sn ) ? 0 . ∴ 3 an?1 ? 3an ? 2an?1 ? 0 ,解得 an?1 ? 3an . 当 n ? 1 时, 3 a1 ? 2 S1 ? 2 ,即 a1 ? 2 ? 0 . ∴数列 ? an ?是以 2 为首项, 3 为公比的等比数列 则 an ? 2 ? 3n?1 . ∴数列 ? an ?的通项公式为 an ? 2 ? 3n?1 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得 S n ?
2 ? (1 ? 3 n ) ? 3n ? 1 . 1? 3

∴ S n?1 ? 3n?1 ? 1, S n?2 ? 3n?2 ? 1.
2 n ∴ S n? 2 S n ? S n ?1 ? ? 4 ? 3 ? 0 .

19

2 ∴ S n? 2 S n ? S n ?1 .

答题情况分析: 1.本题主要考查了数列的通项 a n 与前 n 项和 Sn 的关系,进而考查等比数列 的通项公式及前 n 项和公式的求解及应用. 2.考生出错的原因主要有以下几方面:在解答题中考生利用不完全归纳法 得到通项而不进行证明,缺失正确严密的推理步骤;由于审题不清晰,误将数列 看成等差数列进行解答;不作任何论证直接利用等比数列进行解答;对于相关公 式记忆不清,计算不过关,导致运算不能正确完成,暴露出学生对于转化思想和 计算都不同程度存在问题. 3.建议在教学中夯实基础,加强等差、等比数列的基本方法及运算教学, 让学生能熟练掌握相关公式及其应用,提升运算的准确性,同时加强数列基本思 想及划归意识的渗透,从而提升应用能力. 第(18)题: 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛,根 据比赛规则,某中学选拔出 8 名同学组成参赛队,其中初中学部选出的 3 名同学 有 2 名女生; 高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生, 竞赛组委会将从这 8 名同学中 随机选出 4 人参加比赛. (Ⅰ)设“选出的 4 人中恰有 2 名女生,而且这 2 名女生来自同一个学部” 为事件 A ,求事件 A 的概率 P( A ) ; (Ⅱ) 设 X 为选出的 4 人中女生的人数, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ)由已知,得 P( A ) ?
2 2 C2 C3 ? C32 C32 6 ? . 4 35 C8

所以事件 A 的概率为

6 . 35

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1 , 2 , 3 , 4 .

C5k C34?k 由已知得 P( X ? k ) ? (k ? 1, 2 , 3, 4 ) . C84
所以随机变量 X 的分布列为:
X 1 2

3

4

20

P

1 14

3 7

3 7

1 14

随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? 1 ? 答题情况分析:

1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 14 7 7 14 2

本题主要考查随机变量的概率、分布列和数学期望等知识.平均分为 7.17 分,难度系数为 0.6.选材贴近生活,考查学生的数学应用意识和能力.难度适 中,符合课标和考试大纲的要求.学生需要熟练掌握概率与统计这部分的基本 公式, 并正确进行计算.其中, 随机变量 X 的所有可能取值需要仔细理解题意, 不少学生多值或少值. 第(19)题: 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, CD ? BD , AB ? AD , E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AE ? BD ; ( Ⅱ ) 设 平 面 ABD ? 平 面 B C D , AD ? CD ? 2 , BC ? 4 , 求 二 面 角
B ? AC ? D

的正弦值.
A

B

D

E

(Ⅰ)证明:设 BD 的中点为 O ,连接 AO , EO , ∵ AB ? AD , ∴ AO ? BD . 又∵ E 为 BC 的中点, ∴ EO // CD . ∵ CD ? BD ,∴ EO ? BD .

C

21

∵ OA ? OE ? O ,

z A

∴ BD ? 平面 AOE . 又∵ AE ? 平面 AOE , ∴ AE ? BD .

