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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:1-2-3 空间几何体的直观图


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
空间几何体

第一章 空间几何体

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第一章
1.2 空间几何体的三视图和直观图

第一章 空间几何体

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第一章
1.2.3 空间几何体的直观图

第一章 空间几何体

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 建模应用引路

第一章

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1.2.3

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课前自主预习

第一章

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温故知新 1.给出一个空间图形,如何把它画在平面内,使得它既 富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关 系,是我们本节课研究的重点. 2.初中我们就学会了在平面上画正方体和长方体,它们 的六个面只有两个面画成了正方形或长方形,其余各面都画成 了平行四边形,这样画出的几何体才有立体感.

第一章

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完成以下练习为学新知打下基础: 1.如图所示,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F 分别是 A′A, C′C 的中点, 则下列判断正确的是________. (填 序号)

第一章

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①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是正方形; ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是菱形; ③ 四 边 形 BFD′E 在 面 A′D′DA 内 的 投 影 与 在 面 ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.

[答案]

①③

第一章

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[解析]

①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的

投影分别是点 B,C,D,A,所以投影是正方形,即①正确; ②设正方体的棱长为 2,则 AE=1,取 D′D 的中点 G,连接 AG,则四边形 DFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E,由 AE∥D′G,且 AE=D′G,知四边形 AGD′E 是平行四边形,但 AE=1,D′E= 5,所以四边形 AGD′E 不是菱形,即②不正确.对于③,由②可知两个投影四边形是 对边分别相等的平行四边形且全等,从而③正确.

第一章

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[点评]

本类型题多为填空题或选择题,应抓住已知图形

中的端点,确定端点在投影面的位置,进而确定投影图形.

第一章

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2.一个几何体的三视图如图,则组成该几何体的简单几 何体为( )

A.圆柱和圆锥

B.正方体和圆锥

C.四棱柱和圆锥 D.正方体和球
[答案] C

第一章

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[解析]

由正视图和侧视图可知,该几何体的上部可能为

棱锥或圆锥,下部可能为棱柱和圆柱,结合俯视图为圆和圆心 及正方形知,上部是圆锥,下部是四棱柱.

第一章

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3.(2010· 北京理,3)一个长方体去掉一个小长方体,所得 几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示, 则该几何体 的俯视图为( )

第一章

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[答案] C

第一章

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[解析]

由正视图和侧视图知,该长方体上面去掉的小长

方体, 从正前方看在观察者左侧, 从左向右看时在观察者右侧, 故俯视图为 C.

第一章

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新课引入 如图所示的建筑物是江南著名古镇之一的乌镇,它是由不 同的几何体组合而成的.建筑工人在建造时要依据工程师设计 的图纸进行施工.工程师是利用什么方法画出图纸呢?

第一章

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自主预习 阅读教材 P16-19,回答: 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相 垂直 的 x 轴和 y 轴,两轴相交于 点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴交 于点 O′,且使∠x′O′y′=45° 135° (或 ),它们确定的平面 表示水平面.

第一章

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(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别 画成 平行 于 x′轴或 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持原长度
不变 ,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的 一半.

第一章

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[破疑点]用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放置的 平面图形的直观图的画法,而画水平放置的平面图形的关键是 确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连 接这些顶点就可画出多边形.

第一章

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在已知图形中平行于 x 轴的线段 AB=6cm, 则在直观图中 线段 A′B′=________cm;在已知图形中平行于 y 轴的线段 CD=4cm,则在直观图中线段 C′D′=________cm.

[答案] 6 2

第一章

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[解析]

由于平行于 x 轴的线段在直观图中保持原长度不

变, A′B′=AB=6cm; 则 由于平行于 y 轴的线段在直观图中 1 长度变为原来的一半,则 C′D′= CD=2cm. 2

第一章

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2.画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再 作 Oz 轴,使∠xOy=90° ,∠xOz=90° . (2)画出与 Ox, Oz 对应的轴 O′x′, Oy, O′y′, O′z′, 使∠x′O′y′=45° 135° ∠x′O′z′=90° x′O′y′ (或 ), , 所确定的平面表示水平平面.

