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2013届高考数学一轮复习基础训练8


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备考 2013 高考数学基础知识训练(8)
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.设集合 A={1,2,3,4}

,B={0,1,2,4,5},全集 U=A∪B,则集合?U (A∩B)中的元 素共有 ____________ 个.

2

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已知 x ? ( ?

?
2

, 0) , co s x ?

4 5

,则 tan 2 x ? ________________.

3

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在△ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为________________三角形.

2 3

1 2

1 2

1 3

4.化简 ( a b )( ? 3 a b ) ? ( a b 6 ) 的结果是________________. 3
6

1

1

5

5

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tan 2 0 ? tan 4 0 ?
0 0

3 tan 2 0 tan 4 0 ? ________________.
0 0

6

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函数 f x c 2 2 s x s的最小正周期是________________. () ox ?s ? 3 c x i o n

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已知 sin

?
2

? co s

?
2

?

2 3 3

, 那么 sin ? 的值为

, cos 2? 的值为

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已知 cos 2 ? ?

2 3

,则 sin ? ? cos ? 的值为________________.
4 4

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1 ? tan ? 1 ? tan ?

? ? 2009 则

1 co s 2 ?

? tan 2 ? ? ________________.

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0 0 0 0 设 a ? sin 14 ? cos 14 , b ? sin 16 ? cos 16 , c ?

6 2

, 则 a, b, c 大 小 关 系

________________.

11.若 | a |? 1, | b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为________________.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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? A B C 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为

时, co s A ? 2 co s

B?C 2

取得最

大值,且这个最大值为________________.

13 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , f ( ? 1) ? 1 , 则
f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2009 ) 的值为________________.

14.函数 f ( x ) ? x ? 2 x , x ? [ ? 1, m ] 图象上的最高点为 A,最低点为 B,A、B 两点之间
2

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的距离是 2 5 ,则实数 m 的取值范围是________________.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤)
15.如图 A 、 B 是单位圆 O 上的点, C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,点 A 的坐标为 (
3 4 , ), 5 5

三角形 AOB 为直角三角形. (1)求 sin ? COA , cos ? COA ; (2)求线段 BC 的长. B

y

A( , )
5 5

3 4

C O

x

16.已知幂函数 y ? x
p p

p ?3

( p ? N ? ) 的图象关于 y 轴对称,且在 ( 0 , ?? ) 上是减函数,求满足

( a ? 1) 3 < ( 3 ? 2 a ) 3 的 a 的取值范围.

17.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务 部门上交 a 元( a 为常数,4<a≤5)的税收.设每件产品的日售价为 x 元(35≤x≤41),根 据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最 大值.
x

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1

18.如图,点 A、 C 都在幂函数 y ? x 2 的图像上,它们的横坐标分别是 a、 B、 a+1、a+2 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记 △AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′的面积为 g(a) (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论
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y C B A

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o

A'

B'

C'

x

19. (1) 设函数 g ( x ) ?

x ?1 2

(x ? R) , n c 且数列 { c n } 满足 c 1 = 1, n ? g ( c n ?1 ) (n∈N, ? 1 );

求数列 { c n } 的通项公式. (2)设等差数列 { a n } 、 {b n } 的前 n 项和分别为 S n 和 T n ,且
Sn Tn ? An ? 1 2n ? 7 a3 b4 ? b6 ? a7 b 2 ? b8

?

2 5





S 2 ? 6 ;求常数

A 的值及 { a n } 的通项公式.

(3)若 d n

?a n ? ? ? ?c n ?

( n 为正奇数 ) ( n 为正偶数 )

,其中 a n 、 c n 即为(1)、(2)中的数列 { a n } 、 { c n } 的第 n 项,

试求 d 1

? d2 ?? ? dn



20.已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? 2 x ? 2 . (1)试判断 F ( x ) ? ( x ? 1) f ( x ) ? g ( x ) 在 [1, ?? ) 上的单调性;
2

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(2)当 0 ? a ? b 时,求证函数 f ( x )( a ? x ? b ) 的值域的长度大于 n]的长度定义为 n-m) .

