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2013届高考数学一轮复习课件:第八讲 一次函数、二次函数、幂函数0人教A版湖北文科


第二模块 函数

(必修 1:第一章 第二章

函数概念;

基本初等函数(Ⅰ) ;第三章 函数的应用)

第八讲 一次函数、二次函数、幂函数

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1.二次函数的性质与图像
y=ax2+bx+c(a≠0) (1)函数

叫做二次函数, 它的定义

域是 R.

(2)二次函数有如下性质 ①函数的图像是 一条抛物线
2 ? b 4ac-b ? ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

,抛物线顶点的坐标是

b ,抛物线的对称轴是 x=-2a



b ②当 a>0 时,抛物线开口 向上 ,函数在 x=- 处取 2a
最小 值
? ? b? b? ?-∞,- ? f?-2a? 2a?上是减函数,在 ? ? ;在区间 ?

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

上是增函数;

b x=- 2a 处取 ③当 a<0 时,抛物线开口 向下 ,函数在
? b? f?-2a? ? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ?

最大值

;在区间

上是增函数,在

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? 上是减函数;

④与 y 轴的交点是 (0,c) ; ⑤当 Δ=b2-4ac>0 时,与 x 轴两交点的横坐标 x1,x2 分别是方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根;当 Δ=0 时,与 x
? ? b ?- ,0? ? 2a ?

轴切于一点

;当 Δ<0 时,与 x 轴 没有交点 ;

⑥当 b≠0 时, 是非奇非偶函数, b=0 时, 偶函数; 当 是 ⑦对于函数 f(x),若对任意自变量 x 的值,都有 f(a+x) =f(a-x),则 f(x)的图像关于直线 x=a 对称.

2.常用幂函数的图像与性质
函数 特征 性质 定义域 (-∞,0)∪ R R R [0,+∞) (0,+∞) 值域 奇偶性 R 奇 [0, +∞) 偶 (-∞,0)∪ R 奇 [0,+∞) (0,+∞) 非奇非偶 奇 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

函数 特征 性质 单调性 增 x∈[0,+∞) 时,增 x∈(-∞,0] 时, 减 特殊点 (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) 增 增 x∈(0,+∞) 时, 减 x∈(-∞,0) 时, 减 y=x y=x
2

y=x

3

1 y=x 2

y=x

-1

(1,1)
(0,0) (1,1)

(0,0)

思考感悟 二次函数会为奇函数吗? 提示 不会为奇函数.

考点陪练

1.(2011· 潍坊二检)已知 m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m +1,y3)都在二次函数 y=x2-2x 的图像上,则( A.y1<y2<y3 C.y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 )

解析 由题意知二次函数 y=x2-2x 在[1,+∞)上单调 递增,又 1<m-1<m<m+1,所以 y1=f(m-1)<y2=f(m)<y3 =f(m+1),故选 A.
答案 A

2.已知函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x) 在区间(-5,-3)上( A.先减后增 C.单调递减 ) B.先增后减 D.单调递增

解析 当 m=1 时,f(x)=2x+3 不是偶函数;当 m≠1 时,f(x)为一元二次函数,要使其为偶函数,则其对称轴应为 y 轴,故需 m=0,此时 f(x)=-x2+3,其图像的开口向下, 所以函数 f(x)在(-5,-3)上单调递增.
答案 D

3.已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是 增函数,则 f(1)的范围是( A.f(1)≥25 C.f(1)≤25
答案 A

) B.f(1)=25 D.f(1)>25

4.已知当 m∈R 时,函数 f(x)=m(x2-1)+x-a 的图像 和 x 轴恒有公共点,则实数 a 的取值范围________.
答案 m=0 时,a∈R;m≠0 时,a∈[-1,1]

1 5.设 a∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xa 的定义域为 R, 2 且为奇函数的所有 a 值为( A.1,3 C.-1,3 ) B.-1,1 D.-1,1,3

解析 在函数 y=x-1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函 数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故 a=1,3.
答案 A

1 2

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类型一 解题准备

二次函数图像和性质的应用 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一

b 条抛物线,对称轴方程为 x=- ,顶点坐标是 2a
2 ? b 4ac-b ? ? ? . - , ? 2a 4a ? ? ?

(1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时,图像与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|=|x1 Δ -x2|= . |a| (2)二次函数的图像与性质是历年高考的热点内容,今后 仍是高考命题的热点,选择题、填空题、解答题三种题型中 都有可能出现.

【典例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)= -1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数. [分析] 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)

两点,且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式 解题.

[解]

解法一:利用二次函数一般式.

