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离散型随机变量的分布列综合试题整理(带答案)


离散型随机变量的分布列综合题
1.某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有 9 张大小相同的 精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” (世博会吉祥物)图案;抽奖规则是: 参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖。卡 片用后入回盒子,下一位参加者继续重复进行。 (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中

有几张“海宝”卡?主持人答:我只知道,从 盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是

5 ,求抽奖者获奖的概率; 18

(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用 ? 表示获奖的人数,求 ? 的分布列及 E?,D ? 的 值。 解: (I)设“世博会会徽”卡有 n 张,
2 Cn 5 , 得 n=5, 由 2 ? C 9 18 2 C4 1 故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 2 ? 6 C9

????5 分

k (II) ? ~ B(4, ) 的分布列为 P(? ? k ) ? C 4 ( ) k ( ) 4?k (k ? 0,1,2,3,4)

1 6

1 6

5 6

?
P

0
0 1 0 5 4 C4 ( ) ( ) 6 6

1
1 1 1 5 3 C4 ( ) ( ) 6 6

2
2 1 2 5 2 C4 ( ) ( ) 6 6

3
3 1 3 5 1 C4 ( ) ( ) 6 6

4
4 1 4 5 0 C4 ( ) ( ) 6 6

? E? ? 4 ?

1 2 1 5 ? , D? ? 4 ? (1 ? ) ? . 6 3 6 9

????12 分

2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有 K 和 D 两个动作。比赛 时每位运动员自选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的 K 和 D 两个动作的得分是相互独立的。 根据赛前训练的统 计数据,某运动员完成甲系列和乙系列中的 K 和 D 两个动作的情况如下表: 表 1:甲系列 表 2:乙系列 动 作 得 分 概 率 00 作 1 0
3 4

K 动

D 动作 作 8 0
1 4

动 作 得 分
1 4

K 动

D 动作

4 0
3 4

1

9 0 0
9 10

5 0
1 10

2

0

概 率

9 10

1 10

现该运动员最后一个出场,之前其他运动员的最高得分为 115 分。 (1) 若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择哪个系列?说明理由。 并求其获得第一名的概率。 (2) 若该运动员选择乙系列,求其成绩 ? 的分布列及数学期望 E? . 解.(1)应选择甲系列,因为甲系列最高可得到 140 分,而乙系列最高只可得到 110 分,不 可能得第一名。
3 3 1 3 3 该运动员获得第一名的概率 p ? ? ? ? ? . 4 4 4 4 4 (2) ? 的可能取值有 50,70,90,110。
p?? ? 110? ? p?? ? 70? ? 9 9 81 9 1 9 ? ? ; p?? ? 90? ? ? ? ; 10 10 100 10 10 100

9 1 9 1 1 1 ? ? ; p?? ? 50? ? ? ? . 10 10 100 10 10 100

?
P

110
81 100

90
9 100

70
9 100

50
1 100

3.在本次考试中共有 12 道选择题,每道选择题有 4 个选项,其中只有一个是正确的。评分 标准规定:‘每题只选一项,答对得 5 分,不答或答错得 0 分。’某考生每道题都给出一个 答案。某考生已确定有 9 道题的答案是正确的,而其余题中,有 1 道题可判断出两个选项是 错误的,有一道可以判断出一个选项是错误的,还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该 考生: (Ⅰ)选择题得 60 分的概率; (Ⅱ)选择题所得分数 ? 的数学期望 解: (1)得分为 60 分,12 道题必须全做对.在其余的 3 道题中,有 1 道题答对的概率为

1 , 2

1 1 ,还有 1 道答对的概率为 , 3 4 1 1 1 1 所以得分为 60 分的概率为: P ? ? ? ? 。 。 。 。 。 。5 分 ., 2 3 4 24
有 1 道题答对的概率为 (2)依题意,该考生得分的范围为{45,50,55,60}. , 。 。 。 。 。 。6 分 得分为 45 分表示只做对了 9 道题,其余各题都做错,

1 2 3 6 1 。 。 。 。 。 。7 分 ? ? ? ? . , 2 3 4 48 4 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 得分为 50 分的概率为: P2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 。 。 。 。 。8 分 ., 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
所以概率为 P 1 ?