第一章

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(3)几何体中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图 中分别画成 平行 于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段,并使它们 和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴 的位置关系相同. (4)几何体中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长 度 不变 ,平行于 y 轴的线段,长度为原来的 一半. (5)擦除作为辅助线的坐标轴, 就得到了空间几何体的直观 图.

第一章

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[破疑点](1)用斜二测画法画几何体的直观图时,与画水平 放置的平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂 直的z轴,并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变,在直 观图中,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和 z′O′x′表示直立平面.

第一章

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(2)画几何体的直观图时,如果不作严格要求,图形尺寸 可以适当选取.用斜二测画法画图的角度也可以自定,但要 求图形具有一定的立体感. (3)斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.

第一章

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在空间几何体中,平行于z轴的线段AB=10cm,则在直观 图中对应的线段A′B′=________cm.

[答案] 10

第一章

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[解析]

由于平行于z轴的线段在直观图中保持长度不

变,则A′B′=AB=10cm.

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思路方法技巧

第一章

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水平放置的平面图形直观图的画法
学法指导 画平面图形的直观图的关键点

画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶 点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或与轴平行的线 段上;另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶 点一般通过过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线 段上来确定. 特别提醒:同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观 图可能不同.

第一章

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[例1] [分析]

画正五边形的直观图. 建立坐标系xOy后,B、E两点不在坐标轴上或

平行于坐标轴的直线上,故需作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于 H.

第一章

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[画法]

(1)以正五边形的中心为原点O,建立如图(1)所示

的直角坐标系xOy,再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′, 使∠x′O′y′=45° ;

第一章

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(2)在图(1)中作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于H,在坐标系 x′O′y′中作O′H′=OH,O′G′=OG,O′A′= 1 2

1 OA,O′F′= 2 OF,过F′作C′D′∥x′轴使C′D′=CD 且F′为C′D′的中点.

第一章

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(3)在平面x′O′y′中,过G′作G′B′∥y′轴,且 1 1 G′B′= BG,过H′作H′E′∥y′轴,且H′E′= HE, 2 2 连接A′B′,B′C′、C′D′、D′E′、E′A′,得五边 形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图.

第一章

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画边长为 1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.

第一章

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[解析]

(1)如图所示, BC 边所在直线为 x 轴, BC 边 以 以

上的高线 AO 所在直线为 y 轴,再画对应的 x′轴与 y′轴,两 轴相交于点 O′,使∠x′O′y′=45° .

第一章

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(2)在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=0.5 cm, y′轴上 在 1 3 截取 O′A′= 2AO= 4 cm,连接 A′B′,A′C′,则△ A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图.

第一章

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画几何体的直观图
学法指导 空间几何体直观图的画法: (1)空间几何体直观图的画法规则与平面图形的画法相 比,只是多画一个与 x 轴和 y 轴都垂直的 z 轴,表示竖直方 向;平行于 z 轴或在 z 轴上的线段,方向与长度都与原来保 持一致. (2)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应 该记住它们的大致形状,以便可以较快、较准确地画出来.

第一章

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[例2]

用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观

图,其中底面ABCDEF是正六边形,点P在底面的投影是正 六边形的中心O(尺寸自定).

第一章

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[解析]

画法:(1)画六棱锥 P-ABCDEF 的底面.

①在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称 轴 MN 所在直线为 y 轴,两轴相交于 O(如图 1 所示),画相应的 x′轴和 y′轴、z′轴,三轴交于 O′,使∠x′O′y′=45° , ∠x′O′z′=90° (如图 2 所示).

第一章

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②在图2中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD, 1 在y′轴上取M′N′= MN,以点N′为中点画B′C′平行于 2 x′轴,并且等于BC;再以M′为中点画E′F′平行于x′ 轴,并且等于EF. ③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边 形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.

第一章

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(2)画六棱锥 P-ABCDEF 的顶点,在 O′z′轴上截取 O′P′=OP. (3)成图. 连接 P′A′, P′B′, P′C′, P′D′, P′E′, P′F′, 并擦去 x′轴, y′轴, z′轴, 便得到六棱锥 P-ABCDEF 的直观图 P′-A′B′C′D′E′F′(图 3).

