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函数与方程思想在数学归纳法证明有关数列的不等式中的应用


中学教学参考
解题方法与技巧

函数与方程思想在数学归纳法证明 有关数列的不等式中的应用
江苏镇江中学( 212017)
在很多有关数 列的不等 式中, 题目 给出了 数列{ an } 的相邻项 an+ 1 与 an 的递 推关系, 要证 明 an 在 某个 范围 内. 这 类问 题若用 数学 归纳法 证明, 则由递 推关系 所得

ak + 1 关于 ak 的代 数式, 可以 把 ak + 1 看 成是 关 于 ak 的函 数, 归纳假设 ak 中的范围 可以看作 是函数 的定 义域, 这 样就可以用函数与方程 的思想 来求 ak+ 1 的范围, 从而证 得结论. 例1 ( 1) 证明: 已知数列{ an } 满足 a1 = 1, an+ 1 an - 1= an . 2n- 1 an 3n- 2;
2

陆建根
2k- 1, 3k- 2 ] ( k N+ ) 上

后, 先判 断函数 f ( x) 在[

是增函数, 得函数的值 域为[ f (

2k- 1) , f (

3k- 2) ] , 3k- 2) , 定义 x n+ 1 2| = 1 n. 2

要证明 n= k+ 1 时命题成立, 就只要证明 f ( 3k+ 1, f ( 例2 = 1+ x n2k- 1) 设 1< x 1 < 2, 对于 n= 1, 2, 3, 1 2 x , 求证: 对 于 n 2 n 3, 有 | x n -

2k+ 1, 目标明确, 操作简单.

( 1985 年加拿大数学奥林匹克试题) 证明: ( 1) 当 n= 3 时, 由 x 2 = 1+ x 1 < 2 得: 1< x 2 < 3 , 2 11 3 1 1 2 x 得: < x 3 < , 所以 2 - 3 8 2 2 2 2 1 2 x 1 及 1< x 1 2

( 2) 求整数 m, 使| a2005 - m| 最 小. ( 2005 年河北省高 中数学竞赛试题) 证明: ( 1) 当 n= 1 时, 命题显然成立. 1, k N+ ) 时 命 题 成 立, 即 假设当 n = k ( k 2k- 1 ak 3k- 2, 2k+ 1 3k+ 1. 2k- 1 x 3k- 2, ak+ 1

又 x 3 = 1+ x 2 < x 3 < 2+ 1 3 , 2

要证 n = k+ 1 时 命题 成 立, 即 证 3k+ 1, 也即证 2k+ 1 ak + 1 , x 1 ak

即| x 3 - 2| <

1 , 命题成立. 23 3, k N+ ) 时命 题成立, 即 2-

构造函 数 f ( x ) = x + k N+ , 因为 f ( x) = x + 所以 f ( x ) 在[ f( 2k- 1) 而f(
2

( 2) 假设当 n= k( k 1 1 < x k < 2+ k , 2k 2

1 在[ 1, + x 2k- 1 , f(

) 上为增函数, 3) .

则 n= k+ 1 时, 即证 2-

1 2
k+ 1

< x k + 1 < 2+

1 2
k+ 1

(k

3k- 2 ] 上为 增函数, 所以

f (x) 3k- 2 ) =

3k- 2) , 3k- 2 + 1 = 3k- 2 3k- 1 = 3k- 2

设 f ( x) = 1+ x -

1 2 1 1 x , 2- k < x< 2 + k , 2 2 2 1 3 ( x - 1) 2 + 在( 22 2

由图象知 函 数 f ( x ) = 1 1 k , 2+ k ) 上是单调减函数, 2 2 f ( x ) < f ( 2-

9k - 6k+ 1 3k- 2 3k+ 1, f ( 2k- 1 ) =

9k - 3k- 2 = 3k- 2

2

( 3k- 2) ( 3k+ 1) = 3k- 2

1 1 1 1 ) = 1+ 2 - k ( 2- k ) 2 2k 2 2 2 2+ 1 1 - 2k+ 1 < 2 + k 2 ( 2 + 1) 2

2k- 1 +

1 = 2k- 1

2k > 2k- 1

= 2+

- 1+ 2 1 - 2k+ 1 = k 2 2

4k 2 - 1 = 2k- 1 由

2k+ 1, 即 n= k+ 1 时命题成立. 可知 2n- 1 an 1 , x 3n- 2.

1 1 1 < 2+ 2k + 1 , 22k + 1 22k+ 1 2 f ( x ) > f ( 2+ 1 2k)= 2 2- 1 1 - 2k+ 1 , k 2 2 2- 1 1 - 2k+ 1 > 2k 2

( 2) 解略. 在构造函 数 f ( x ) = x + 2k- 1 x 3k- 2

要证 n= k+ 1 时成 立, 只要 证 2 -

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中学教学参考( 上旬) 2010. 5 总第 49 期

ZHONGXUE JIAOXUE CANKAO

2-

1 1 1 3 1 , 即证 > 2- 1 + k + 1 , 即 - k + 1 > 2 , k 2k+ 1 2 2 2 2 n= k+ 1 时命题成立. 由( 1) ( 2) 知原命题成立.