同理求得得分为 55 分的概率为: P 3 ? 得分为 60 分的概率为: P4 ? 所以得分 ? 的分布列为

6 。 。 。 。 。 。9 分 . , 24

1 。 。 。 。 。 。10 分 . , 24
60

?

45

50

55

1 P 24 1 11 6 1 605 数学期望 E? ? 45 ? ? 50 ? 。 。 。 。 。 。12 分 ? 55 ? ? 60 ? ? 4 24 24 24 12
4.某设区举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,抽奖规则是:盒中装有 10 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” (世博会吉祥物)图 案,参加者每次从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。 (I)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人笑说:我只知道若 从盒总抽两张都不是“海宝”卡的概率是

1 4

11 24

6 24

1 ,求抽奖者获奖的概率; 3

(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,抽后放回,另一个人再抽,用 ? 表示获奖的人数, 求 ? 的分布列及 E? , D? 。 解: (I)设“世博会会徽”卡有 n 张,由
2 Cn 1 = ,得 n ? 6 ?????(2 分) 2 C10 3

故“海宝”卡有 4 张,??????????(3 分) 抽奖者获奖的概率为 (Ⅱ) ? ~ B (4,
2 C4 2 ? ??????????(5 分) 2 C10 15

?
p

2 k 2 k 13 4? k ) , ? 的分布列为 p(? ? k ) ? C4 ( ) ( ) (k ? 0,1, 2,3, 4) 或 15 15 15
0 1
1 C4 ?

2
2 2 2 13 2 C4 ( ) ( ) 15 15

3
3 2 3 13 1 C4 ( )( ) 15 15

4

13 ( )4 15

2 13 3 ?( ) 15 15

2 ( )4 15

∴ E? ? 4 ?

2 8 2 2 104 ?????????? (12 分) ? , D? ? 4 ? ? (1 ? ) ? 15 15 15 15 225

5.某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性” 得分为 x , “实用性”得分为 y ,统计结果如下表:

作品数量

y
1分 2分 3 0 1

实用性 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3

x
1分 创 新 性 2分 3分 4分 5分 1 1 2 1 0

b
0

a
3

(Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为

167 ,求 a 、 b 的值. 50 6 ? 0.12 . 50

解: (Ⅰ)从表中可以看出, “创新性为 4 分且实用性为 3 分”的作品数量为 6 件, ∴“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率为 ????4 分

(Ⅱ)由表可知“实用性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级, 且每个等级分别有 5 件, b ? 4 件, 15 件, 15 件, a ? 8 件. ????5 分 ∴“实用性”得分 y 的分布列为:

y
p

1
5 50

2
b?4 50

3

4

5

15 15 a ?8 50 50 50 167 又∵“实用性”得分的数学期望为 , 50 5 b?4 15 15 a ? 8 167 ∴ 1? . ?????10 分 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 50 50 50 50 50 50
∵作品数量共有 50 件,∴ a ? b ? 3 解得 a ? 1 , b ? 2 . ????????13 分

6.一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1, 2,3, 4,5,6 . (Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个球编号之和为 6 的概率; (Ⅱ)若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有 2 次抽到 6 号球的概 率; (Ⅲ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X ,求随机变量 X 的分布列. 解: (Ⅰ) 设先后两次从袋中取出球的编号为 m, n , 则两次取球的编号的一切可能结果 (m, n) 有 6 ? 6 ? 36 种, 其中和为 6 的结果有 (1,5),(5,1),(2, 4),(4, 2),(3,3) ,共 5 种, ??????2 分

则所求概率为

5 . 36

??????4 分
1 C5 1 ? . 2 C6 3

(Ⅱ)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 p ?