B E x

D O y

C
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: AO ? BD , EO ? BD . ∵平面 ABD ? 平面 BCD , 平面 ABD ? 平面 BCD ? BD ,AO ? 平面 ABD , ∴ AO ? 平面 BCD . ∵ EO ? 平面 BCD ,∴ AO ? EO . ∴ OE 、 OD 、 OA 两两互相垂直. ∵ CD ? BD , BC ? 4 , CD ? 2 , ∴ BD ? BC2 ? CD 2 ? 2 3 . 由 O 为 BD 的中点, AO ? BD , AD ? 2 得 BO ? OD ? 3 ,

OA ? AD2 ? OD2 ? 1,以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标
系 O ? xyz ,则 O(0,0,0) , A(0 , 0 , 1 ) , B(0 , ? 3 , 0 ) , C(2 , 3 , 0 ) ,
D(0 , 3 , 0 ) .

∴ AB ? ( 0, ? 3 , ?1 ) , AC ? ( 2 , 3 , ?1 ) , AD ? ( 0 , 3 , ?1 ) . 设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AB , n ? AC .
? ? x ? 3, ?? 3 y ? z ? 0, ∴? 取 y ? ? 3 ,解得 ? ? ? z ? 3. ?2 x ? 3 y ? z ? 0,

∴ n ? ( 3, ? 3 , 3 ) 是平面 ABC 的一个法向量. 同理可求得平面 ADC 的一个法向量 m ? (0 , 3 , 3 ) .

22

设二面角 B ? AC ? D 的大小为 ? ,则 cos? ? ∵0 ?? ? ? , ∴ sin ? ? 1 ? cos2 ? ?
42 . 7
42 . 7

m?n mn

?

7 . 7

∴二面角 B ? AC ? D 的正弦值为 答题情况分析:

1.本题的两个问题,都是既可以用综合几何法解决,也可以用向量法解决, 第二问用向量法解答比较简单; 2.第一问用综合法解决的关键在于作辅助线(中位线),这是一个难点, 3.考生答题存在的突出问题: (1)建系不正确;(2)表达不规范,书写混乱;(3)不会作辅助线; (4)计算能力差. 第(20)题: 已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O ,离心率等于
3 ,以椭圆 E 的 2

长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5 .直线 l:y ? k x ? m 与 y 轴交于点
P ,与椭圆 E 交于 A 、 B 两个相异点,且 AP ? ? PB .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在 m ,使 OA ? ?OB ? 4 OP ?若存在,求 m 的取值范围;若不 存在,请说明理由. 本题考查椭圆及其几何性质、 直线与椭圆的位置关系、 平面向量的综合应用. 解: (Ⅰ)根据已知设椭圆 E 的方程为 由已知得
y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,焦距为 2c , a2 b2

a2 c 3 3 . ∴c ? . ? a , b2 ? a2 ? c2 ? 4 a 2 2

∵以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5 , ∴ 4 a 2 ? b 2 ? 2 5a ? 4 5 . ∴ a ? 2 , b ? 1 .

23

y2 ∴椭圆 E 的方程为 x ? ?1 . 4
2

(Ⅱ)根据已知得 P ( 0 , m ) ,由 AP ? ? PB ,得 OP ? OA ? ?(OB ? OP) . ∴ OA ? ?OB ? (1 ? ?)OP . ∵ OA ? ?OB ? 4 OP , ∴ (1 ? ?)OP ? 4OP . 若 m ? 0 ,由椭圆的对称性得 AP ? PB ,即 OA ? OB ? O . ∴ m ? 0 能使 OA ? ?OB ? 4 OP 成立. 若 m ? 0 ,则 1 ? ? ? 4 ,解得 ? ? 3 . 设 A( x1 , kx1 ? m) , B( x2 , kx2 ? m) ,
? y ? kx ? m, 由? 2 得 (k 2 ? 4 ) x 2 ? 2mkx? m 2 ? 4 ? 0 . 2 4 x ? y ? 4 ? 0 ?

