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江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6课函数的奇偶性与周期性课时分层训练


第二章 函数概念与基本初等函数 (Ⅰ) 第 6 课 函数的奇偶性与周期 性课时分层训练
A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1. 在函数 y=xcos x, y=e +x , y=lg x -2, y=xsin x 中, 偶函数的个数是________. 2 函数.] 1+x 2.函数 y=log2 的图象关于________对称.(填序号) 1-x ①原点;②y 轴;③y=-x;④y=x. ① 1+x [由 >0 得-1<x<1, 1-x [y=xcos x 是奇函数,y=lg x -2和 y=xsin x 是偶函数,y=e +x 是非奇非偶
2

x

2

2

x

2

即函数定义域为(-1,1), 1-x 1+x 又 f(-x)=log2 =-log2 =-f(x), 1+x 1-x 1+x ∴函数 y=log2 为奇函数.] 1-x 3.(2016·苏州期中)定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=2 -x ,则 f(-1) +f(0)+f(3)=________. -2 [∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),f(0)=0.
x
2

x

2

又 x>0 时,f(x)=2 -x , ∴f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-2+1+0+8-9=-2.] 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则
2

f(2 019)=________.
-2 [∵f(x+4)=f(x),

∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×1 =-2, 即 f(2 019)=-2.] 5. 函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 【导学号:62172032】 - -x-1 [∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,
1
2

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.] ?x+2??x+a? 6. (2017·安徽蚌埠二模)函数 f(x)= 是奇函数, 则实数 a=________.

x

【导学号:62172033】 -2 [由题意知,g(x)=(x+2)(x+a)为偶函数,

∴a=-2.] 7.(2016·山东高考改编)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x -1;当- 1 ? 1? ? 1? 1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x);当 x> 时,f?x+ ?=f?x- ?,则 f(6)=________. 2 ? 2? ? 2? 2 1 ? 1? ? 1? [由题意知当 x> 时,f?x+ ?=f?x- ?, 2 ? 2? ? 2?
3

则当 x>0 时,f(x+1)=f(x). 又当-1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x), ∴f(6)=f(1)=-f(-1). 又当 x<0 时,f(x)=x -1, ∴f(-1)=-2,∴f(6)=2.] 8. (2016·四川高考)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时, f(x)
3

? 5? x =4 ,则 f?- ?+f(2)=________. ? 2?
-2
1 ? 5? ? 1? ?1? [∵f(x)是周期为 2 的奇函数, ∴f?- ?=f?- ?=-f? ?=-42=-2, f(2)=f(0) ? 2? ? 2? ?2?

? 5? =0,∴f?- ?+f(2)=-2+0=-2.] ? 2?
9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2-a )>f(a), 则实数 a 的取值范围是________. 【导学号:62172034】 (-2,1) [∵f(x)=x +2x=(x+1) -1 在(0,+∞)上单调递增,又 f(x)为 R 上的奇
2 2 2 2

函数,故 f(x)在(-∞,0)上单调递增. ∴f(x)在 R 上是单调递增函数. 又 f(2-a )>f(a)可知 2-a >a,解得-2<a<1.] 10.(2017·泰州中学高三摸底考试)函数 y=1- 和为________. 2 [因为 y= sin x sin x 为奇函数, 其最大值与最小值之和为 0, 因此函数 y=1- 4 2 x +x +1 x +x2+1
4 2 2

sin x (x∈R)的最大值与最小值之 x4+x2+1

(x∈R)的最大值与最小值之和为 2.]
2

二、解答题 11.若 f(x), g(x)是定义在 R 上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x) = 1 ,求 f(x)的表达式. x -x+1
2

[解]

在 f(x) + g(x) =

1 中 用 - x 代 替 x , 得 f( - x) + g( - x) = x -x+1
2

1 , 2 ?-x? -?-x?+1 又 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以-f(x)+g(x)= 1

x2+x+1



1 ? ?f?x?+g?x?=x -x+1, 联立方程? 1 ? ?-f?x?+g?x?=x +x+1,
2 2

1 1 1? x ?= - 2 两式相减得 f(x)= ? 2 ? 4 2 . 2?x -x+1 x +x+1? x +x +1 12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求 f(1)和 f(-1)的值; (2)求 f(x)在[-1,1]上的解析式. 【导学号:62172035】 [解] (1)∵f(x)是周期为 2 的奇函数, ∴f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f(1), ∴f(1)=0,f(-1)=0. (2)由题意知,f(0)=0.当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 由 f(x)是奇函数, 2 2 ∴f(x)=-f(-x)=- -x =- x , 4 +1 4 +1
-x

2 . x 4 +1

x

x

? ? 2 综上,在[-1,1]上,f(x)=? - ,x∈?-1,0?, 4 +1 ? ?0,x∈{-1,0,1}.
2 ,x∈?0,1?, 4 +1
x x x

x

B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数 f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函数,在

3

[0,3]上单调递减,并且 f?-m - ?>f(-m +2m-2),则 m 的取值范围是________. 5? ?
2 2

?

a?