2 a (b ? a ) a
2

?b

2

(闭区间[m,

参考答案: 1、3 ; 2、 ?
24 7



3、钝角三角形 ; 4、 ? 9 a ; 5、 3 ; 6、 ? ; 7、 , 8、
11 18

1 7 3 9





9、-2009; 10、 a ? c ? b ; 11、120°; 12、 6 0 ,
0

3 2

13、 ? 1 14、 1 ? m ? 3 15、解:(1) ∵ A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 x ?
5 5 3 4 y r 3 5 ? 4 5

,y ?

4 5

,r ? 1 ; (2分) (6 分)

∴ sin ? COA ?

, cos ? COA ?

x r

?

3 5
0



(2) ∵三角形 AOB 为直角三角形, ∴ ? AOB ? 90 , 又由(1)知 sin ? COA ?
4 5

, cos ? COA ?

3 5



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∴ cos ? COB ? cos( ? COA ? 90 ) ? ? sin ? COA ? ? ∴在 ? BOC 中,
BC
2

?

4 5



(10 分)

? OC

2

? OB

2

? 2 OC ? OB ? COS ? BOC ? 1 ? 1 ? 2 ? ( ?

4 5

)?

18 5



∴ BC ?

3 10 5



(14 分)

16、解:由幂函数 y ? x 又幂函数 y ? x
p ?3

p ?3

( p ? N ? ) 在 ( 0 , ?? ) 上是减函数,得 p ? 3 ? 0 ,即 p ? 3 ;

( p ? N ? ) 的图象关于 y 轴对称,∴ p ? 3 为偶数,∴正整数 p=1.
p 3 p 3 1 3 1

( 所以不等式 ( a ? 1) < ( 3 ? 2 a ) 即为 ( a ? 1) ? 3 ? 2 a ) 3 ;又因为
2 3 2 3

1 3

? 0,

所以 a ? 1 ? 3 ? 2 a ,解得 a ?

;故 a 的取值范围是 ( ?? , ) .

17、解: (1)设日销售量为

k e
x

,则

k e
40

? 1 0,? k ? 1 0 e , 则 日 售 量 为
40 40

10e e
x

40

件.

(3 分)

则日利润 L ( x ) ? ( x ? 3 0 ? a ) (2) L ( x ) ? 1 0 e
' 40

10e e
x

? 10e

40

x ? 30 ? a e
x



(6 分)

31 ? a ? x e
x


'

(8 分)

∵4<a≤5 时,∴35≤a+31≤36, 令 L ( x ) ? 0, 得 x ? a ? 31, 易知 L(x)在[35, a +31]上为增函数,在[ a +31,41]上为减函数; ∴当 x ? a +31 时,L(x)取最大值为 1 0 e 答: (1)所求函数关系式为 L ( x ) ? 10 e
40
9?a

(10 分)

. ;

(12 分)

x ? 30 ? a e
x

(2)当每件产品的日售价为 a +31 元时,该商品的日利润 L(x)最大,且 L(x)的最大 值为 1 0 e
9?a



(14 分)

18、解:(1)连结 AA′、BB′、CC′, 则 f ( a ) ? S ? A B ?C ? S 梯 形 A A ?C ?C ? S ? A A ?B ? ? S ? C C ?B ? ? ( A A ? ? C C ? ) ? 2 ?
2 1 1 2 A A? ? 1 2 CC ?

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1 1 ? ( A A ? ? C C ?) = ( a ? 2 2

a ? 2 ),

g(a)=S△A′BC′=

1 2

A′C′·B′B=B′B= a ? 1
1 2 1 2 ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1)

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(2) f (a ) ? g (a ) ? ?

[( a ? 2 ?

a ? 1) ? ( a ? 1 ?

a )]

?

1 2

(

1 a?2 ? a ?1

?

