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北师大版数学(理)提升作业:2.3函数的奇偶性与周期性(含答案)


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课时提升作业(六)
一、选择题 1.(2013·九江模拟)在下列函数中,图像关于原点对称的是( (A)y=xsinx (C)y=xlnx (B)y= (D)y=x3+sinx )

2.(20

13· 西安模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对任意给 定的不等实数 x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为 ( (A)(1,+∞) (C)(-∞,0) (B)(0,+∞) (D)(-∞,1) )

3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成 立的是 ( (A)f(x)+|g(x)|是偶函数 (B)f(x)-|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|+g(x)是偶函数 (D)|f(x)|- g(x)是奇函数 4.已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx,设 )

a=f( ),b=f( ), c=f( ),则( (A)c<a<b ) (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<b<a

5.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( (A)-3 ) (B)-1 (C)1 (D)3 ,则该函数是( )

6.(2013·吉安模拟)已知函数 f(x)= (A)偶函数,且单调递增 (C)奇函数,且单调递增

(B)偶函数,且单调递减 (D)奇函数,且单调递减

7.若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是递减的,则不等式 f(-1)<f(lgx)的解集 是( ) (B)( ,10) (D)(0, )∪(10,+∞)

(A)(0,10) (C)( ,+∞)

8. 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 已 知 x ∈ (0,1) 时,f(x)=lo (1-x),则函数 f(x)在(1,2)上( (A)是递增的,且 f(x)<0 (B)是递增的,且 f(x)>0 (C)是递减的,且 f(x)<0 (D)是递减的,且 f(x)>0 9.(2013· 咸阳模拟)函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(3+x)=f(3-x), 当 x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当 x∈(-6,-3)时,f(x)等于( (A)2x+6 (B)-2x-6 (C)2x-6 ) )

(D)-2x+6

10.(能力挑战题)设 f(x)是连续的偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增加 的或减少的,则满足 f(x)=f( (A)-3 (B)3 )的所有 x 之和为( (C)-8 ) (D)8

二、填空题 11.函数 f(x)= 为奇函数,则 a= .

12.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f(f(5)) = .

13.(2012 · 上 海 高 考 ) 已 知 y=f(x)+x2 是 奇 函 数 , 且 f(1)=1, 若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)= .

14.(能力挑战题)函数 y=f(x)(x∈R)有下列命题: ①在同一坐标系中,y=f(x+1)与 y=f(-x+1)的图像关于直线 x=1 对称; ②若 f(2-x)=f(x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称; ③若 f(x-1)=f(x+1),则函数 y=f(x)是周期函数,且 2 是一个周期; ④若 f(2-x) =-f(x),则函数 y=f(x)的图像关于(1,0)对称,其中正确命 题的序号是 三、解答题 15.已知函数 f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值. (1)求实数 a 的取值范围. (2)设 g(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=f(x),求 g(x)的 解析式. .

答案解析
1.【解析】选 D.对于 A,B,函数是偶函数, 对于 C,函数既不是奇函数,也不是偶函数, 对于 D,函数是奇函数,因而图像关于原点对称. 2.【解析】选 D.由题意知,函数 f(x)在 R 上是减函数且 f(0)=0,从而 f(1-x)<0 可转化为 1-x>0, ?x<1. 3.【解析】选 A.≧g(x)是 R 上的奇函数,?|g(x)|是 R 上的偶函数,从 而 f(x)+|g(x)|是偶函数. 4.【解析】选 A.a=f( )=f(- )=-f( )=-lg =lg , b=f( )=f(- )=-f( )=-lg =lg2, c=f( )=f( )=lg , ≧2> > ,?lg2>lg >lg , ?b>a>c. 5.【解析】选 A.因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2× 0+b=0, 解 得 b=-1, 所 以 当 x ≥ 0 时 ,f(x)=2x+2x-1, 所 以

f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选 A. 6.【解析】选 C.当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=2-x-1=-(1-2-x)=-f(x);当 x<0 时 ,-x>0, 则 f(-x)=1-2x=-(2x-1)=-f(x); 当 x=0 时 ,f(x)=0. 综 上 知 f(-x)=-f(x),函数 f(x)是奇函数,且 f(x)是增函数,故选 C. 7.【解析】选 D.因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|). 因为 f(x)在 (-≦,0)上是减少的, 所以 f(x)在(0,+≦)上是增加的. 由 f(-1)<f(lgx), 故|lgx|>1,即 lgx>1 或 lgx<-1, 解得 x>10 或 0<x< . 8.【思路点拨】根据 f(x)是周期为 2 的偶函数,把 x∈(1,2)转化到 2-x ∈(0,1)上,再利用 f(2-x)=f(x)求解. 【 解 析 】 选 D. 由 题 意 得 当 x ∈ (1,2)

