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3.2.1古典概型(教、学案)


3.2.1 古典概型
【教学目标】 1.能说出古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每 个基本事件出现的可能性相等; 2.会应用古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

3.会叙述求古典概型的步骤; 【教学重难点】 教学重点:正确理解掌握古典概型及其概率公式 教学难点:会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 【教学过程】 前置测评 1.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件,事件之间 的运算包括和事件、积事件,这些概念的含义分别如何? 21 世纪教育网 若事件 A 发生时事件 B 一定发生,则 . 若事件 A 发生时事件 B 一定发生,反之亦然,则 A=B.若事件 A 与事件 B 不同时发 生,则 A 与 B 互斥.若事件 A 与事件 B 有且只有一个发生,则 A 与 B 相互对立. 2 。概率的加法公式是什么?对立事件的概率有什么关系? 若事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B). 若事件 A 与事件 B 相互对立,则 P(A)+P(B)=1. 3.通过试验和观察的方法,可以得到一些事件的概率估计,但这种方法耗时多,操作不方便, 并且有些事件是难以组织试验的.因此,我们希望在某些特殊条件下,有一个计算事件概率的通用 方法. 新知探究 我们再来分析事件的构成,考察两个试验: (1)掷一枚质地均匀的硬币的试验。 (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验。 有哪几种可能结果? 在试验(1)中结果只有两个,即“正面朝上”或“反面朝上”它们都是随机的;在试验(2) 中所有可能的试验结果只有 6 个,即出现“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”“6 点”它们 也都是随机事件。我们把这类随机事件称为基本事件 综上分析,基本事件有哪两个特征? (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 例 1:从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 分析:为了得到基本事件,我们可以按照某种顺序,把所有可能的结果都列出来。 解:所求的基本事件有 6 个:A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c, d};A+B+C. 上述试验和例 1 的共同特点是: (1)试验中有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等,

这有我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型 思考 1:抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗?

思考 2:抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗? 思考 3:从所有整数中任取一个数的试验中,其基本事件有多少个?无数个 思考 4: 随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 利用基本事件的概率值和概率加法公式, “出现偶数点” 的概率如何计算?“出现不小于 2 点” 的概率如何计算?

思考 5:考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数,与“出现偶数点”、 “出现不小于 2 点” 所包含的基本事件的个数之间的关系,你有什么发现? P(“出现偶数点”)=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数; P(“出现不小于 2 点”)=“出现不小于 2 点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数. 思考 6:一般地,对于古典概型,事件 A 在一次试验中发生的概率如何计算? P(A)=事件 A 所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数 典型例题 例 2 单选题是标准化考试中常用的题型, 一般是从 A, C, 四个选项中选择一个正确答案. B, D 如 果考生掌握了考查的内容, 他可以选择唯一正确的答案, 假设考生不会做, 他随机地选择一个答案, 问他答对的概率是多少? 解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有 4 个:选择 A、选择 B、选择 C、选择 D,即 基本事件共有 4 个,考生随机地选择一个答案是指选择 A,B,C,D 的可能性是相等的。 由古典概型的概率计算公式得 P(“答对”)=1/4=0.25 点评:在 4 个答案中随机地选一个符合了古典概型的特点。 变式训练:在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从 A,B,C,D 四个选项中选 出所有的正确答案, 同学们可能有一种感觉, 如果不知道正确答案, 多选题更难猜对, 这是为什么?

