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2007年全国数学竞赛模拟试卷(二)


2007 年全国数学竞赛模拟试卷(二)
姓名 一、选择题 1.设 M= b a ? b ? c ,其中 a、b 为相邻的两个整数,c=ab,则 M(
2 2 2

)

A. 必为偶数

B. 必为奇数

C. 必为无理数

D. 以上三种都有可能
<

br />2.13 个小朋友围成一圈做游戏,规则是从某一个小朋友开始 按顺时针方向数数,数到第 13,该小朋友离开;这样继续 下去,直到最后剩下一个小朋友. 小明是 1 号,要使最后 剩下的是小明自己,他应该建议从几号小朋友开始数起( A. 7 号 B. 8 号 C. 13 号 D .2 号 )
(第 2 题)

3.已知实数 x、y、z 满足 x2+y2+z2=4,则(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2 的最大值是( A.12 B.20 C.28 D.36



4. 国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行,比赛规则是:共下 10 局棋,每局胜方得 1 分,负方得 0 分,平局则各得 0.5 分,谁的积分先达到 5.5 分便夺冠,不继续比赛; 若 10 局棋下完双方积分相同,则继续下,直到分出胜负为止.下完 8 局时,甲 4 胜 1 平. 若以前 8 局棋取胜的频率为各自取胜的概率,那么在后面的两局棋中,甲夺冠的 概率是( A.
1 2

) B.
5 8 a b

C.

45 64

D.

49 64

5.一个三角形的三边长分别为 a、a、b,另一个三角形的三边长分别为 a、b、b,其中 a>b.若两个三角形的最小内角相等,则
3 ?1 2 5 ?1 2

的值等于(
3?2 2


5 ?1 2

A.

B.

C.

D.

6.如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠DBC=45°, 翻折梯形 ABCD,使点 B 重合于点 D, 折痕分别交边 AB、BC 于点 E、F.若 AD=2,BC=8,则∠CDE 的正切值等于( ) A.
3 5

B.

4 5
2

C.

3 4

D.

4 3

7.△ABC 的三边长为 a,b,c,若 a ? a ? 2 ?b ? c ?, a ? 2 b ? 2 c ? 3 , 则这个三角形的最长一边是 ( A. a B. b ) C. c
-1第6题

D .不能确定

8.将一个正方形分割成 n 个( n >1)小正方形, 则在下列数据中,不可能是 n 值的是 ( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 9

二、填空题: 9.小华、小亮、小红 3 位同学分别发出新年贺卡 x、y、z 张,如果已知 x、y、z 的最小 公倍数是 60;x、y 的最大公约数是 4;y、z 的最大公约数是 3,已知小华至少发出 5 张贺卡,那么小华发出的新年贺卡是 张. 10.某中学举行运动会,以年级为单位参加,设跳高、跳远和 100 米赛跑三项,各项均 取前三名,第一名可得 5 分,第二名可得 3 分,第三名可得 1 分,已知七年级和八年 级总分相等,并列第一名,且八年级进入前三名的人数是七年级的两倍,那么九年级 的总分是 分. 11.正整数 n 使 n ? 4 与 7 n ? 2 被 3 除的余数相同, 且它们是两个不超过 100 的不同的
2

正整数,则这样的 n 有

个. .

12.函数 y ? x ( x ? 1)( x ? 2 )( x ? 3 ) 的最小值为

13.某旅游团根据以下约定条件,从 a,b,c,d,e 五个风景点选择旅游点:⑴若去 a,则 也必须去 b;⑵d、e 两点至少去一个;⑶b、c 两点只去一个;⑷c、d 两点或都去, 或都不去;⑸若去 e,则 a、d 两点也必须去,则该 旅游团必去的景点是 .

14.在平面直角坐标系中,有四个点:A(-8,3) ,B(-4,5) ,C(0,n) D m, , , ( 0) 当四边形 ABCD 的周长最短时,m、n 的值依次是 三、解答题 15.若 m 为整数,在使 m2+m+4 为完全平方数的所有 m 的值中,设其最大值为 a,最小 值为 b,次小值为 c. (1)求 a、b、c 的值; (2)对 a、b、c 进行如下操作:任取两个数求其和再除以
2 2

.

,同时求其差再除以

,加上剩下的一个数,这样就仍得到三个数.再对所得三个数进行如上操作,问能

否经过若干次上述操作,得到 2005,2006,2007?证明你的结论.

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16.妈妈给小敏 100 元钱买花装饰圣诞树. 花店的花成束出售,规格与价格如下: 花束规格 每束花朵数 价格(元/束) A 20 4 B 35 6 C 50 9

为了使买到的花的朵数最多,请你给小敏提建议:每种规格的花买几束.

17.直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,DA⊥AB,AB=26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动 点 P 和 Q,点 P 在 CD 上,由 D 向 C 以每秒 1cm 的速度移动,点 Q 在 AB 上由 B 向 A 以每秒 3cm 的速度移动.问时间 t 经过几秒时: P ①BCPQ 为平行四边形?等腰梯形? C D · ②PQ 与以 AD 为直径的圆 O 相切?相离?相交?

A

Q ·

B

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18.现将连续自然数 1 至 2009 按图中的方式排列成一个如图(1)的长方形队列,再用如 图(2)正方形任意框出 16 个数. 1 8 15 22 · · · 1996 2003 2 9 16 23 · · · 1997 2004 3 10 17 24 · · · 1998 2005 4 11 18 25 · · · 1999 2006
图(1)

5 12 19 26 · · · 2000 2007

6 7 13 14 20 21 27 28 · · · · · · 2001 2002 2008 2009

图(2)

(1)设任意一个这样的正方形框中的最小数为 n ,请用 n 的代数式表示该框中的 16 个数,然后填入右表中相应的空格处,并求出这 16 个数中的最小数和最大数,然 后填入右表中相应的空格处,并求出这 16 个数的和.(用 n 的代数式表示) (2)计算出该长方形队列中,共可框出多少个这样不同的正方形框. (3)在图中,要使一个正方形框出的 16 个数之和和分别等于 832、2000、2008 是否可能?若不可能,请说明理由;若可能,请求出该正方形框出的 16 个数中的最 小数和最大数.

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