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ?4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 2 ?4ac-b ? 4a =8, ? ?a=-4, ? 解得?b=4, ?c=7, ?

∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7.

解法二:利用二次函数顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = ,∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值 y=8,

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? 1 ?2 ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1,解得 ? ? ? 1 ?2 ∴f(x)=-4?x-2? +8=-4x2+4x+7. ? ?

a=-4.

解法三:利用两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a 解得 a=-4,或 a=0(舍). ∴所求函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

类型二

二次函数在特定区间上的最值问题 1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小

解题准备

值,它只能在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得. 2.二次函数在闭区间上的最值讨论:当 a>0 时,f(x) 1 在区间[p,q]上的最大值为 M,最小值为 m,令 x0= (p+q). 2

b (1)若- <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a
? b? b (2)若 p≤- <x0,则 f?-2a?=m,f(q)=M; 2a ? ? ? b? b (3)若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f?-2a?=m; 2a ? ?

b (4)若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m. 2a 当 a<0 时, f(x)在[p, q]上的最大值与上述最小值讨论一 致,而最小值类似上述最大值讨论.

3. 解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学 思想,有利于培养学生综合分析问题的能力.

【典例 2】 已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值. [分析] 作出函数图像,因对称轴 x=a 位置不定,故分 类讨论对称轴位置以确定 f(x)在[0,1]上的单调情况.

[解]

当对称轴 x=a<0 时,如图①所示.

当 x=0 时,y 有最大值,ymax=f(0)=1-a. 所以 1-a=2,即 a=-1,且满足 a<0, 所以 a=-1.

当 0≤a≤1 时,如图②所示.即当 x=a 时,y 有最大值, ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1. ∴a2-a+1=2, 1± 5 解得 a= . 2 1± 5 ∵0≤a≤1,∴a= 舍去. 2

当 a>1,如图③所示. 即当 x=1 时,y 有最大值, ymax=f(1)=2a-a=2,∴a=2, 且满足 a>1, ∴a=2. 综上可知 a 的值为-1 或 2.

[探究] 已知 f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最 小值为 h(t),写出 h(t)的表达式. [分析] 所求二次函数解析式固定, 区间变动, 可考虑区 间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的 单调性求函数在区间上的最值.

[解]

3 如图所示,∵函数图像的对称轴为 x=- , 2

3 5 (1)当 t+1≤- ,即 t≤- 时, 2 2 h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 即 h(t)=t
2

? 5? +5t-1?t≤-2?. ? ?

3 5 3 (2)当 t≤- <t+1,即- <t≤- 时, 2 2 2
? 3? 29 ?- ?=- . h(t)=f 2 4 ? ?

3 (3)当 t>- 时,h(t)=f(t)=t2+3t-5. 2
? 5? ?2 ?t +5t-1,?t≤- ?, 2? ? ? ? 29 ? 5 3? 综上可得 h(t)=?- 4 ,?-2<t≤-2?, ? ? ? ? ?2 3? ?t +3t-5,?t>-2?. ? ? ?

[评析]

二次函数区间最值主要有三种类型:轴定区间

定,轴定区间动和轴动区间定. 一般来说,讨论二次函数在闭区间上的最值,主要是看 区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而应用单调性 求最值.

类型三

二次函数根的分布问题 一元二次方程的根常有以下几种可能,设实

解题准备

系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0). ?Δ=b2-4ac>0, ? ?x +x =-b>0, 2 a (1)方程有两个不等正根?? 1 ? c ?x1x2= >0. a ?

?Δ=b2-4ac>0, ? ?x +x =-b<0, a (2)方程有两个不等负根?? 1 2 ? c ?x1x2= >0. a ? ?Δ=b2-4ac>0, ? (3)方程有一正根一负根?? c ?x1x2=a<0. ?

(4)二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题, 一般情况下需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函 b 数值的正负;③对称轴 x=- 与区间端点的关系. 2a

【典例 3】 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数 m 的取值范围. [分析] 本题涉及二次方程根的分布问题, 很容易联想到 根与系数的关系,可根据韦达定理去解决.

[解]

(1)当 m=0 时,f(x)=-3x+1,直线与 x 轴的交点

?1 ? 为?3,0?,在原点右侧,符合题意. ? ?

(2)当 m≠0 时,因为 f(0)=1,所以抛物线过点(0,1). 若 m<0,f(x)的开口向下,如图①所示. 二次函数图像与 x 轴的两个交点必然是一个在原点右 侧,一个在原点左侧.

若 m>0,f(x)的开口向上,如图②所示.