时,0<2-x<1,0<x-1<1,f(x)=f(-x)=f(2-x)= lo [1-(2-x)]=lo (x-1)>lo 1=0,则可知当 f(x)在(1,2)上是递减的. 9.【解析】选 D.由函数 f(x)是奇函数知 f(3+x)=-f(x-3), ?f(x+6)=-f(x). 设 x∈(-6,-3),则 x+6∈(0,3), ?f(x+6)=-f(x)=2x+6, ?f(x)=-2x+6. 10.【解析】选 C.因为 f(x)是连续的偶函数,f(x)在(0,+≦)上是增加

的或减少的 , 由偶函数的性质可知若 f(x)=f( x= ;②x+ =0,

), 只有两种情况 : ①

由①知 x2+3x-3=0,故两根之和为 x 1+x2=-3, 由②知 x2+5x+3=0,故其两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 11.【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数, ?a=-1. 答案:-1 12.【解析】≧f(x+2)= , ?f(x+4)= =f(x),

?f(5)=f(1)=-5, ?f(f(5))=f(-5)=f(3)= 答案:13. 【思路点拨】 先利用奇函数条件求出 f(x)与 f(-x)的关系,从而 f(1) 与 f(-1)的关系可求,即 f(-1)可求,再求 g(-1). 【解析】≧y=f(x)+x2 是奇函数,?f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2], ?f(x)+f(-x)+2x2=0,?f(1)+f(-1)+2=0,≧f(1)=1, ?f(-1)=-3. ≧g(x)=f(x)+2, ?g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 答案:-1 14.【解析】对于①,y=f(x+1)的图像由 y=f(x)的图像向左平移 1 个单 =- .

位得到,y=f(-x+1)的图像,由 y=f(-x)的图像向右平移 1 个单位得到, 而 y=f(x)与 y=f(-x)关于 y 轴对称,从而 y=f(x+1)与 y=f(-x+1)的图像 关于直线 x=0 对称,故①错; 对于②,由 f(2-x)=f(x)将 x 换为 x+1 可得 f(1-x)=f(1+x),从而②正确; 对于③, 由 f(x-1)=f(x+1)将 x 换为 x+1 可得,f(x+2)=f( x),从而③正 确. 对于④,由 f(2-x)=-f(x)同上可得 f(1-x)=-f(1+x),从而④正确. 答案:②③④ 【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个 函 数 y=f(x+1) 与 y=f(-x+1) 的 图 像 关 系 与 一 个 函 数 y=f(x) 满 足 f(x+1)=f(-x+1)时图像的对称关系. 【变式备选】设 f(x)是(-≦,+≦)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),下面 关于 f(x)的判定:其中正确命题的序号为 ①f(4)=0; ②f(x)是以 4 为周期的函数; ③f(x)的图像关于 x=1 对称; ④f(x)的图像关于 x=2 对称. 【解析】≧f(x+2)=-f(x), ?f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4), 即 f(x)的周期为 4,②正确. ?f(4)=f(0)=0(≧f(x)为奇函数),即①正确. 又≧f(x+2)=-f(x)=f(-x), .

?f(x)的图像关于 x=1 对称,?③正确, 又≧f(1)=-f(3),当 f(1)≠0 时,显然 f(x)的图像不关于 x=2 对称,?④ 错误. 答案:①②③ 15.【解析】(1)f(x)= 要使函数 f(x)有最小值,需 即当 a∈[-2,2]时,f(x)有最小值. (2)≧g(x)为定义在 R 上的奇函数,?g(0)=0, 设 x>0,则-x<0, ?g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4, ?g(x)= ?-2≤a≤2,

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