由已知得 ? ? 4m 2 k 2 ? 4(k 2 ? 4)(m 2 ? 4) ? 0 ,即 k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 , 且 x1 ? x 2 ?
? 2km m2 ? 4 , x1 x 2 ? 2 . k2 ? 4 k ?4

由 AP ? 3PB 得 ? x1 ? 3x2 ,即 x1 ? ?3x2 . ∴ 3( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 0 . ∴

12k 2 m 2 4(m 2 ? 4) ? ? 0 ,即 m 2 k 2 ? m 2 ? k 2 ? 4 ? 0 . 2 2 2 (k ? 4) k ?4

当 m 2 ? 1 时, m 2 k 2 ? m 2 ? k 2 ? 4 ? 0 不成立. ∴k2 ?
4 ? m2 . m2 ?1

∵ k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , ∴
4 ? m2 (4 ? m 2 )m 2 2 ? m ? 4 ? 0 ? 0. ,即 m2 ?1 m2 ?1

∴ 1 ? m 2 ? 4 ,解得 ? 2 ? m ? ?1 或 1 ? m ? 2 . 综上所述,当 ? 2 ? m ? ?1 ,或 m ? 0 ,或 1 ? m ? 2 时, OA ? ?OB ? 4 OP . 答题情况分析: 平面解析几何解答题是考生最害怕的问题, 由于最近几年这个题的难已经家喻
24

户晓,很多考生思想上的畏惧导致行动方面全然放弃.抽样发现,本题空白卷很 多,是本题平均分比较低的关键因素. 在考生的解答中,比较普遍的问题主要有以下几个: 有的考生头脑中的平面解析几何解答题已经装满了求曲线方程、求弦长和 求弦的中点问题,容不下其他问题,一旦题目稍有新颖,便束手无策;有的第 (Ⅰ)问出错,第(Ⅱ)问虽然有思路,显然影响了该问的得分. 第(21)题: 已知 f ( x ) ? 2 x ? 3 ?
ln ( 2 x ? 1) . 2 x ?1

(Ⅰ)求证:当 x ? 0 时, f ( x ) 取得极小值; (Ⅱ)是否存在满足 n ? m ? 0 的实数 m , n ,当 x ? [ m , n ] 时, f ( x ) 的值 域为 [ m , n ] ?若存在,求 m , n 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)证明:由已知得 f ( x) 的定义域为 (? 当x ? ?
1 , ? ?) . 2

1 2 ? 2 ln(2 x ? 1) 8x 2 ? 8x ? 2 ln(2 x ? 1) 时, f ?( x) ? 2 ? . ? 2 (2 x ? 1) 2 (2 x ? 1) 2

设 F ( x) ? 8x 2 ? 8x ? 2 ln( 2 x ? 1) ,则 f ?( x) ? 法一:当 x ? ?

F ( x) . (2 x ? 1) 2

1 1 8 x 2 ? 8 x ? 8[ x ? (? )] 2 ? 2 是单调递增函数, 2 ln( 2 x ? 1) 时, 2 2

也是单调递增函数. ∴当 x ? ? ∴当 ? ∴当 ?
1 时, F ( x) ? 8x 2 ? 8x ? 2 ln( 2 x ? 1) 单调递增. 2

1 ? x ? 0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 . 2 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 2

单调递增. ∴当 x ? 0 时, f ( x ) 取得极小值. 法二:本题也可以用以下方法: F / ( x) ? 16 x ? 8 ?
4 4 ? 8(2 x ? 1) ? 2x ? 1 2x ? 1

25

因为 2 x ? 1 ? 0 ,所以 F / ( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 (? 所以当 ? F (0) ? 0 , 即?

1 , ? ?) 上单调递增;而 2

1 ? x ? 0 时, 当 x ? 0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 , F ( x) ? F (0) ? 0 . 2

1 F ( x) ? x ? 0 时, f / ( x) ? ? 0 , f ( x) 单调递减; 2 (2 x ? 1) 2

当 x ? 0 时, f / ( x) ?

F ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. (2 x ? 1) 2

∴当 x ? 0 时, f ( x ) 取得极小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是单调递增函数,若存在满足 n ? m ? 0 的 实数 m , n ,当 x ? [ m , n ] 时, f ( x ) 的值域为 [ m , n ] ,则 f (m) ? m ,
f (n) ? n ,即 f ( x) ? x 在 [0 , ? ?) 上有两个不等的实根 m , n .

∴ 2x 2 ? 7 x ? 3 ? ln(2x ? 1) ? 0 在 [0 , ? ?) 上有两个不等的实根 m , n . 设 H ( x) ? 2x 2 ? 7 x ? 3 ? ln(2x ? 1) ,则 H ?( x) ?
8 x 2 ? 18x ? 5 . 2x ? 1 8 x 2 ? 18x ? 5 ? 0. 2x ? 1

当 x ? 0 时,2 x ? 1 ? 0 ,8x 2 ? 18x ? 5 ? 0 ,所以 H ?( x) ?

∴ H ( x ) 在 [0 , ? ?) 上是单调递增函数,即当 x ? 0 时, H ( x) ? H (0) ? 3 . ∴ 2x 2 ? 7 x ? 3 ? ln(2x ? 1) ? 0 在 [0 , ? ?) 上没有实数根. 所以,不存在满足条件的实数 m , n . 答题情况分析: 1.本题考查导数的运算,考查利用导数研究函数的单调性和极值,综合性较 强,考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法,考查学生的分析问题、解决问 题的能力,有很好的区分度,较好地指导师生教学和学习中熟练函数与导数的基 础知识以及基本题型. 2.本题对学生求导运算能力要求较高,很多学生由于求导错误,以致两个问 即使找到方法也得不到分,尤其
ln ( 2 x ? 1 ) 的求导.在第二问中,一些考生不能从 2 x ?1

定义域和值域相等中理解 f (m) ? m , f (n) ? n ,更没有转化成函数零点问题,不 能从函数与方程去解决问题.

26

第(22)题: 如图, BC 是⊙ O 的直径, EC 与⊙ O 相切于 C , AB 是⊙ O 的弦, D 是 AC 弧的中点, BD 的延长线与 CE 交于 E . (Ⅰ)求证: BC ? CD ? BD ? CE ; (Ⅱ)若 CE ? 3 , DE ?
9 ,求 AB . 5

(Ⅰ)证明:∵ BC 是⊙ O 的直径, EC 与⊙ O 相切于 C , D 是 AC 弧的中点, ∴ ?CBD ? ?ECD , ? BDC ? ?CDE ? ?BCE ? 90? . ∴ ?BCD ∽ ?CED . ∴
BC BD ? . CE CD

∴ BC ? CD ? BD ? CE .

F A D E

(Ⅱ)解:设 BA 的延长线与 CD 的延长线交 于F . ∵ D 是 AC 弧的中点, ∴ ?ABD ? ?CBD .

B

O

C

∵ BC 是⊙ O 的直径, ∴ ? BDC ? ?BDF ? 90? . ∴ ?BDC ≌ ?BDF .

∴ CD ? FD , BC ? BF . 在 Rt ?CDE 中, CD ? CE 2 ? DE 2 ? ∴ FD ?
12 . 5 12 . 5

∵ ? BDC ? ?BCE ? 90? ,∴ CD 2 ? BD ? DE .
CD 2 16 ? . ∴ BC ? BD2 ? CD 2 ? 4 . ∴ BD ? DE 5

∴ BF ? 4 . 由割线定理得 ( FB ? AB) ? FB ? FD ? FC ,即 (4 ? AB ) ? 4 ? 解得 AB ?
28 . 25
27

12 24 ? , 5 5

∴ AB ?

