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3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 问题提出 cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin ?sin ? 1.两角差的余弦公式是什么?它有哪些 基本变式? cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin( ? ? ? )sin ? cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin( ? ? ? )sin ? (cos a + cos b )2 + (sin a + sin b )2 - 2 cos(a - b ) = 2 2 ? [(cos? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ] cos(? ? ? ) ? 2 2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 些问题,但范围太窄,我们希望在此基 础上获取一系列有应用价值的公式,实 现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式,自然想得到 两角差的正弦、正切公式,以及两角和 的正弦、余弦、正切公式,对此,我们 将逐个进行探究,让希望成为现实. 探究(一):两角和与差的基本三角公式 思考1:注意到α +β =α ―(―β ),结 合两角差的余弦公式及诱导公式, cos(α +β )等于什么? cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 思考2:上述公式就是两角和的余弦公式, C( 记作 ,该公式有什么特点?如何 a+ b) 记忆? 思考3: p 诱导公式 sin( ? a ) 2 cosa 可以实 现由正弦到余弦的转化,结合 C ( a + b ) 和 C ( a - b ) 你能推导出sin(α +β ), sin(α -β )分别等于什么吗? sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ 思考4:上述公式就是两角和与差的正 S ( a - b ) ,这两 弦公式,分别记作 S ( a + b ) , 个公式有什么特点?如何记忆? 思考5:正切函数与正弦、余弦函数之间 C ( a ± b ) 出发, 存在商数关系,从 S ( a ± b ) 、 tan(α +β )、tan(α -β )分别与tanα 、 tanβ 有什么关系 t an a + t an b t an(a + b ) = , 1 - t an a t an b t an a - t an b t an(a - b ) = . 1 + t an a t an b 思考6:上述公式就是两角和与差的正切 T ( a + b ) ,这两 公式,分别记作 T ( a - b ), 个公式有什么特点?如何记忆?公式成 立的条件是什么? 思考7:为方便起见,公式S ( a + b ) , C ( a + b ) , T ( a + b ) 称为和角公式,公式S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 式的逻辑联系? C (α -β ) T (α -β ) S (α -β ) S (α +β ) C (α +β ) T (α +β ) 探究(二):两角和与差三角公式的变通 思考1:若cosα+cosβ=a,sinα-sinβ= b,则cos(α+β)等于什么? a 2 + b2 - 2 cos(a + b ) = 2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ

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