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2013届高考数学一轮复习课件:第八讲 一次函数、二次函数、幂函数0人教A版湖北文科


第二模块 函数

(必修 1:第一章 第二章

函数概念;

基本初等函数(Ⅰ) ;第三章 函数的应用)

第八讲 一次函数、二次函数、幂函数

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1.二次函数的性质与图像
y=ax2+bx+c(a≠0) (1)函数

叫做二次函数, 它的定义

域是 R.

(2)二次函数有如下性质 ①函数的图像是 一条抛物线
2 ? b 4ac-b ? ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

,抛物线顶点的坐标是

b ,抛物线的对称轴是 x=-2a



b ②当 a>0 时,抛物线开口 向上 ,函数在 x=- 处取 2a
最小 值
? ? b? b? ?-∞,- ? f?-2a? 2a?上是减函数,在 ? ? ;在区间 ?

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

上是增函数;

b x=- 2a 处取 ③当 a<0 时,抛物线开口 向下 ,函数在
? b? f?-2a? ? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ?

最大值

;在区间

上是增函数,在

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? 上是减函数;

④与 y 轴的交点是 (0,c) ; ⑤当 Δ=b2-4ac>0 时,与 x 轴两交点的横坐标 x1,x2 分别是方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根;当 Δ=0 时,与 x
? ? b ?- ,0? ? 2a ?

轴切于一点

;当 Δ<0 时,与 x 轴 没有交点 ;

⑥当 b≠0 时, 是非奇非偶函数, b=0 时, 偶函数; 当 是 ⑦对于函数 f(x),若对任意自变量 x 的值,都有 f(a+x) =f(a-x),则 f(x)的图像关于直线 x=a 对称.

2.常用幂函数的图像与性质
函数 特征 性质 定义域 (-∞,0)∪ R R R [0,+∞) (0,+∞) 值域 奇偶性 R 奇 [0, +∞) 偶 (-∞,0)∪ R 奇 [0,+∞) (0,+∞) 非奇非偶 奇 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

函数 特征 性质 单调性 增 x∈[0,+∞) 时,增 x∈(-∞,0] 时, 减 特殊点 (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) 增 增 x∈(0,+∞) 时, 减 x∈(-∞,0) 时, 减 y=x y=x
2

y=x

3

1 y=x 2

y=x

-1

(1,1)
(0,0) (1,1)

(0,0)

思考感悟 二次函数会为奇函数吗? 提示 不会为奇函数.

考点陪练

1.(2011· 潍坊二检)已知 m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m +1,y3)都在二次函数 y=x2-2x 的图像上,则( A.y1<y2<y3 C.y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 )

解析 由题意知二次函数 y=x2-2x 在[1,+∞)上单调 递增,又 1<m-1<m<m+1,所以 y1=f(m-1)<y2=f(m)<y3 =f(m+1),故选 A.
答案 A

2.已知函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x) 在区间(-5,-3)上( A.先减后增 C.单调递减 ) B.先增后减 D.单调递增

解析 当 m=1 时,f(x)=2x+3 不是偶函数;当 m≠1 时,f(x)为一元二次函数,要使其为偶函数,则其对称轴应为 y 轴,故需 m=0,此时 f(x)=-x2+3,其图像的开口向下, 所以函数 f(x)在(-5,-3)上单调递增.
答案 D

3.已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是 增函数,则 f(1)的范围是( A.f(1)≥25 C.f(1)≤25
答案 A

) B.f(1)=25 D.f(1)>25

4.已知当 m∈R 时,函数 f(x)=m(x2-1)+x-a 的图像 和 x 轴恒有公共点,则实数 a 的取值范围________.
答案 m=0 时,a∈R;m≠0 时,a∈[-1,1]

1 5.设 a∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xa 的定义域为 R, 2 且为奇函数的所有 a 值为( A.1,3 C.-1,3 ) B.-1,1 D.-1,1,3

解析 在函数 y=x-1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函 数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故 a=1,3.
答案 A

1 2

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类型一 解题准备

二次函数图像和性质的应用 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一

b 条抛物线,对称轴方程为 x=- ,顶点坐标是 2a
2 ? b 4ac-b ? ? ? . - , ? 2a 4a ? ? ?

(1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时,图像与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|=|x1 Δ -x2|= . |a| (2)二次函数的图像与性质是历年高考的热点内容,今后 仍是高考命题的热点,选择题、填空题、解答题三种题型中 都有可能出现.

【典例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)= -1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数. [分析] 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)

两点,且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式 解题.

[解]

解法一:利用二次函数一般式.

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ?4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 2 ?4ac-b ? 4a =8, ? ?a=-4, ? 解得?b=4, ?c=7, ?

∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7.

解法二:利用二次函数顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = ,∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值 y=8,

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? 1 ?2 ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1,解得 ? ? ? 1 ?2 ∴f(x)=-4?x-2? +8=-4x2+4x+7. ? ?

a=-4.

解法三:利用两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a 解得 a=-4,或 a=0(舍). ∴所求函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

类型二

二次函数在特定区间上的最值问题 1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小

解题准备

值,它只能在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得. 2.二次函数在闭区间上的最值讨论:当 a>0 时,f(x) 1 在区间[p,q]上的最大值为 M,最小值为 m,令 x0= (p+q). 2

b (1)若- <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a
? b? b (2)若 p≤- <x0,则 f?-2a?=m,f(q)=M; 2a ? ? ? b? b (3)若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f?-2a?=m; 2a ? ?

b (4)若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m. 2a 当 a<0 时, f(x)在[p, q]上的最大值与上述最小值讨论一 致,而最小值类似上述最大值讨论.