28 . 25

(Ⅱ)法二:连接 OA,并作 OF ? AB 于 F ∵ BC 是⊙ O 的直径, EC 与⊙ O 相切于 C ∴∠BCE=∠BDC=90° ∴由射影定理得: CE 2 ? DE ? BE ,即 BE ? 5 ∴ BC ? BE2 ? CE 2 ? 4 ,∴半径 r ? 2 ∴ cos ?CBE ?
BC 4 ? BE 5

F

∵ D 是 AC 弧的中点, ∴∠ABC=2∠EBC,∴ cos ?ABC ? 2 cos 2 ?EBC ? 1 ? ∵ OF ? AB ,OA=OB=r=2,∴AF=BF= ∴ cos ?ABC ? ∴ AB ?
28 . 25 1 AB 2

7 25

BF BF 7 14 ? ? ,所以 BF ? , OB 2 25 25

答题情况分析: 1.本题重点考查几何推理论证能力,考查圆的切线、直径、相交弦定理,圆 内接多边形等平面几何知识,考查数形结合思想及几何推理论证能力.第(Ⅰ) 问中由四条边关系容易想到要证明 ?BCD ∽ ?CED ,借助切线直径容易得到直 角,再用弦切角定理得到第二组等角.第(Ⅱ)问主要通过相似、全等或是射影 定理算出一些线段的长,然后再用割线定理或是三角函数计算. 2.考生存在的主要问题是证明过程不够严谨,如在证明相似时没有想到弦切 角或条件 ? BDC ? ?CDE ? ?BCE ? 90? 知道却不写明,这部分内容在初中淡化 证明,且时间间隔较长,而高中由于时间关系重视不够,学生的集合逻辑推理能 力有所欠缺,从而得分率低. 第(23)题:

? x ? t ? 1, 在直角坐标系 xO y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).在以原点 O ? y ?t ?2,
为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为

28

??

3 1 ? 2 cos 2 ?



(Ⅰ)直接写出直线 l 、曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围. 解:(Ⅰ)直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 曲线 C 的直角坐标方程为 3x 2 ? y 2 ? 3 . (Ⅱ)∵曲线 C 的直角坐标方程为 3x 2 ? y 2 ? 3 ,即 x 2 ?
y2 ? 1, 3

∴曲线 C 上的点的坐标可表示为 (cos? , 3 sin ? ) . ∵ 2 sin(

?
6

??) ? 3 ? 1 ? 0 ,

∴d ?

cos? ? 3 sin ? ? 3 2

2 sin( ? ? ) ? 3 2 sin(? ? ? ) ? 3 6 6 . ? ? 2 2

?

∴ d 的最小值为

1 2

?

2 5 5 2 , d 的最大值为 . ? 2 2 2



2 5 2 2 5 2 ,即 d 的取值范围为 [ ?d ? , ]. 2 2 2 2

法二:(Ⅱ)设与 l 平行且与椭圆相切的直线方程为: x ? y ? C ? 0 ,则 联立 3x 2 ? y 2 ? 3 ,得 3x 2 ? ( x ? C) 2 ? 3 ,即 4 x 2 ? 2Cx ? C 2 ? 3 ? 0 . 所以 ? ? 4C 2 ? 4 ? 4 ? (C 2 ? 3) ? 0 , C ? ?2 即与 l 平行且与椭圆相切的直线方程 l1 : x ? y ? 2 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 所以 d 的最小值为 l 与 l1 距离
3 ? ( ?2) 12 ? 12 ?

3?2 12 ? 12

?

2 , d 的最小值为 l 与 l1 距离 2

5 2 2 5 2 , ]. ,即 d 的取值范围为 [ 2 2 2

答题情况分析: 1.第(Ⅰ)问考查了参数方程与一般方程、极坐标与一般方程的互换,意在 考查考生对基础知识的掌握程度、分析转化能力和运算求解能力;其中直角坐 标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x ? ? cos? 及 y ? ? sin ? 直接代 入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题
29