??????6 分 所以, 3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为

1 2 2 C32 p 2 (1 ? p) ? 3 ? ( ) 2 ( ) ? . 3 3 9
(Ⅲ)随机变量 X 所有可能的取值为 3, 4,5, 6 .
3 C3 1 ? , 3 C6 20

??????8 分 ??????9 分

P ( X ? 3) ?

P ( X ? 4) ?

C32 3 ? , 3 C6 20

2 C4 6 3 P( X ? 5) ? 3 ? ? , C6 20 10

P( X ? 6) ?

C52 10 1 ? ? . 3 C6 20 2

??????12 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

P

3 1 20

4 3 20

5 3 10

6 1 2
??????13 分

7.甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方块 4)玩游戏,他们将 扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。 (1)设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜。你认为此游 戏是否公平?请说明你的理由. 解: (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况为(2,3) , (2,4) , (2, 4 ) , (3,2) , (3,4) , (3, 4 ) , (4,2) , (4,3) , (4, 4 ) , ( 4 ,2) , ( 4 ,3) , ( 4 ,4) ,共 12 种不同情况 ???4 分 (2)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4, 4 .因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为
' ' ' ' ' ' '

2 . ??8 分 3
(3)由甲抽到的牌比乙大有(3,2) , (4,2) , (4,3) , ( 4 ' ,2) , ( 4 ' ,3) ,共 5 种甲 获胜的概率 P 1 ?

5 7 , 乙获胜的概率为 P2 ? 12 12

?

5 7 ? 12 12
??..13 分

?此游戏不公平

8.某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情 况.已知该题有两空,第一空答对得 3 分,答错或不答得 0 分;第二空答对得 2 分,答错或 不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取 1000 份试卷,其中该题的得分组成容量为 1000 的样本,统计结果如下表: 第一空得分 得分 人数 0 198 3 802 得分 人数 第二空得分 0 698 2 302

(Ⅰ)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计这个地区高三学生该题的平均分. (Ⅱ)这个地区的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得 分情况的频率(精确到 0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这 道题得分 ? 的数学期望. 解: (Ⅰ)设样本试卷中该题的平均分为 x ,则由 表中数据可得: C
x? 0 ? 198 ? 3 ? 802 ? 0 ? 698 ? 2 ? 302 ? 3.01 1000

E M F D

, B A

??.3 分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为 3.01 分. ??.4 分

(Ⅱ)依题意,第一空答对 的概率为0.8,第二空答对的概 率为0.3, ???6 分

P(? ? 0) ? (1 ? 0.8)(1 ? 0.3) ? 0.14 P(? ? 2) ? (1 ? 0.8)0.3 ? 0.06 P(? ? 3) ? 0.8(1 ? 0.3) ? 0.56 P(? ? 5) ? 0.8 ? 0.3) ? 0.24

则该同学这道题得分 ? 的分布列如下:ks5u

?
P

0 0.14

2 0.06

3 0.56

5 0.24

所以 E ? =0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3

??12 分

9.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品 通过检测的概率为

2 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品. 3

(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率. 解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A ??????????1 分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2 分

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15 (Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. p( A) ?
3 0 2 1 C4 C6 C4 C6 3 1 P ( X ? 0) ? 3 ? ? , , P( X ? 1) ? 3 C10 30 C10 10 1 2 0 3 C4 C6 1 C4 C6 1 ? P ( X ? 3) ? ? . , 3 3 C10 2 C10 6

??????4 分

P( X ? 2) ?


??????8

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

?????9 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不 能通过检测的事件为 B ?????10 分 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所 以



P( B ?

1 ? 3

3

?

.

