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晋江市养正中学2016届高三第一次月考数学理试题


2016 届高三上学期第一次月考 2015.8. 30
数学试卷(理科)
(范围:集合,简易逻辑,函数,函数与导数;命题:郑明铿,审题:尤琳琪,完卷时间:120 分钟)

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求. 1. 命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2

? 1 ? 0 ”的否定是 ( A. 存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C. 不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2



B.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D. 对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

2. 已知集合 M ? {1, 2} , N ? {b | b ? 2a ? 1, a ? M } ,则 M ? N ? ( A. { 1 } B. { 1, 2 } C. { 1, 2, 3 } ) D. ? 3. 已知 f ( x) ?| log3 x | ,则下列不等式成立的是( A. f ( ) ? f (2)

)

1 2

B. f ( ) ? f (3)
?2

1 3

C. f ( ) ? f ( ) )

1 4

1 3

D. f (2) ? f (3)

4. 设 a ? log2 3 , b ? log0.5 3 , c ? 3 ,则( A. a ? b ? c

B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. c ? b ? a 5. 若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2)] ? 0 ”的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是(

)

A. [ ?1,0] B. ( ?1,0) C. ( ??,0] ? [1, ??) D. ( ??, ?1) ? (0, ??) 6. 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地 表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(? ?)

x
y

1.95 0.97
x

3.00 1.59
C. y ?

3.94 1.98

5.10 2.35
D. y ? 2.61cos x

6.12 2.61

A. y ? 2

B. y ? log 2 x

1 2 ( x ? 1) 2

7. 已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {x | x ? m},若 A ? B ,则实数 m 的取值范围是( A.[2,+∞)
x

)

B.(2,+∞)

C.(-∞,0)
x

D.(-∞,0]

8. 设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程必有一根落在区间(
A.(1, 1.25) 9. B.(1.25, 1.5)
a

) D.不能确定 )

C.(1.5, 2)

在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0),g(x)=logax 的图像可能是(

A

B
1

C

D

10. 定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x)满足f ( x ? 1) ? ? f ( x),且当x ? (0,1] 时单调递增,则(



1 5 3 2 5 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f (?5) 2 3

A. f ( ) ? f (?5) ? f ( )

5 2 1 5 D. f (?5) ? f ( ) ? f ( ) 3 2
B. f ( ) ? f ( ) ? f (?5) )条.

1 3

11.已知曲线 S : y ? 3x ? x 3 及点 P(2,2) ,则过点 P 可向曲线 S 引切线,其切线共有( A.1 B.2 C.3 D .4

12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 可导,且 f ( x) 图像连续,当 x ? 0 时

f ?( x) ? x?1 f ( x) ? 0, 则函数g ( x) ? f ( x) ? x?1 的零点的个数为(
A.1 B.2 C.3 D .4 二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

)

? x 2 ? x, x ? 0 ? x ? 0 是奇函数,则 f (?2) 的值为_________. 13. 已知函数 f ( x) ? ?0, ?? x 2 ? ax, x ? 0 ?
14. 如果对于任意实数 x , x 表示不超过 x 的最大整数, 例如 3.27 ? 3 , 0.6 ? 0 , 那么,[log2

? ?

?

?

? ?

1 ]+[1og21]+[log22] 的值为_________. 3
x

5. 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ② 函 数 F ( x) 是 奇 函 数 ;③ 当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总 有

F ( m)? F ( n ? ) 成立 0 ,其中所有正确命题的序号是
16. 定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,已知 则 y ? f ( x) 的增区间是
.

.

y ? e f ?( x ) 的图像如图所示,

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

2 2 设集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B= {x | ( x ?1)( x ? a ?1) ? 0} , C ? x x ? mx ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

若 A? B ? A, A?C ? C . (Ⅰ)求实数 a 的取值集合; (Ⅱ)求实数 m 的取值集合.

2

18(本小题满分 12 分) 已知命题 P :函数 f ( x) ? log2m ?x ? 1? ? m ? 0, 且m ? 命题 Q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 .
2

? ?

1? ? 是增函数, 2?