1 a ?1 ? a

) ? 0,

∴f(a)<g(a)

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19、解:(1) 由题意: c n ? ∴数列 { c n
? 1} 是以

1 2

( c n ? 1 ? 1)

,变形得: c n ? 1 ?
?1? 2

1 2

( c n ? 1 ? 1)



(1 分) (3 分)

1 2

为公比, c 1
1

为首项的等比数列. (5 分)

∴cn ? 1 ? 2 ? ( )
2

1

n ?1

,即 c n ? ( ) n ? 2 ? 1 .
2

(2) ∵由等差数列 { a n } 、 {b n } 知: b 4 ? b 6 ? b 2 ? b 8 ? 2 b 5 , a 3 ? a 7 ? 2 a 5 ; ∴由
a3 b4 ? b6 ? a7 b 2 ? b8 ? 2 5

得:

a5 b5

?

2 5



(6 分)

a1 ? a 9



S9 T9

?

2 b1 ? b 9 2

?9 ? ?9

a5 b5

?

2 5

,∵

Sn Tn

?

An ? 1 2n ? 7

,∴

9A ?1 2?9? 7

?

2 5

,解得 A ? 1 ;

(8 分) ∴
Sn Tn ? n ?1 2n ? 7 ? n ( n ? 1) n(2n ? 7)

, S n 和 T n 分别是等差数列 { a n } 、 {b n } 的前 n 项和; ∵S2 ? 6 , (10 分)

T ∴可设 S n ? kn ( n ? 1) , n ? kn ( 2 n ? 7 ) ;

∴k

? 1 , Sn ? n 即

2

?n

.

当n

? 1 时, a 1 ? S 1 ? 2



当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? [( n ? 1) 2 ? ( n ? 1)] ? 2 n .
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综上得: a n (3)当 n
? 2k ? 1

? 2n

.
*

(12 分)

( k ? N )时,

d 1 ? d 2 ? ? ? d n ? ( a 1 ? a 3 ? ? ? a 2 k ?1 ) ? ( c 2 ? c 4 ? ? ? c 2 k )

? 2 ( k ? 1)

2

?

4 3
*

[1 ? (

1 4

) ]? k ?

k

n

2

? n ? 2 2

?

4 3

[1 ? (

1 2

)

n ?1

]

(14 分)

当n

? 2k

( k ? N )时,

d 1 ? d 2 ? ? ? d n ? ( a 1 ? a 3 ? ? ? a 2 k ?1 ) ? ( c 2 ? c 4 ? ? ? c 2 k )

? 2k

2

?

4 3

[1 ? (

1 4

) ]? k ?

k

n

2

? n 2

?

4 3

[1 ? (

1 2

) ].
n

(16 分)

20、解: (1)∵ F ( x ) ? ( x ? 1) f ( x ) ? g ( x ) ? ( x ? 1) ln x ? (2 x ? 2) ,
2 2

(1 分)

∴ F ? ( x ) ? 2 x ln x ? ( x ? 1) ?
2

1 x

? 2 ? 2 x ln x ?

( x ? 1) x

2



(3 分)

∴ x ? 1 时 F ?( x ) ? 0 , x ? 1 时 F ?( x ) ? 0 ; ∴函数 F ( x ) 在 [1, ?? ) 上为增函数.
2x ? 2 x ?1
2

(5 分) (7 分) (9 分)

(2)由(1)知 当 x ? 1时 , F ( x ) ? F (1), 又 F (1) ? 0,? F ( x ) ? 0 ; 即 ( x ? 1) ln x ? ( 2 x ? 2 ) ? 0 ,
2

∴ ln x ? ∴
b a ?1,

(﹡)

令x ?

b a



∵0 ? a ? b ,
2? ? b b a
2

(11 分)

∴由(﹡)式得 ln

b a

?2

,即为 ln b ? ln a ?

2 ab ? 2 a a
2

2

( ) ?1 a ∵函数 f ( x ) ? ln x ( a ? x ? b ) 的值域为 [ln a , ln b ] ,

?b

2



(13 分)

∴函数 f ( x )( a ? x ? b ) 的值域的长度为 ln b ? ln a , ∴函数 f ( x )( a ? x ? b ) 的值域的长度大于
2 a (b ? a ) a
2

(15 分) . (16 分)

?b

2

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