)

1 0

?????13 分

(

1 3

10. 某商场进行促销活动, 到商场购物消费满 100 元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘) 一次进行抽奖,满 200 元转两次,以此类推(奖金累加) ;转盘的指针落在 A 区域中一等奖, 奖 10 元,落在 B、C 区域中二等奖,奖 5 元,落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消 费 268 元,

(Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率; (Ⅱ) 记 ? 为该顾客所得的奖金数,求其分布列; A (Ⅲ) 求数学期望 E? (精确到 0.01). C 解(Ⅰ) 设事件 A 表示该顾客中一等奖 P( A) ? 所以该顾客中一等奖的概率是 B

1 1 1 11 23 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 144
??4 分 ???5 分

23 144

(Ⅱ) ? 的可能取值为 20,15,10,5,0

1 1 1 1 2 1 , P(? ? 15) ? 2 ? ? , ? ? ? 12 12 144 12 12 36 2 2 1 9 11 P(? ? 10) ? ? ? 2 ? ? ? 12 12 12 12 72 2 9 1 9 9 9 P(? ? 5) ? 2 ? ? ? , P(? ? 0) ? ? ? (每个 1 分)?????10 分 12 12 4 12 12 16 P(? ? 20) ?
所以 ? 的分布列为

?
P

20

15

10

5

0

1 144

1 36

11 72

1 4

9 16

??????10 分 (Ⅲ)数学期望 E? ? 20 ?

1 1 11 1 ? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 3.33 ???????14 分 144 36 72 4

11.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面 试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试 合格的概率为 ,乙、丙面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响.

(Ⅰ)求至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)求签约人数 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 至少有1人面试合格的概率是 .

(Ⅱ) 的可能取值为0,1,2,3.





=

=



的分布列是 0 1 2 3

的期望

12.甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有 一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p( p ? ) ,且各局胜负 相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值;

1 2

5 . 9

(Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: (Ⅰ)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 p 2 ? (1 ? p)2 ? 解得 p ? 又p?

5 , 9

1 2 或p? . 3 3
???????6 分

1 2 ,所以 p ? . 2 3

(Ⅱ)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6.

5 P(? ? 2) ? , 9 5 5 20 , P(? ? 4) ? (1 ? ) ? ? 9 9 81 5 20 16 P(? ? 6) ? 1 ? ? ? , 9 81 81
所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

2
5 9

4
20 81

6

16 81

所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ?

5 20 16 266 .??????13 分 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81

13. 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手, 乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女 乒乓球选手,学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动. (Ⅰ)求选出的 4 名选手均为男选手的概率. (Ⅱ)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的分布列和期望. 解: (Ⅰ)事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知

C32 P ( A) ? 2 2 C5 C4

??????3 分

?

1 1 1 . ? ? 10 2 20

??????5 分 ??????6 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3 .

P( X ? 0) ?

C32 3 1 ? ? , 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

??????7 分

P( X ? 1) ?

1 1 2 1 C2 C3C3 ? C3 2 ? 3? 3 ? 3 7 ? ? , 2 2 C5 C4 10 ? 6 20 1 C32C3 3? 3 3 ? ? , 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

??????9 分

P( X ? 3) ?

??????10 分

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

9 . 20

??????11 分

X 的分布列: X
P

0 1 20

1 7 20

2 9 20

3 3 20
??????12 分 ??????13 分

1 7 9 3 17 . E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 20 20 20 20 10

14.为振兴旅游业,某省 2009 年面向国内发行了总量为 2000 万张的优惠卡,其中向省外人 士发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团 到该省旅游,其中 客中有

3 1 是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡,在省内游 4 3

2 持银卡。 3

(1)在该团中随机采访 3 名游客,求至少有 1 人持金卡且恰有 1 人 持银卡的概率; (2 ) 在该团的省外游客中随机采访 3 名游客,设其中持金卡人数为随机变量 X,求 X 的分 布列及数学期望 EX。 .解: (1)由题意知,省外游客有 27 人,其中 9 人持有金卡,省内游客有 9 人,其中 6 人持 有银卡。 记事件 B 为“采访该团 3 人中,至少有 1 人持金卡且恰有 1 人持银卡, ” 记事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡, ” 记事件 A2 为“采访该团 3 人中,2 人持金卡,1 人持银卡, ” 则 P ( B ) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ?
1 1 1 1 C9 C 6 C 21 C92 C 6 45 ? ? 3 3 238 C 36 C36

所以在该团中随机采访 3 名游客, 至少有 1 人持金卡且恰有 1 人持银卡的概率为 ??????????????.6 分 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3
3 C18 272 因为 P ( X ? 0) ? 3 ? , C 27 975 1 2 C9 C18 153 P( X ? 1) ? ? 3 325 C 27

45 。 238

P( X ? 2) ?

