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3.2 导数的应用(一)练习题


§3.2 导数的应用(一)
一、选择题 1.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 解析 设切点坐标为(x0,x2),则切线斜率为 2x0, 0 由 2x0=2 得 x0=1,故切线方程为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0. 答案 D 1 2.函数 y=4x2+ 的单调增区间为( ).

r />
B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0

x

). ?1 ? B.? ,+∞? 2 ? ? 1? ? D.?-∞,- ? 2? ?

A.(0,+∞) C.(-∞,-1)

1 1 1 1 解析 由 y=4x2+ 得 y′=8x- 2,令 y′>0,即 8x- 2>0,解得 x> , x x x 2 1 ?1 ? ∴函数 y=4x2+ 在? ,+∞?上递增. x ?2 ? 答案 B 3.已知 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所 示,则( )

A.f(x)在 x=1 处取得极小值 B.f(x)在 x=1 处取得极大值 C.f(x)是 R 上的增函数 D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数 解析:由图象易知 f′(x)≥0 在 R 上恒成立,所以 f(x)在 R 上是增函数. 答案:C 4.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为( A.e B.-e C. 1 e ). D.- 1 e

解析 设(x0,ln x0)是曲线 y=ln x 与直线 y=kx 的切点, 1 1 由 y′= 知 y′|x=x0=

x

x0

由已知条件: 答案 C

ln x0

x0

1 1 = ,解得 x0=e,k= . x0 e

1 5.函数 f(x)=ax3+bx 在 x= 处有极值,则 ab 的值为(

a

)

A.2

C.3 D.-3 ?1? ?1?2 2 解析 f′(x)=3ax +b,由 f′? ?=3a? ? +b=0,可得 ab=-3.故选 D. ?a? ?a? 答案 D 6.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) ?x-1≤0, 或? ?f′? x? ≤0. ).

B.-2

?x-1≥0, 解析 不等式(x-1)f′(x)≥0 等价于? ?f′? x? ≥0

可知 f(x)在(-∞,1)上递减,(1,+∞)上递增,或者 f(x)为常数函数,因此

f(0)+f(2)≥2f(1).
答案 C 7.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x +4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) ). B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

解析 设 g(x)=f(x)-2x-4,由已知 g′(x)=f′(x)-2>0, 则 g(x)在(-∞,+∞)上递增,又 g(-1)=f(-1)-2=0, 由 g(x)=f(x)-2x-4>0,知 x>-1. 答案 B 二、填空题 1 8.设函数 f(x)=x(ex+1)+ x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 2

1 2 x 解析:因为 f(x)=x(e +1)+ x , 2 所以 f′(x)=ex+1+xex+x=(ex+1)·(x+1). 令 f′(x)>0,即(ex+1)(x+1)>0,解得 x>-1. 所以函数 f(x)的单调增区间为(-1,+∞). 答案:(-1,+∞) 9.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 解析 f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,当 x∈(-∞,0)时, f′(x)>0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当 x=2 时 f(x) 取极小值. 答案 2 10.若曲线 f(x)=ax5+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 解析 ∵f′(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞),

x

1 ∴由题意知 5ax4+ =0 在(0,+∞)上有解.

x

即 a=-

1 在(0,+∞)上有解. 5x5 1 ∈(-∞,0).∴a∈(-∞,0). 5x5

∵x∈(0,+∞),∴- 答案 (-∞,0)

11.函数 f(x)=x ax-x2(a>0)的单调递减区间是________. 解析 由 ax-x2≥0(a>0)解得 0≤x≤a,即函数 f(x)的定义域为[0,a],f′(x) 3a? ? -2x?x- ? 4? 3ax-4x 3a ? = = ,由 f′(x)<0 解得 x≥ ,因此 f(x)的单调递减区间 2 2 4 2 ax-x ax-x
2

?3a ? 是? ,a?. ?4 ? ?3a ? 答案 ? ,a? ?4 ? 12.已知函数 f(x)=x2(x-a). 若 f(x)在(2,3)上单调则实数 a 的范围是________;

若 f(x)在(2,3)上不单调,则实数 a 的范围是________. 2a? ? 解析 由 f(x)=x3-ax2 得 f′(x)=3x2-2ax=3x?x- ?. 3? ?

?23a≠0, ? 若 f(x)在(2,3)上不单调,则有? 2a ?2< 3 <3, ?
9? ?9 ? ? 答案 (-∞,3 ]∪? ,+∞?,?3, ? 2? ?2 ? ? 三、解答题

9 解得:3<a< . 2

1 13. 已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. 解析 (1)因为函数 f(x)=ax2+blnx, 所以 f′(x)=2ax+ . 1 又函数 f(x)在 x=1 处有极值 , 2

b x

?f′? 所以? ?f? 1?

1?

=0, 1 = . 2

?2a+b=0, 即? 1 ?a=2,

?a=1, 2 解得? ?b=-1.

1 1 (2)由(1)可知 f(x)= x2 -lnx ,其定义域是(0,+∞),且 f′(x)= x - = 2 x ? x+1? ? x-1? .

x

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ? 极小值 ? 所以函数 y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞). 14.已知 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.

x

令 f′(x)>0,得 ex>a, 当 a≤0 时,有 f′(x)>0 在 R 上恒成立; 当 a>0 时,有 x≥ln a. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞). (2)由(1)知 f′(x)=ex-a. ∵f(x)在 R 上单调递增,∴f′(x)=ex-a≥0 恒成立, 即 a≤ex,x∈R 恒成立. ∵x∈R 时,e ∈(0,+∞),∴a≤0. 即 a 的取值范围为(-∞,0]. 15.已知函数 f(x)=x3-ax-1 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a, f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在, 使 求出 a 的取值范围; 若不存在试说明理由. 解析 (1)f′(x)=3x2-a 由 Δ ≤0,即 12a≤0,解得 a≤0, 因此当 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增时,a 的取值范围是(-∞,0]. (2)若 f(x)在(-1,1)上单调递减, 则对于任意 x∈(-1,1)不等式 f′(x)=3x2-a≤0 恒成立 即 a≥3x2,又 x∈(-1,1),则 3x2<3 因此 a≥3 函数 f(x)在(-1,1)上单调递减,实数 a 的取值范围是[3,+∞). 16.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的
x

m? ? t∈[1,2],函数 g(x)=x3+x2?f′? x? + ?在区间(t,3)上总不是单调函数,求
? 2?

m 的取值范围.
解析 (1)根据题意知,f′(x)=

a? 1-x? (x>0), x

当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞);

当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1];当 a=0 时,f(x)不是单调函数. (2)∵f′(2)=- =1,∴a=-2, 2 ∴f(x)=-2ln x+2x-3. ?m ? ∴g(x)=x3+? +2?x2-2x, ?2 ? ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=-2, ?g′? ∴? ?g′?

a

t? <0,
3? >0.

由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

?g′? ∴?g′? ?g′?

1? 2? 3?

<0, <0, >0, ∴-

37 <m<-9. 3

【点评】 利用导数解决函数的单调性、 最值、 极值等问题时, 主要分以下几步: , 第一步:确定函数的定义域; 第二步:求函数 f? 第三步:求方程 f′? 第四步: 利用 f′?

x? 的导数 f′? x? ; x? =0 的根;

x? =0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺序将定义域分成

若干个小开区间,并列出表格; 第五步:由 f′? 性; 第六步:明确规范表述结论.

x? 在小开区间内的正、负值判断 f? x? 在小开区间内的单调


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