(Ⅰ)写出命题 Q 的命题否定 ?Q ;并求出实数 m 的取值范围,使得命题 ? Q 为真命题; (Ⅱ)如果“ P ? Q ” 为真命题, “ P ? Q ”为假命题,求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求实数 m, n 的值; (Ⅱ)若任意的 t ? [?1,1] ,不等式 f (t 2 ? a) ? f (at ? 2) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? 2x ? n 是奇函数. 2 x ?1 ? m

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x? ? x2e?ax ,其中a ? 0 . ( e 是自然对数的底数, e =2.71828?) (I)求 f ?x ? 的单调区间; (II)求 f ?x ? 在 ?1,2? 上的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? be
?x

的图像在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x .( e 是自然对数的底数, e =2.71828?)

(Ⅰ) 求 a, b 的值; (Ⅱ) 若 g ( x) ? m ln x ? e
?x

?

1 2 x ? (m ? 1) x ? 1 (m ? 0) ,求函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 的单调区间. 2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数;

ax2 ? ax 1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围; e f ( x) ? x 1 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) ,求证: g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? . e
(Ⅱ)设 g ( x) ?

3

2016 届高三上学期第一次月考 8.30
数学试卷(理科)答案
ACCCA BBBDB CB -6,-1,②③, (??,2) 三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

2 2 设集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B= {x | ( x ?1)( x ? a ?1) ? 0} , C ? x x ? mx ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

若 A? B ? A, A?C ? C . (Ⅰ)求实数 a 的取值集合; (Ⅱ)求实数 m 的取值集合. 解: (Ⅰ)由已知得 A={1,2} B= {x | ( x ? 1)( x ? a ? 1) ? 0} 由 A ? B ? A ,知 B ? A 显见 B ? ? 当 B 为单元素集合时,只需 a ? 2 ,此时 B={1}满足题意。 当 B 为双元素集合时,只需 a ? 3 ,此时 B={1,2}也满足题意 所以, a ? 2或a ? 3 ,故 a 的取值集合为 {2,3} ?(4 分)
]

(Ⅱ)由 A ? C ? C 得 C ? A 当 C 是空集时, ? ? ? m ? 8 ? 0即? 2 2 ? m ? 2 2
2

当 C 为单元素集合时, ? ? 0, m ? ?2 2 ,此时 C={ 2 }或 C={ ? 2 },不满足题意 当 C 为双元素集合时,C 只能为{1,2},此时 m ? 3 综上 m 的取值集合为 {m|m ? 3或 ? 2 2 ? m ? 2 2} ???(10 分) 18(本小题满分 12 分) 已知命题 P :函数 f ( x) ? log2m ?x ? 1? ? m ? 0, 且m ? 命题 Q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 .
2

? ?

1? ? 是增函数, 2?

(Ⅰ)写出命题 Q 的命题否定 ?Q ;并求出实数 m 的取值范围,使得命题 ? Q 为真命题; (Ⅱ)如果“ P ? Q ” 为真命题, “ P ? Q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.
2 解(Ⅰ) ?Q : ?x0 ? R , x0 ? mx0 ? 1 ? 0 ?????(2 分)

若 ?Q 为真命题,则 ? ? m ? 4 ? 0, 解得: m ? ?2, 或 m ? 2
2

故所求实数 m 的取值范围为: ?? ?,?2? ? ?2,??? ????(4 分) (II)若函数 f ( x) ? log2 m ?x ? 1? 是增函数,则 2m ? 1,? A ? ?m m ?

? ?

1? ? (6 分) 2?

又 ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 为真命题时,由 ? ? m ? 4 ? 0
2 2

m 的取值范围为 B ? ?m ? 2 ? m ? 2? ????(8 分) 由“ P ? Q ” 为真命题, “ P ? Q ”为假命题,故命题 P 、 Q 中有且仅有一个真命题 当 P 真 Q 假时,实数 m 的取值范围为: ?1 ? A ? C R B ? ? ,?? ? ? ??? ?,?2? ? ?2,???? ? ?2,???????(10 分) ?2 ? ? 1? ? 1? 当 P 假 Q 真时,实数 m 的取值范围为: (C R A) ? B ? ? 0, ? ? ?? 2,2? ? ? 0, ? 综上可知实数 m 的取值 ? 2? ? 2? ? 1? 范围: ? 0, ? ? ?2,??? (12 分) ? 2?
4

19. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求实数 m, n 的值; (2)若任意的 t ? [?1,1] ,不等式 f (t 2 ? a) ? f (at ? 2) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? 2x ? n 是奇函数. 2 x ?1 ? m

解:( Ⅰ)∵ f ( x) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,
n ?1 1 ? 2x ? 0 ?n=1.? f ( x) ? m?2 m ? 2 x ?1 1 1? 1? 2 2 ? m ? 2. ???(4 分) 又由f (1) ? f (?1)知 ?? m?4 m ?1 经检验,m=2,n=1?(5 分) 1-2x (2)由(1)知 f(x)= , f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 2+2x+1 又∵f(x)是奇函数,∴ f (t 2 ? a) ? ? f (at ? 2)



即 f (t 2 ? a) ? f (2 ? at) ∵f(x)为减函数,得 t 2 ? a ? 2 ? at . 即任意的 t ? [?1,1] ,有 t 2 ? at ? a ? 2 ? 0 .
?f′(1)=1+a-a-2≤0 ? 1 ∴? ,可得 a≥- . 2 ?f′(-1)=1-a-a-2≤0 ?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x? ? x2e?ax ,其中a ? 0 . ( e 是自然对数的底数, e =2.71828?) (I)求 f ?x ? 的单调区间; (II)求 f ?x ? 在 ?1,2? 上的最大值.
? ax

解: (Ⅰ) f ??x? ? 2xe ?ax ? x 2 ?? a?e ?ax ? e ?ax ? ax 2 ? 2x 令 f ??x ? ? 0 ,∵ e
2

?

?

1分 2分

?0

∴ ? ax ? 2 x ? 0 , 解得 0 ? x ?

2 . a

3分 4分

?2 ? ? 2? ∴ f ?x ? 在 ?? ?,0? 和 ? ,?? ? 内是减函数,在 ? 0, ? 内是增函数. ?a ? ? a?

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ?x ? 在 ?1,2? 内是减函数. a ∴在 ?1,2? 上 f max ?x? ? f ?1? ? e ?a ;
(Ⅱ)①当 0 ?

7分

2 ? 2? ?2 ? ? 2 ,即 1 ? a ? 2 时, f ?x ? 在 ?1, ? 内是增函数,在 ? ,2 ? 内是减函数. a ? a? ?a ? ?2? ?2 ?2 ∴在 ?1,2? 上 f max ?x ? ? f ? ? ? 4a e ; ?a? 2 ③当 ? 2 , 即 0 ? a ? 1 时, f ?x ? 在 ?1,2? 是增函数. a ∴在 ?1,2? 上 f max ?x? ? f ?2? ? 4e ?2a .
②当 1 ? 综上所述,当 0 ? a ? 1 时, f ?x ? 在 ?1,2? 上的最大值为 4e
?2 a

9分

11 分

4a e

?2 ?2

;当 a ? 2 时, f ?x ? 在 ?1,2? 上的最大值为 e

;当 1 ? a ? 2 时, f ?x ? 在 ?1,2? 上的最大值为 12 分

?a



5

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? be ? x 的图像在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x .( e 是自然对数的底数, e =2.71828?) (Ⅰ) 求 a, b 的值;

1 2 x ? (m ? 1) x ? 1 (m ? 0) ,求函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 的单调区间. 2 解: (Ⅰ)由题意得 f (0) ? 0, f ?(0) ? 1 ,则 a ? b ? 0, b ? 1,????????2 分 解得 a ? 1, b ? 1.????????4 分 1 2 (Ⅱ)由题意得 h( x ) ? m ln x ? mx ? ( m ? 1) x , x ? (0,??) . 2 2 m x ? (m ? 1) x ? m ( x ? m)(x ? 1) h?( x) ? ? x ? (m ? 1) ? ? ????????6 分 x x x (1)当 0 ? m ? 1 时, 令 h ?( x) ? 0 ,并注意到函数的定义域 (0,??) 得 0 ? x ? m 或 x ? 1 ,则 h( x) 的增区间是 (0, m), (1,??) ; 同理可求 h( x) 的减区间是 ( m,1) ??????8 分 (2)当 m ? 1 时, h ?( x) ? 0 ,则 h( x) 是定义域 (0,??) 内的增函数????????10 分 (3)当 m ? 1 时, 令 h ?( x) ? 0 ,并注意到函数的定义域 (0,??) 得 0 ? x ? 1 或 x ? m , 则 h( x) 的增区间是 (0,1), (m,??) ; 同理可求 h( x) 的减区间是 (1, m) ???????12 分
(Ⅱ) 若 g ( x) ? m ln x ? e
?x