1 3 C92 C18 C9 72 28 ? P ( X ? 3 ) ? ? , 3 3 325 C 27 C 27 975

所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3

P

272 975

153 325

72 325

28 975

?10 分 故

272 153 72 28 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ?1 975 325 325 975

????????13 分

15.张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1,L2 两条路线 (如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 ;L2 路线上有 B1, 2
A1 H B1 A2 L1 L2 B2 A3 C

B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

3 3 , . 4 5

(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上 述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由. 解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 0 1 P( A)=C3 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? . 2 2 2 2
?????4 分 所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

?

1 . 2
??5 分

3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10 3 3 3 3 9 , P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 5 4 5 20 3 3 9 . P( X =2)= ? ? 4 5 20 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 10 1 9 9 27 . EX ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? 10 20 20 20

??8 分

1

2

9 20

9 20
??10 分

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B(3, ) ,

1 2

所以 EY ? 3 ?

1 3 ? . 2 2 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好.

??12 分 ??14 分

16. 在某次抽奖活动中, 一个口袋里装有 5 个白球和 5 个黑球, 所有球除颜色外无任何不同, 每次从中摸出 2 个球,观察颜色后放回,若为同色,则中奖。 (Ⅰ)求仅一次摸球中奖的概率; (Ⅱ)求连续 2 次摸球,恰有一次不中奖的概率; (Ⅲ)记连续 3 次摸球中奖的次数为 ? ,求 ? 的分布列。

2C52 4 解: (Ⅰ)设仅一次摸球中奖的 概率为 P1,则 P1= 2 = ????????3 分 C10 9
(Ⅱ)设连续 2 次摸球(每次摸后放回) ,恰有一次不中奖的概率为 P2,则 P2= C2 (1 ? P 1 )P 1 ?
1

40 81

??????????????????7 分

(Ⅲ) ? 的取值可以是 0,1,2,3

P(? ? 0) =(1- P1 )3=

125 , 729

1 2 (1 ? P P(? ? 1) = C3 1) P 1 ?

300 100 = , 729 243 240 80 2 = , P(? ? 2) = C32 (1 ? P 1)P 1 ? = 729 243 64 3 P(? ? 3) = P 1 = 729

所以 ? 的分布列如下表

?
P

0

1

2

3

125 729

100 243

80 243

64 729

?????????????????????13 分 17.在一次考试中共有 8 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个选项是正 确的.某考生有 4 道题已选对正确答案,其余题中有两道只能 分别判断 2 个选项是错误的, 还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生 8 道题全答对的概率;

(Ⅱ) 若评分标准规定: “每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分”,求该考 生所得分数的分布列. 解:(Ⅰ)说明另四道题也全答对,相互独立事件同时发生,即: (Ⅱ)答对题的个数为 4,5,6,7,8,其概率分别为:

1 1 1 1 1 5分 ? ? ? ? 2 2 4 4 64

1 1 3 3 9 ? ? ? ? 2 2 4 4 64 1 1 3 3 1 1 1 3 24 P?? ? 5? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 4 4 2 2 4 4 64 22 8 1 1 1 1 1 P?? ? 8? ? ? ? ? ? P?? ? 6? ? P?? ? 7 ? ? 64 64 2 2 4 4 64 P?? ? 4? ?
分布列为:

? ? 5?