例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解:(1)掷一个骰子的结果有 6 种。把两个骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号投骰子的每 一个结果都可与 2 号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个 骰子的结果共有 36 种。 (2)在上面的所有结果中,向上点数和为 5 的结果有如下 4 种 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) (3)由古典概型概率计算公式得 P(“向上点数之和为 5”)=4/36=1/9 点评:通过本题理解掷两颗骰子共有 36 种结果

变式训练:一枚骰子抛两次,第一次的点数记为 m ,第二次的点数记为 n ,计算 m-n<2 的概率。

例 4 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,?,9 十个数字中的任意 一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码, 问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的 概率是多少? 解: 一个密码相当于一个基本事件, 总共有 10000 个基本事件, 它们分别是 0000,0001,0002, ? 9998,9999。 随机地试密码, 相当于试到任何一个密码的可能性都时相等的, 所以这是一个古典概型。 事件“试一次密码就能取到钱”有一个基本事件构成,即由正确的密码构成。所以 P(“试一次密码就能取到钱”)=1/10000 点评:这是一个小概率事件在实际生活中的应用。 变式训练:在所有首位不为 0 的八位电话号码中,任取一个号码。求:头两位数码都是 8 的概 率。

例 5 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,质检人员依次不放回从某箱中随机抽出 2 听,求检测出不合格产品的概率. 解:合格的 4 听分别记作:1,2,3,4,不合格的 2 听分别记作:a.,b,只要检测的 2 听有 1 听不合 格的,就表示查处了不合格产品。 依次不放回的取 2 听饮料共有如下 30 个基本事件: (1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1), (3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2), (a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a) P(“含有不合格产品”)=18/30=0.6 点评:本题的关键是对依次不放回抽取总共列多少基本事件的考查。 变式训练: 一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的 概率: (1) 标签的选取是无放回的: (2) 标签的选取是有放回的:

归纳小结 1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件,且这些事件彼此互斥.试验中的事件 A 可以 是基本事件,也可以是有几个基本事件组合而成的. 2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式 P(A)=事件 A 所包含的基本 事件的个数÷基本事件的总数,只对古典概型适用

反馈测评 1.在 20 瓶饮料中, 2 瓶已过了保质期, 有 从中任取 1 瓶, 取到已过保质期的饮料的概率是多少?

2.在夏令营的 7 名成员中,有 3 名同学已去过北京。从这 7 名同学中任取两名同学,选出的这两 名同学恰是已去过北京的概率是多少?

3.5 本不同的语文书,4 本不同的数学书,从中任意取出 2 本,取出的书恰好都是数学书的概率 为多少?

〖板书设计〗
一、古典概型的特点 1 2 二古典概型的定义

三、公式

例 1???

随堂练习

四、求古典概型概 率的步骤、

探究

例 2???

〖书面作业〗 课本 P134,A 组 4,5,6

B组2

3.2.1 古典概型
课前预习学案 一、预习目标: 通过实例,初步理解古典概型及其概率计算公式 二、预习内容: 1、知识回顾: (1)随机事件的概念 ①必然事件:每一次试验 ②不可能事件:任何一次试验 ③随机事件:随机试验的每一种 (2)事件的关系

的事件,叫必然事件; 的事件,叫不可能事件; 或随机现象的每一种 叫的随机事件,简称为事件.

①如果 A ? B 为不可能事件(A ? B ? ? ), 那么称事件 A 与事件 B 互斥. 其含意是: 事件 A 与事件 B 在任何一次实验中 件.其含意是: 事件 A 与事件 B 在任何一次实验中 同时发生. 发生. ②如果 A ? B 为不可能事件,且 A ? B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事 2. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件,就称作基本事件. 0 基本事件的两个特点: 1 .任何两个基本事件是 的; 0 2 .任何一个事件(除不可能事件)都可以 . 例 如 (1) 试 验 ② 中 , 随 机 事 件 “ 出 现 偶 数 点 ” 可 表 示 为 基 本 事 件 的和. (2) 从字母 a, b, c, d 中, 任意取出两个不同字母的这一试验中, 所有的基本事件是: 3. 古典概型的定义 ,共有 个基本事件.

古典概型有两个特征: 10.试验中所有可能出现的基本事件 ; 0 2 .各基本事件的出现是 ,即它们发生的概率相同. 将具有这两个特征的概率模型称为古典概型(classical models of probability). 4.古典概型的概率公式, 设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m个 基本事件,则事件 A 的概率 P(A)定义为:

例如 随机事件 A =“出现偶数点”包含有 基本事件.所以 P( A) ?