3

解题方法与技巧 由 x n+ 1 与 x n 的递推关系式, 构造函数 f ( x )后, 若不
能直 接判 断函数 的单 调性, 可 以运用 配方、 求导等 方法 来判 断, 从 而明确 要证 明的不 等式, 然后运 用综合 法或 分析法加以证明. 例4 ak + 1 = ak + 设 数 列 a0 , a1 , a2 , 1 2 a , k= 0, 1, 2, n k , an , 满 足 a0 = 1 ,且 2

时上式成立,

从上述证明 可以 看出, 在得 到函 数 f ( x ) 的值 域为 1 1 1 [ f ( 2 + k ) , f ( 2 - k ) ] 后, 只要 证 明 f ( 2 + k ) > 2 2 2 1 2 - k+ 1 , f ( 2- k ) > 2 2 1 2+ 2
k + 1 即可. 若直接 证明 有困

1

, n- 1, 其中 n 是 某个固定

难, 可以运用分析法来加以证明. 例3 数 列 { x n } 中, x 1 = 1, x n+ 1 = x n xn (n 6
3

的正整数, 求证: 1-

1 < an < 1. ( 1980 年芬 兰、 国、 英 德 n

国、 匈牙利、 瑞典五国数学奥林匹克试题) 证明: 先证 n+ 1 n < ak < , k= 0, 1, 2, 2n- k+ 2 2n- k , n.

N+ ) , 证明: 0< x n 问题 1778)

3 . ( 数学通 报 2009 年 2 月号 n+ 2

( 1) a1 = a0 +

1 2 1 1 n+ 1 n a = + , < a1 < , n 0 2 4n 2n+ 1 2n- 1 n+ 1 < am < 2n- m+ 2

证明: ( 1 ) 当 n= 1 时, 0 < x 1 = 1 立. ( 2) 假设当 n= k( k xk 3 , k+ 2 1, k

3 , 命 题成 n+ 2

当k= 1 时, 命题成立. ( 2) 假设当 k= m 时命 题成 立, 即 n , 2n- m 则 k= m+ 1 时, am+ 1 = am + 1 2 am, n

N+ ) 时 命题成 立, 即 0<

要证 n= k+ 1 时命题 成立, 即证 0< x k + 1 即 0< x k x3 k 6 3 , k+ 3 x3 , 0< x 6 3 , k+ 2

3 , k+ 3 (

设 f (x)= x+

1 2 n+ 1 n x , < x< , f ( x) 在 n 2n- m+ 2 2n- m

n+ 1 n , ) 上是单调增函数. 2n- m+ 2 2n- m f (x) < f ( n n ) = + 2n- m 2n- m 1 n ( )2 = n 2n- m

构造函数 f ( x) = x 2

由 f ( x) = 1f ( x ) 在[ 3 k+ 2 1, f ( x ) 在( 0, f (x ) 2k+ 3 2k+ 4 3 , k+ 2 f (

x > 0, 得- 2< x < 2, 2 2, 2 ] 上 是单调 增函 数, 而 k 1 时,

n( 2n- m+ 1) , ( 2n- m) 2 要证 f ( x ) < n , 2n- m- 1 n n( 2n- m+ 1) , 即证 < 2n- ( m+ 1) ( 2n- m) 2

3 ] 上是单调增函数, k+ 2 3 )= k+ 2 3 1 ( k+ 2 6 3 3 ) = k+ 2

即( 2n- m) - 1< ( 2n- m) , 显然成立. f ( x) > f ( ( n+ 1 n+ 1 ) = + 2n- m+ 2 2n- m+ 2 1 n

2

2

n+ 1 n+ 1 n+ 1 2 ) = + 2n- m+ 2 2n- m+ 1 ( 2n- m+ 1) ( 2n- m+ 2)
2

显然, 要证 n = k+ 1 时 命 题 成立, 只 要 证 3 k+ 2 27 3 , k+ 2

2k+ 3 2k+ 4

( n+ 1) n( 2n- m+ 2) 2 [

=

n+ 1 2n- ( m+ 1) + 2

+

n+ 1 2n- m+ 2 k= m

n+ 1 1 n+ 1 ]> , n( 2n- m+ 2) 2n- m+ 1 2n- ( m+ 1) + 2

+ 1 时, 命题成立. ( 2k+ 4) 2 ( k+ 2) , 也即 45k+ n= k+ 1 时命题成立. 对 k= 0, 1, 2, n+ 1 n < an < < 1. n+ 2 n ( 责任编辑 金 铃) , n, 命题成立, 取 k= n 得 11 < n

即证( 2k+ 3) 2 ( k+ 3) 48k+ 32, 此不等式显然成立, 由( 1) ( 2) 知, n

N+ 时命题成立.

81
E -mail: zxjxcklk@ 163. com


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