?1- 2,1? [因为函数 f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函数,所以 2-a+3=0,所以 a ? ? 2? ?
=5.所以 f?-m - ?>f(-m +2m-2),即 f(-m -1)>f(-m +2m-2),所以偶函数 f(x) 5? ?
2 2 2 2

?

a?

在 [ - 3,0] 上单调递增,而- m - 1<0 ,- m + 2m - 2 =- (m - 1) - 1<0 ,所以由 f( - m - -3≤-m -1≤0 ? ? 2 2 1)>f(-m +2m-2)得,?-3≤-m +2m-2≤0, ? ?-m2-1>-m2+2m-2
2

2

2

2

2

1 解得 1- 2≤m≤ .] 2

2 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?

-10 [因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,

?3? ? 1? 所以 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2? ?1? ? 1? 且 f(-1)=f(1),故 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2?
1 b+2 2 1 从而 =- a+1, 1 2 +1 2 即 3a+2b=-2. 由 f(-1)=f(1),得-a+1= 即 b=-2a. 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10.] -x +2x,x>0, ? ? 3.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. [解] (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x)为奇函数,
2 2 2



b+2
2

, ②

是奇函数,

4

所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,

f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以 m=2. (2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增. 结合 f(x)的图象(略)知? 所以 1<a≤3, 故实数 a 的取值范围是(1,3]. 4 . (2017· 南 京 模 拟 ) 已 知 f(x) 是 偶 函 数 , 定 义 x≥0 时 , f(x) =
? ?x?3-x?,0≤x≤3, ? ??x-3??a-x?,x>3. ? ? ?a-2>-1, ?a-2≤1, ?

(1)求 f(-2); (2)当 x<-3 时,求 f(x)的解析式; (3)设函数 f(x)在区间[-5,5]上的最大值为 g(a),试求 g(a)的表达式. [解] (1)由题意,得 f(-2)=f(2)=2×(3-2)=2. (2)当 x<-3 时,-x>3,所以 f(x)=f(-x)=(-x-3)(a+x)=-(x+3)(a+x),所 以当 x<-3 时,f(x)的解析式为 f(x)=-(x+3)(a+x). (3)因为 f(x)是偶函数,所以它在区间[-5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大 值. 当 x≥0 时,
?-x +3x,0≤x≤3, ? f(x)=? 2 ?-x +?a+3?x-3a,x>3. ?
2

? 3? ?3 ? ?3? 9 ①当 a≤3 时,f(x)在?0, ?上单调递增,在? ,5?上单调递减,所以 g(a)=f? ?= . 2 2 ? ? ? ? ?2? 4 ? 3? ? 3+a?上单调递增,在?3,3?,?3+a,5?上单调递 ②当 3<a<7 时 ,f(x)在?0, ?,?3, ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?3? 9 ?3+a?=?a-3? 的大小. 减,所以此时只需比较 f? ?= 与 f? ? 4 ?2? 4 ? 2 ?
2 9 ?a-3? ?3? 9 (ⅰ)当 3<a≤6 时, ≥ ,所以 g(a)=f? ?= ; 4 4 ?2? 4 2

9 ?a-3? (ⅱ)当 6<a<7 时, < , 4 4

2

5

所以 g(a)=f?

?3+a?=?a-3? . ? 4 ? 2 ?

2

? 3? [3,5]上单调递增, ?3 ? ?3? 9 ③当 a≥7 时, f(x)在?0, ?, 在? ,3?上单调递减, 且 f? ?= <f(5) 2 2 ? ? ? ? ?2? 4
=2(a-5),所以 g(a)=f(5)=2(a-5).

? ? 综上所述,g(a)=??a-3? ,6<a<7, 4 ? ?2?a-5?,a≥7.
9 ,a≤6, 4
2

6


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