第一章

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用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm,3cm,2cm 的长方 体 ABCD-A′B′C′D′的直观图.

第一章

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[画法]

(1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,三轴

相交于点O,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN= 3 4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= 2 cm.分别过点M和点N作y轴 的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

第一章

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(3)画侧棱,过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并 在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′, DD′. (4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理 (擦掉辅助线,将被遮挡的线改为虚线),就得到长方体的直观 图(如图②).

第一章

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第一章

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规律总结:利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循 的基本原则: ①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度和 角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线 表示. ②画法规则可简记为:两轴夹角为 45° ,竖轴垂直仍不变, 平行不变,长度变,横竖不变,纵折半. ③画空间几何体的直观图,要注意选取适当的原点,建系 画轴.

第一章

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探索延拓创新

第一章

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由三视图画直观图
学法指导 由三视图画几何体的直观图,首先要认清几

何体的形状与大小,这是解决此类问题的关键,然后按斜二 测画法规则及其步骤作出其直观图.

第一章

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1.2.3

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[例 3]

由几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出

它的直观图.

第一章

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[分析]

先根据该几何体的三视图得到该几何体的上部是

一个圆锥,下部是一个圆台,再利用“斜二测画法”画出该 几何体的直观图.

第一章

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1.2.3

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[画法]

(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy

=45° ,∠xOz=90° . (2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三视图中相应的高度,过 O′ 作 Ox 的平行线 O′x′, Oy 的平行线 O′y′, 作 利用 O′x′ 与 O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O 一样).

第一章

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(3)画圆锥的顶点.在 Oz 上取一点 P,使 PO′等于三视图 中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视 图表示的几何体的直观图,如图②.

第一章

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1.2.3

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利用下图所示的三视图,画出它的直观图.

第一章

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[分析]

由正视图和俯视图知该几何体为柱体,由侧视图

知,该几何体是一横放的三棱柱.

第一章

1.2

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[解析]

该几何体是一个三棱柱,直观图如下图所示

第一章

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1.2.3

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下图是一个几何体的直观图,画出它的三视图.

第一章

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1.2.3

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[解析]

三视图如图所示.

第一章

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1.2.3

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规律总结:三视图与直观图的异同 剖析:如下表所示
两种视图 相同点与联系 都是空间几何体的表现形 式,已知一种形式可转化为 另一种形式.三视图需有一 直观图 定的空间想象能力才能看 懂,供较专业的人们使用. 不同点 从三个不同位置观察得出的是三视 图,它能体现各部分的准确比例. 从一个位置观察而得出的是直观图, 它能直观地体现几何体的形状, 但某 些方向上的尺寸失真.

三视图

第一章

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建模应用引路

第一章

1.2

1.2.3

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与直观图有关的计算问题
学法指导 (1)已知一个平面图形,求其直观图的面积.

解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图,然 后利用面积公式求解.

第一章

1.2

1.2.3

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(2)已知平面图形的直观图求原图形的面积. 解决此类问题时,应根据所给的直观图确定原图形中线与 线间的关系、长度、夹角,从而具体研究原图形的面积. 由直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两个量发生 了变化,一是∠x′O′y′由 45° 恢复为∠xOy=90° ,二是与 O′y′平行的线段,在平面 xOy 中的长度是原来的 2 倍.

第一章

1.2

1.2.3

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[例 4]

如图, 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是

一个底角为 45° 、腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则这个平面 图形的面积是( )

第一章

1.2

1.2.3

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1 2 A.2+ 2 C.1+ 2

2 B.1+ 2 D.2+ 2

[答案] D

第一章

1.2

1.2.3

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[解析]

如图所示,∵A′D′∥B′C′,

∴AD∥BC.

第一章

1.2

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∵∠A′B′C′=45° , ∴∠ABC=90° . ∴AB⊥BC. ∴四边形ABCD是直角梯形. 其中,AD=A′D′=1,BC=B′C′=1+ 2, ∴S梯形ABCD=2+ 2. 2 ,AB=

第一章

1.2

1.2.3

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已知正△ABC 的边长为 a,那么正△ABC 的直观图△ A′B′C′的面积是( 3 2 A. 4 a 6 2 C. a 8
[答案] D

) 3 2 B. 8 a 6 2 D. a 16

第一章

1.2

1.2.3

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[解析] 标系 xOy.

