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归纳法 由一系列有限 的特殊事例得出 的一般结论的推理方法。 数学归纳法:

1) 先证取第一个值 n0 时结论成立; 2) 假设 n = k ( k∈N+, 且 k≥ n0 ) 时 结论正确,证明当 n = k+1 时结论 也正确. 3)总结1),2)两步,下结论 1)是递推的基础; 2)是递推的依据.

两者缺一不可!

1 1 1 13 ? ??? ? 例1 (1)用数学归纳法证: n ?1 n ? 2 2n 24 (n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到 “n=k+1”时,不等式左边的变化是 D ( ): 1 1 1 ( A) ? ; ( B) ? ? ; 2(k ? 1) 2k ? 1 2k ? 2 1 1 (C ) ? ? ; 2k ? 2 k ? 1
1 1 1 ( D) ? ? ? . 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

1 1 1 1 例1 (2)用数学归纳法证:1 ? ? ? ? ? n ? n 2 3 4 2 ?1 (n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到 “n=k+1”时,左式所需添加的项为 C ( ): B 2k ?1 项 A1项

C 2k 项

D 2k ? 1 项

例2:用数学归纳法证明(n∈N+):
1+2+22 + … +2n-1 = 2n -1.

证:1) 当n=1时,左=1=右.等式成立. 2) 假设 n = k 时等式成立.即 : 1+2+22 + … +2k-1 =2k -1. 则当n = k+1时 , 2+ … 1 +2k-1+2(k+1)-1 1 ? 2 k ?1 1+2+2 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2k ? ? 2k ? ? 2 k ?1 ? 1 k -1=2 = (2k-1)+2k = 2?21 ? 2 k+1 -1 . 即:n=k+1时,等式也成立. ∴由1)、2)可知,当n∈N+时等式都成立.

例3求证an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除 (其中a>0,且a≠1)。 证明 (1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1 能被a2+a+1整除,即n=1时,命题成立。 (2)假设n=k时,ak+1+(a+1)2k-1 能被a2+a+1 整除,那么当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1 =a·k+1+(a+1)2(a+1)2k-1 a =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1 =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1

由归纳假设知,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1 整除。 故ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除。
由(1)、(2)可知,命题对任n∈N均成立。

注意:关键是通过“添项减项” 将原有形式转化为便于利用归纳 假设的形式.这是利用数学归纳 法证明题,特别是证整除问题的 常用技巧

例4 用数学归纳法证明 n 1 1 1 1 ?) (1) 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? n ? ? n (n ? N 2 2 3 2 2
1 1 1 (2) 1 ? ? ??? ?2 n 2 3 n

( n ? N ?)

例5 是否存在常数a、b、c使得下面 等式 成立

1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) 2 ? (an ? bn ? c) 12
2 2

2

注意: 存在性问题,一般都要通过 “观察---归纳—猜想---证明”的过程


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