20

25

30

35

40

P

9 64

24 64

22 64

8 64

1 64

???13 分 18.为保护水资源,宣传节约用水,某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园 进行宣传活动,每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立. (Ⅰ)求 4 人恰好选择了同一家公园的概率; (Ⅱ)设选择甲公园的志愿者的人数为 X ,试求 X 的分布列及期望. 解: (Ⅰ)设“4 人恰好选择了同一家公园”为事件 A. ???1 分 每名志愿者都有 3 种选择,4 名志愿者的选择共有 34 种等可能的情况 . ??2 分 事件 A 所包含的等可能事件的个数为 3, ???3 分 所以, P ? A? ?
3 1 . ? 34 27

即:4 人恰好选择了同一家公园的概率为

1 . 27

??5 分

1 (Ⅱ)设“一名志愿者选择甲公园”为事件 C,则 P ? C ? ? . ????6 分 3 4 人中选择甲公园的人数 X 可看作 4 次独立重复试验中事件 C 发生的次数, 因此, 随机 变量 X 服从二项分布. ??????8 分 X 可取的值为 0,1,2,3,4.
i 1 i 2 4 ?i P ? X ? i ? ? C4 ( ) ( ) , i ? 0,1, 2,3, 4 . 3 3

??????10 分

X 的分布列为: X
P
0
16 81

1
32 81

2
24 81

3
8 81

4
1 81

.?12 分

1 4 X 的期望为 E ? X ? ? 4 ? ? . 3 3

.????????13 分

19.某学校高一年级开设了 A, B, C, D, E 五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要 求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选 择是等可能的. (Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数; (Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率; (Ⅲ)设随机变量 X 为甲、乙、丙这三名学生参加 A 课程的人数,求 X 的分布列与数学期 望. 解: (Ⅰ)甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是 5 种, 故共有 5 ? 5 ? 5 ? 125 (种) . (Ⅱ)三名学生选择三门不同选修课程的概率为:
3 A5 12 ? . 3 5 25

∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为: 1 ? (Ⅲ)由题意: X ? 0,1, 2,3 .

12 13 ? . 25 25

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

43 64 ; ? 53 125

P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

1 C3 ? 42 48 ; ? 53 125 3 C3 1 ? . 3 5 125

C32 ? 4 12 ? ; 53 125

? 的分布列为
X
P
0
64 125

1
48 125

2
12 125

3
1 125

数学期望 EX ? 0 ?

64 48 12 1 3 = .--------------- 13 分 ? 1? ? 2? ? 3? 125 125 125 125 5

20.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考 核合格就不必参加以后的考核, 否则还需参加下次考核, 若小张参加每次考核合格的概

1 1 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过 ,且他直 8 2 9 到参加第二次考核才合格的概率为 32
率依次组成一个公差为 (I)求小张第一次参加考核就合格的概率 P1;

(Ⅱ)求小张参加考核的次数 ? 和分布列和数学期望值 E? . 解: (I)由题意得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ?

1 8

9 , 32

1 5 或 . 4 8 1 5 ? p1 ? ,? p1 ? . 2 8 ? p1 ?

????4 分

(II)由(I)知小张 4 次考核每次合格的概率依次为

5 3 7 5 9 , , ,1 ,所以 P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , 8 4 8 8 32
5 3 7 21 P(? ? 3) ?? (1 ? )(1 ? ) ? ? , 8 4 8 256 5 3 7 3 P(? ? 4) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 1 ? , 8 4 8 256
所以 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5 9 21 3 8 32 256 256 5 9 21 3 379 ? E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? . ????12 分 8 32 256 256 256
21.已知5条桥梁横跨 A、B两岸,假设各条桥梁的车流量分别为1、1、2、2、3(单 位:万量) ,现从这5条桥梁中任取三条桥梁,考察这三条桥梁的车流量之和 ? . (1)求 ? ? 4 的概率; (2)求 ? 的数学期望. 解: (1)由等可能事件得 P(? ? 4) ?

2 1 ? .??????????????? 5 分 3 C5 5

(2)由已知得 ? ? 4,5,6,7,8,9 .分布列如下:

?
P









1 5 27 . ????? 5

3 10

4 10

1 10

???????????????????????????????????10 分 故 E? ?


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