常通过变形,构造形如 ? cos? , ? sin ? , ? 2 的形式,进行整体代换.第(Ⅱ)问 的类型来源于课本选修 2-1 椭圆一节的例题,考查利用参数方程设椭圆上的任 意点(法一),再用点到直线距离公式,三角化解求值域;或者可以使直线到椭 圆距离转换成平行线间距离(法二),要求公式及计算要熟练准确. 2.考生在答题时,能很容易的写出直线一般方程,但是椭圆极坐标化成一 般方程时有很大一部分由于公式不熟练,方法掌握不好而失分;完成了第一问 的解答,很多考生受平时解析几何类型题的模式影响,联立直线 l 和椭圆方程, 写出韦达定理,或是去求解直线与椭圆的交点,而从题目中求距离的取值范围 没有看出直线与椭圆的位置关系,使得计算复杂化. 第(24)题: 选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 . (Ⅰ)求证: f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若对任意实数 x ,15 ? 2 f ( x) ? a 2 ? 围.
9 都成立,求实数 a 的取值范 a ?1
2

?? 4 x ? 3 , x ? ?2, ?5 , ? 2 ? x ? ?1, ? (Ⅰ)证明:∵ f ( x) ? ? ?2 x ? 7, ? 1 ? x ? 2, ? ?4 x ? 3, x ? 2 ,
∴ f ( x) 的最小值为 5 . ∴ f ( x) ? 5 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: 15 ? 2 f ( x) 的最大值等于 5 . ∵ a2 ?

9 9 9 ? (a 2 ? 1) ? 2 ? 1 ? 2 (a 2 ? 1) ? 2 ?1 ? 5 , a ?1 a ?1 a ?1
2

“?” 成立 ? a 2 ? 1 ?

9 ,即 a ? ? 2 , a ?1
2

∴当 a ? ? 2 时, a 2 ? ∴当 a ? ? 2 时, a 2 ?

9 取得最小值 5 . a ?1
2

9 ? 5. a ?1
2

30

又∵对任意实数 x , 15 ? 2 f ( x) ? a 2 ? ∴a ? ? 2. ∴ a 的取值范围为 a ? ? 2 .

9 都成立, a ?1
2

法二:(Ⅱ)由(Ⅰ)知: 15 ? 2 f ( x) 的最大值等于 5 . ∴ a2 ?
9 ?5 a ?1
2

∴ a 2 (a 2 ? 1) ? 9 ? 5(a 2 ? 1) ,即 a 4 ? 4a 2 ? 4 ? 0 ∴ (a 2 ? 2) 2 ? 0 ,∴ a 2 ? 2 ? 0 ,∴ a ? ? 2 . ∴ a 的取值范围为 a ? ? 2 . 答题情况分析: 1.本题主要考查不等式证明、绝对值不等式、绝对值不等式的解法、基本不 等式、求参数范围等知识;考生平时复习中更常见的是第(Ⅰ)题求 f ( x) 最小 值,而第(Ⅱ)题证明 15 ? 2 f ( x) ? a 2 ?
9 ,本题反其道而行之,立意更深, a ?1
2

也要求师生在学习复习中不能只抓某几种固定类型,而忽视变式练习. 2.本题涉及到三个绝对值,与学生平时遇到的两个绝对值有所差别,若在 平时学习中,死记方法,而不去理解题目的内涵、题意,那第(Ⅰ)题就会无从 下手;而第(Ⅱ)题很容易想到法一中的基本不等式: a 2 ? 1 ?
9 ? 6 ,没注 a ?1
2

意到等号,而不知道题目到底要考什么;在使用基本不等式时一定要观察取等号 的条件是否能实现. 四、教学建议 (一)如何使用复习资料 1.老师在上每一节课之前,要提前将资料上相关的例题和练习做一遍,提前 做相关的例题和练习是数学这门学科备课过程中必不可少的部分. 2.对于资料中出现的难题、超纲题,可以根据自己所带班级的班情,进行适 当的删减. 3.对于学生需要掌握的重难点,且又在资料上出现的题目,可以选出来将其 作为课堂上的例题或者稍作变形来讲解.