如图(1)为实际图形,建立如图所示的平面直角坐

第一章

1.2

1.2.3

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如图(2),建立坐标系 x′O′y′,使∠x′O′y′=45° , 1 3 由直观图画法知:A′B′=AB=a,O′C′= OC= a.过 2 4 2 6 C′作 C′D′⊥O′x′于 D′, C′D′= 2 O′C′= 8 a. 则 1 1 6 所以△A′B′C 的面积是 S=2· A′B′· C′D′=2· 8 a a· 6 2 = a. 16

第一章

1.2

1.2.3

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基础巩固训练

第一章

1.2

1.2.3

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1.下列关于直观图的说法不正确的是(

)

A.原图形中平行于 y 轴的线段,对应线段平行于直观图 中 y′轴,长度不变 B.原图形中平行于 x 轴的线段,对应线段平行于直观图 中 x′轴,长度不变 C. 画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时, ∠x′O′y′ 可以画成 135° D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同
[答案] A
第一章 1.2 1.2.3

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[解析]

平行于 y 轴的线段,直观图中长度变为原来的一

半,故 A 错.

第一章

1.2

1.2.3

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2.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是 ( ) A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B.平行四边形的直观图仍是平行四边形 C.两条相交直线的直观图可能是平行直线 D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
[答案] B

第一章

1.2

1.2.3

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[解析] 选项 正误 A ╳ 理由 斜二测画法保持平行性不变,正方形 的直观图是平行四边形,故选项A错误 √ 平行四边形的对边平行,则在直观图 中仍然平行,故选项B正确

B

第一章

1.2

1.2.3

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斜二测画法保持相交性不变,故两条 C ╳ 相交直线的直观图仍是相交直线,故 选项C错误 D [点评] ╳ 两条垂直直线的直观图应是夹角为45° 的两条相交直线,故选项D错误 斜二测画法主要保留了原图的三个性质:①保平

行;②保共点;③保平行线段的长度比.

第一章

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3.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两 边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A′=( A.45° C.90° B.135° D.45° 或135° )

[答案]

D

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[解析]

因∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90° ,在

直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45° 或135° , 即∠A′=45° 或135° .

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4.AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,已知在直观图中, AB的直观图是A′B′,CD的直观图是C′D′,则( A.A′B′=2C′D′ C.A′B′=4C′D′ B.A′B′=C′D′ 1 D.A′B′=2C′D′ )

[答案] C

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[解析]

∵AB∥x轴,CD∥y轴,

∴AB=A′B′,CD=2C′D′, ∴A′B′=AB=2CD=2(2C′D′)=4C′D′.

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5.梯形的直观图是( A.梯形 C.三角形
[答案] A

)

B.矩形 D.任意四边形

[解析] 斜二测画法中平行性保持不变.

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6.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC 是( ) A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形

[答案]

B

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[解析]

∵A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,∴AB∥x

轴,AC∥y轴,∠A=90° .

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7.长方形的直观图可能是下列图形的哪一个(

)

A.①② C.①④⑤
[答案] D

B.①②③ D.②⑤

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8.用斜二测画法画一个底面边长为4 cm,高为6 cm的正 六棱柱的直观图. [分析] 要画正六棱柱的直观图,根据斜二测画法的画法

规则,只需建立恰当的坐标系,画出下底面的直观图,再根 据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点,即可根据斜二 测画法的画法规则及画直观图的步骤可得正六棱柱的直观 图.

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[画法]

(1)画轴:画x′轴、y′轴、z′轴,记坐标原点

为O′,如图(1)所示.

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(2)画底面:按x′轴、y′轴画边长为4 直观图ABCDEF.

cm的正六边形的

(3)画侧棱:过A,B,C,D,E,F各点分别作z′轴的平 行线,并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、 EE′、FF′,使它们都等于6 cm. (4)成图:顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,F′, 并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分改为虚线),就得 到正六棱柱的直观图,如图(2)所示.

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