要使交点在原点右侧,当且仅当 ?Δ=?m-3?2-4m≥0, ? ?3-m ? >0, 2m ? ?m>0, ?
?m≤1,或m≥9, ? 解得? ?0<m<3, ?

即 0<m≤1.

综上所述,所求 m 的取值范围是(-∞,1].

类型四 解题准备

幂函数的图像和性质应用 幂函数性质的推广.

(1)一般地,当 α>0 时,幂函数 y=xα 有下列性质: ①图像都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大; ③在第一象限内,α>1 时,图像是向下凹的;0<α<1 时, 图像是向上凸的; ④在第一象限内,过(1,1)点后,图像向右上方无限伸展.

(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 有下列性质: ①图像都通过点(1,1) ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图像是向 下凹的; ③在第一象限内, 图像向上与 y 轴无限地接近, 向右与 x 轴无限地接近; ④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图像下落的速 度越快.

【典例 4】 已知幂函数 y=x

m2-2m-3

(m∈N*)的图像关于
- m 3

y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1) -2a)
- m 3

<(3

的 a 的取值范围.

[解]

∵函数在(0,+∞)上单调递减,

∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又∵函数图像关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3 是偶数. 而 22-2×2-3=-3 为奇数, 12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1.

∵y=x



1 3

在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,
- 1 3

且当 x<0 时,x ∴(a+1)
- 1 3

<0;x>0 时,x
- 1 3



1 3

>0,

<(3-2a)

等价于 a+1>3-2a>0,或 3

-2a<a+1<0,或 a+1<0<3-2a, 2 3 解得 a<-1,或 <a< . 3 2 故a
? 2 3? ? ? ?a|a<-1,或 <a< ?. 的取值范围为? 3 2? ? ?

名师纠错· 补漏洞

错源一

力求先化简,不盲目用判别式法

x2+x-2 【典例 1】 求函数 y= 2 的值域. x -1

x2+x-2 [错解] 因为 y= 2 (x≠± 1), x -1 所以 yx2-y=x2+x-2, 即(y-1)x2-x-y+2=0. 当 y-1=0,即 y=1 时,由②得 x=1(舍去),





所以 y≠1;当 y-1≠0,即 y≠1 时,Δ=1-4(y-1)(-y +2)≥0,得(2y-3)2≥0,则 y∈R. 综上得原函数的值域为{y|y≠1,且 y∈R}.

x2+x-2 3 3 [剖析] 事实上, y= , 当 即 2 = 时, 解得 x=1, 2 2 x -1 3 而当 x=1 时原函数没有意义,故 y≠ .错误的原因在于当 x 2 =1 时,(y-1)x2-x-y+2=0,所以 x=1 是方程②的根,但 它不属于原函数的定义域,所以方程②与方程①不同解,故 x2+x-2 函数 y= 2 不能转化为二次方程, 用二次方程的理论行 x -1 不通.

[正解]

?x+2??x-1? x+2 原函数可化为 y= = (x≠± 1), ?x-1??x+1? x+1

1 即 y=1+ (x≠± 1), x+1 1 3 因为 ≠0,所以 y≠1,且 y≠ . 2 x+1
? 3? ? ? ?y|y≠1,且y≠ ?. 故原函数的值域为? 2? ? ?

错源二

忽视幂函数中幂指数 α=0 已知幂函数 y=x
n2-2n-3

【典例 2】

的图像与 x,y 轴都

没有公共点且关于 y 轴对称,求整数 n 的值. [错解] 因为函数 y=x 共点, 所以 n2-2n-3<0,解得-1<n<3. 因为 n 是整数,所以 n=0,1,2, 又因为函数图像关于 y 轴对称, 所以 n2-2n-3 是偶数,所以 n=1.
n2-2n-3

的图像与 x,y 轴都没有公

[剖析] 错解之所以出错, 是因为没有将 α=0 考虑在内.
[正解] 因为函数 y=x
n2-2n-3

的图像与 x,y 轴都没有公

共点,所以 n2-2n-3≤0, 解得-1≤n≤3. 又 n 是整数,所以 n=-1,0,1,2,3, 又因为函数图像关于 y 轴对称, 所以 n2-2n-3 是偶数,所以 n=-1,1,3.

[评析] 对于幂函数 y=xα 而言,α 可以大于零也可以小 于零,同时 α 也可以等于零.α=0 时,幂函数变形为 y= 1(x≠0),其图像是一条直线(少一个点),如图.

错源三

混淆幂函数与指数函数的性质 比较 0.80.5,0.80.9,0.90.5,0.9
-0.5

【典例 3】

的大小.