31

4.督促学生及时完成资料中的相应练习课前做题、课中讲解、课后布置加 检查是充分利用数学资料的三个必不可少的环节 . 老师们应该有这样一种意识 “任务布置+不检查=不布置”.所以,老师不仅在布置题目时要讲究针对性,而 且还要定期检查.课堂上教学效果的好与坏,只有通过相应的练习才能反映出来. 而现在有很多学生存在对数学的畏难心理,对数学的态度问题,对数学的习惯问 题,资料上的作业并没有认真有效地完成.这就需要我们老师做到及时督促,及 时检查,及时反馈.只有如此,才能及时调整和纠正,那么在课堂上讲解时将更 具有针对性.及时的督促和检查不仅是端正学生对数学态度的有效方式,更是提 升学生数学成绩的最佳措施. 5.对于课时作业,学生应该及时完成,老师应该全批全改 (二)全面夯实数学基础 数学中的基本概念、定义、公式,基本的解题思想和方法,是第一轮复习的 重点.高考题虽然难易不同,考生虽然成绩不同,基础都起决定性作用.因此,复 习过程要按照考纲要求,在平时教学时对基本功进行强化训练,要求学生把各知 识点进行整理,充分利用图表,填空等形式,构建自己理解的知识网络,对每个 知识点都胸有成竹. 教师在高三复习的过程中,研究考纲,研究考题,注重双基,强化能力,重 视通性通法的复习与训练是复习的重点.教材是学习数学基础知识,形成基本技 能的“蓝本”,是高考试题的重要知识载体.纵观新课程卷中的试题,源于教材, 但又略高于教材,充分表现出教材的基础作用.高三复习中教师务必要抓住课本, 演练习题,夯实基础,后期复习中要回归课本,以教材中的例、习题为素材,在 “变式”上下功夫,力求对教材内容融会贯通,教学中注重对知识体系的建构与 优化,将最基本的解题方法、解题思维训练好. 教师在复习中要有高效性,教学中要注意知识目标,方法目标,能力目标的 有机结合与达成,从而实现基础、关键与核心有效实现.选题要有针对性,加强 对基础知识点,重要知识脉络及典型方法的复习与训练,让学生在夯实基础的前 提下更好的理解掌握解题的方法与准确度的训练.教师在讲题时要有高度,利用 “一题多解、多题一解、一题多变“的教学方法提升学生的灵活性与思辨性,学 生掌握知识的核心问题有助于学生对知识的应用能力的提升. 教师复习中要注重教材知识体系的挖掘, 还其本来面目, 提高学生运算能力、
32

思辨能力、转化能力、探究能力.本次考试暴露出学生在数学思想的应用方面亟 待加强,学生不能准确进行试题分析找到解决问题的切入点,不但浪费了时间而 且还出现答题不全面、不严谨的情况.近年新课程卷的试题对知识的考查的灵活 性已明显加大,选择题、填空题突出“小、巧、活”,解答题以能力立意,考查分 类讨论、化归与方程等思想,因此在高考复习中在学生打好基础的同时一定要注 意解题技巧的训练;解答题要注重题目的综合性与新颖性训练,通过渗透数学思 想方法,加强学生观察、分析、推理能力培养,使学生的应用解题能力得到提升. 教师复习中要重视运算,使学生应树立运算是解题重要基础的思想 .要在准 确把握基本知识和方法的基础上 , 科学地做一定量的练习 ,把准确性放在第一位 , 通法放在第一位,不一味地去追求速度或技巧,扎实有效地提高运算能力. 教师复习中要注重反思,高中毕业班的学生,解的题目并不少,但是不少学 生实际水平的提高却较为缓慢,应变能力不强.其原因是学生解题是为了完成习 题本身或追求量的积累,缺乏解题反思的习惯,因而对解题过程的认识仍处于感 性阶段,没有促成质的转变.所以教师在课堂教学中应合理进行反思教学,把学 生的思维从感性引向理性. 总之, 高三后期的复习应推陈出新, 既要固守自身定义、 通性、 通法之根本, 又要加强与其它知识的交汇综合,关注创新变化,让学生的思维品质和分析能力 得到真正的提升.

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