?

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数;

ax2 ? ax 1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在(0, )内有极值,求实数 a 的取值范围; e f ( x) ? x 1 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意 t ? (1, ??), s ? (0,1) ,求证: g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? . e ( Ⅰ) f (0) ? 0 ? x ? 0 y ? f ( x) . ???????1 分 1 1 当x ? 0时,f ( x ) ? x( x 2 ? 1 ? ), 设? ( x ) ? x 2 ? 1 ? x x 1 ? ?( x) ? 2 x ? ? 0,?? ( x 0 ? ? 2 x3 1 ? (1) ? ?1 ? 0 ? (2) ? 3 ? ? 0.?? ( x ) 1,2 2 ? y ? f ( x)在?0, ? ??上有且仅有 2个零点 ??????????????3 分
(Ⅱ)令 g ( x) ? (Ⅱ) g( x) ?

ax2 ? ax ax( x ? 1) a ? ln x ? ? ln x ? ? ln x 3 x ?x x( x ? 1)(x ? 1) x ?1 (0,1) ? ( 1, ? ?) 定义域为 1 a x 2 ? 2 x ? 1 ? ax x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? g?( x ) ? ? ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
1 设h( x ) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1, 要使y ? g ( x )在(0, )上有极值, ? h ( x ) ? x 2 ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0 e 2 有两个不同的实根 x 1 , x2 ,? ? ? (a ? 2) ? 4 ? 0 ? a ? 0或a ? ?4

???????????????????????????4 分

???????????????????????????5 分

1 1 1 而且一根在 (0, )间,不妨设 0 ? x1 ? , 又因为 x 1 x2 ? 1,? 0 ? x1 ? ? e ? x2 e e e
6

h (0) ? 1,?

1 1 1 h ( ) ? 0, 2 ? (a ? 2 ? 1 ? 0 e e e

1 ?a ? e ? ? 2 e
???????????????????????????6 分 (Ⅲ)由( 2)知,x ? (1, x2 )时,g?( x) ? 0, 则g ( x)单调递减

x? (x 2 ? ?)时,g( x)单调递增 ? g( x)在( 1, ? ?)上有最小值 g ( x2 )

即?t ? ( 1, ? ?),都有g(t ) ? g ( x2 ) 又当x ? (0, x1 ), g ?( x) ? 0 ? g ( x)单调递增 当x ? ( x1 ,??), g ?( x) ? 0,? g ( x)单调递减 ? g( x)在(0, 1)上有最大值 g( x1 ) 即对?s ? (0,1),都有g(s) ? g ( x1 )

????????????7 分

????????????????8 分

1 又 ? x1 ? x2 ? 2 ? a, x1 x2 ? 1,? x1 ? (0, ), x2 ? (e,?? ) e a a ? g(t ) ? g ( s ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ln x2 ? ? ln x1 ? x2 ? 1 x1 ? 1

x2 a a 1 2 ? ? ? ln x2 ? x2 ? ( x2 ? e) ?????????10 分 x1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 1 1 设k ( x ) ? ln x 2 ? x ? ? 2 ln x ? x ? x x 2 1 ? k ?( x ) ? ? 1 ? 2 ? 0 x x 1 ? k ( x )在( e,?? )上单调递增, ? k ( x ) ? k ( e) ? 2 ? e ? e 1 ? g (t ) ? g ( s ) ? e ? ? 2 ???????????????????12 分 e ? ln
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