?

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标: 1. 通过实例,叙述古典概型定义及其概率计算公式; 2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 二、学习内容 1.古典概型的定义 思考 1:抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗?

思考 2:抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗? 思考 3:从所有整数中任取一个数的试验中,其基本事件有多少个?无数个

结论:如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性),且每个基本事 件出现的可能性相等(等可能性),则具有这两个特点的概率模型称为古典概型. 2. 古典概型的概率计算公式 思考 4: 随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗?每个基本事件出现的概率是多少?你能根 据古典概型和基本事件的概念,检验你的结论的正确性吗? P(“1 点”)= P(“2 点”)= P(“3 点”)= P(“4 点”)=P(“5 点”)= P(“6 点”) P(“1 点”)+P(“2 点”)+ P(“3 点”)+ P(“4 点”)+P(“5 点”)+ P(“6 点”)=1. 思考 5:一般地,如果一个古典概型共有 n 个基本事件,那么每个基本事件在一次试验 中发生的概率为多少?

思考 6:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,利用基本事件的概率值和概率加法公式,“出现偶数 点”的概率如何计算?“出现不小于 2 点” 的概率如何计算?

思考 7:考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数,与“出现偶数点”、“出现不小于 2 点”所包含的基本事件的个数之间的关系,你有什么发现? P(“出现偶数点”)=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数; P(“出现不小于 2 点”)=“出现不小于 2 点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数. 思考 8:一般地,对于古典概型,事件 A 在一次试验中发生的概率如何计算? 3.典型例题

例 2 单选题是标准化考试中常用的题型, 一般是从 A, C, 四个选项中选择一个正确答案. B, D 如 果考生掌握了考查的内容, 他可以选择唯一正确的答案, 假设考生不会做, 他随机地选择一个答案, 问他答对的概率是多少?

例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少?

例 4 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,?,9 十个数字中的任意 一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码, 问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的 概率是多少?

例 5 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,质检人员依次不放回从某箱中随机抽出 2 听,求检测出不合格产品的概率.

三、反思总结 1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件,且这些事件彼此互斥.试验中的事件 A 可以 是基本事件,也可以是有几个基本事件组合而成的. 2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点,概率计算公式 P(A)=事件 A 所包含的基本事 件的个数÷基本事件的总数,只对古典概型适用 四、当堂检测 1.在 20 瓶饮料中, 2 瓶已过了保质期, 有 从中任取 1 瓶, 取到已过保质期的饮料的概率是多少?

2.在夏令营的 7 名成员中,有 3 名同学已去过北京。从这 7 名同学中任取两名同学,选出的这两 名同学恰是已去过北京的概率是多少?

3.5 本不同的语文书,4 本不同的数学书,从中任意取出 2 本,取出的书恰好都是数学书的概率 为多少?

课后练习与提高 1. 从 一 副 扑 克 牌 (54 是 张 ) 中 抽 一 张 牌 , 抽 到 牌 “ K ” 的 概 率 。

2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是



3.一个口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中摸出 2 个球,则 1 个是白球,1 个是黑球的概率是 。

4.先后抛 3 枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为



5.口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从 中摸出一球,试求“第二个人摸到白球”的概率。

6.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽三次,写出所有的基本事件, 并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色; (2)三次颜色全相同;

(3)三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。 7 .从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续 取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概

参考答案: 1、答案:

4 2 ? 54 27

2、答案:

2 1 ? 4 2

3、答案:

4 2 ? 6 3

4、答案:

7 8

从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果数为 24,第二人摸到白球的结果有 12 种, 记“第二个人摸到白球”为事件 A,则 P ( A) ?

12 1 ? 。 24 2

6、答案:(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)(红白白)(白红白)(白白 红)(白白白) (1)

3 4

(2)

1 4

(3)

1 2

7、解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件 有 6 个,即(a1,a2)和,(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b2,a2)。 其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表 示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)]事件 A 由 4 个基本事件组成,因而, P(A)=

4 2 = 6 3


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