3. 解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学 思想,有利于培养学生综合分析问题的能力.

【典例 2】 已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值. [分析] 作出函数图像,因对称轴 x=a 位置不定,故分 类讨论对称轴位置以确定 f(x)在[0,1]上的单调情况.

[解]

当对称轴 x=a<0 时,如图①所示.

当 x=0 时,y 有最大值,ymax=f(0)=1-a. 所以 1-a=2,即 a=-1,且满足 a<0, 所以 a=-1.

当 0≤a≤1 时,如图②所示.即当 x=a 时,y 有最大值, ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1. ∴a2-a+1=2, 1± 5 解得 a= . 2 1± 5 ∵0≤a≤1,∴a= 舍去. 2

当 a>1,如图③所示. 即当 x=1 时,y 有最大值, ymax=f(1)=2a-a=2,∴a=2, 且满足 a>1, ∴a=2. 综上可知 a 的值为-1 或 2.

[探究] 已知 f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最 小值为 h(t),写出 h(t)的表达式. [分析] 所求二次函数解析式固定, 区间变动, 可考虑区 间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的 单调性求函数在区间上的最值.

[解]

3 如图所示,∵函数图像的对称轴为 x=- , 2

3 5 (1)当 t+1≤- ,即 t≤- 时, 2 2 h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 即 h(t)=t
2

? 5? +5t-1?t≤-2?. ? ?

3 5 3 (2)当 t≤- <t+1,即- <t≤- 时, 2 2 2
? 3? 29 ?- ?=- . h(t)=f 2 4 ? ?

3 (3)当 t>- 时,h(t)=f(t)=t2+3t-5. 2
? 5? ?2 ?t +5t-1,?t≤- ?, 2? ? ? ? 29 ? 5 3? 综上可得 h(t)=?- 4 ,?-2<t≤-2?, ? ? ? ? ?2 3? ?t +3t-5,?t>-2?. ? ? ?

[评析]

二次函数区间最值主要有三种类型:轴定区间

定,轴定区间动和轴动区间定. 一般来说,讨论二次函数在闭区间上的最值,主要是看 区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而应用单调性 求最值.

类型三

二次函数根的分布问题 一元二次方程的根常有以下几种可能,设实

解题准备

系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0). ?Δ=b2-4ac>0, ? ?x +x =-b>0, 2 a (1)方程有两个不等正根?? 1 ? c ?x1x2= >0. a ?

?Δ=b2-4ac>0, ? ?x +x =-b<0, a (2)方程有两个不等负根?? 1 2 ? c ?x1x2= >0. a ? ?Δ=b2-4ac>0, ? (3)方程有一正根一负根?? c ?x1x2=a<0. ?

(4)二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题, 一般情况下需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函 b 数值的正负;③对称轴 x=- 与区间端点的关系. 2a

【典例 3】 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数 m 的取值范围. [分析] 本题涉及二次方程根的分布问题, 很容易联想到 根与系数的关系,可根据韦达定理去解决.

[解]

(1)当 m=0 时,f(x)=-3x+1,直线与 x 轴的交点

?1 ? 为?3,0?,在原点右侧,符合题意. ? ?

(2)当 m≠0 时,因为 f(0)=1,所以抛物线过点(0,1). 若 m<0,f(x)的开口向下,如图①所示. 二次函数图像与 x 轴的两个交点必然是一个在原点右 侧,一个在原点左侧.

若 m>0,f(x)的开口向上,如图②所示.

要使交点在原点右侧,当且仅当 ?Δ=?m-3?2-4m≥0, ? ?3-m ? >0, 2m ? ?m>0, ?
?m≤1,或m≥9, ? 解得? ?0<m<3, ?

即 0<m≤1.

综上所述,所求 m 的取值范围是(-∞,1].

类型四 解题准备

幂函数的图像和性质应用 幂函数性质的推广.

(1)一般地,当 α>0 时,幂函数 y=xα 有下列性质: ①图像都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大; ③在第一象限内,α>1 时,图像是向下凹的;0<α<1 时, 图像是向上凸的; ④在第一象限内,过(1,1)点后,图像向右上方无限伸展.

(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 有下列性质: ①图像都通过点(1,1) ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图像是向 下凹的; ③在第一象限内, 图像向上与 y 轴无限地接近, 向右与 x 轴无限地接近; ④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图像下落的速 度越快.

【典例 4】 已知幂函数 y=x

m2-2m-3

(m∈N*)的图像关于
- m 3

y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1) -2a)
- m 3

<(3

的 a 的取值范围.

[解]

∵函数在(0,+∞)上单调递减,

∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又∵函数图像关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3 是偶数. 而 22-2×2-3=-3 为奇数, 12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1.

∵y=x



1 3

在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,
- 1 3

且当 x<0 时,x ∴(a+1)
- 1 3

<0;x>0 时,x
- 1 3



1 3

>0,

<(3-2a)

等价于 a+1>3-2a>0,或 3

-2a<a+1<0,或 a+1<0<3-2a, 2 3 解得 a<-1,或 <a< . 3 2 故a
? 2 3? ? ? ?a|a<-1,或 <a< ?. 的取值范围为? 3 2? ? ?

名师纠错· 补漏洞

错源一

力求先化简,不盲目用判别式法

x2+x-2 【典例 1】 求函数 y= 2 的值域. x -1

x2+x-2 [错解] 因为 y= 2 (x≠± 1), x -1 所以 yx2-y=x2+x-2, 即(y-1)x2-x-y+2=0. 当 y-1=0,即 y=1 时,由②得 x=1(舍去),