[错解] 由指数函数单调性可得 1>0.80.5>0.80.9,0.90.5 <1<0.9
-0.5

,所以 0.80.9<0.80.5<0.90.5<1<0.9

-0.5

.

[剖析] 错解混淆了指数函数的性质且没有比较 0.80.5 与 0.90.5 的大小.

[正解]

因为 y=x0.5 在(0, +∞)上单调递增, 0.8<0.9, 且

所以 0.80.5<0.90.5. 作出函数 y=x0.5 与 y=x 0.90.5<0.9
- -0.5

在第一象限内的图像,易知

0.5

. 由 指 数 函 数 y = 0.8x 为 单 调 减 函 数 可 知

0.80.5>0.80.9. 故 0.80.9<0.80.5<0.90.5<0.9-0.5.

[评析] 对于幂大小的比较, 指数函数与幂函数都可以利 用,虽然二者形式差不多,但图像和性质差别很大,在解题 中应特别注意这些差别,这是非常容易忽视而导致出错的地 方.

名师技法· 练智力

技法一

快速解题(数形结合法) 函数 f(x)=x2+ax+5,且 f(x)=f(-4-x)

【典例 1】

对于任意的 x∈R 都成立,当 x∈[m,0]时,f(x)max=5,f(x)min =1,求实数 m 的取值范围.

[快解] 由 f(x)=x2+ax+5,且 f(x)=f(-4-x),易知对称 a 轴为 x=- =-2,得 a=4. 2 ∴f(x)=x2 +4x+5=(x+2)2 +1,如图所示为-4≤m≤-2.

[另解切入点] 由 f(x)=f(-4-x)知函数 f(x)的图像的对 a 称轴为 x=- =-2,则 a=4,f(x)=x2+4x+5. 2 [分析思维过程] 当 f(x)的对称轴为 x=-2 时,就能求 出 f(x)min=f(-2)=1,这与题设一致,其最大值为 5.由对称 性可知,应有两个不同的 x 的值,使 f(x)=5,从而可得 m.

[解]

∵f(x)=f(-x-4),

∴f(x)的图像关于直线 x=-2 对称. a 由 f(x)=x +ax+5,可知- =-2,得 a=4. 2
2

∴f(x)=x2+4x+5=(x+2)2+1. f(x)min=f(-2)=1,故-2∈[m,0],即 m≤-2. 又 f(0)=5=f(x)max,f(m)=m2+4m+5≤5, 得-4≤m≤0, ∴-4≤m≤-2.

[方法与技巧] 两种解法都要先求解析式, 由其最大值与 最小值以确定 m,相比之下,数形结合法较好. [得分主要步骤] 由条件得知对称轴为 x=-2,从而 a =4 得出解析式,再由最大值与最小值确定 m 的范围,或由 图像直接看出 m 的范围.

[易丢分原因] 将 f(x)=f(-x-4)变 f(x+2)=f(2-x), 容 易看出 x=2 是对称轴. 前一形式可能某些同学不够熟悉而不 理解,则无法正确推算下去.还可能求出解析式后,也画出 了图像, 但看图时找不准 m 的位置, 从而确定不准 m 的范围.

技法二

构造一次函数解题

【典例 2】 对任意 a∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4- 2a 的值总大于零,求 x 的取值范围.

[解]

因为 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x2-4x

+4),构造函数 g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),a∈[-1,1], 于是, 函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值总大于零等价 于 g(a)>0(a∈[-1,1])恒成立,所以
?g?-1?=-?x-2?+?x2-4x+4?>0, ? ? ?g?1?=?x-2?+?x2-4x+4?>0. ?

解得 x>3,或 x<1.故 x 的取值范围是 x>3,或 x<1.

技法三

构造二次函数解题 已知关于 x 的方程 x2-(2m-8)· x+m2-16

【典例 3】

3 =0 的两个实数根 x1, 2 满足 x1< <x2, x 求实数 m 的取值范围. 2

[解]

构造二次函数 y=x2-(2m-8)x+m2-16,

因为方程 x2-(2m-8)x+m2-16=0 的两个实数根 x1,
?3? ?3? 3 3 ? ?<0, ? ?2-(2m-8)× +m2-16<0, x2 满足 x1< <x2, 所以 f 2 即2 2 2 ? ? ? ?

1 7 即 4m -12m-7<0,解得- <m< ,故 m 的取值范围是 2 2
2

? 1 7? ? ? ?m|- <m< ?. 2 2? ? ? ?


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