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圆的一般方程(2)讲义


诚实、正派、正直;树立远大 理想,要为人民多作贡献;做 有丰富感情的人,要因为我来 到世界上,而使别人更幸福。
新年教师寄语

圆的一般方程

【尝试1】
判断下列方程是否为圆的方程?

1. x 2 ? y 2 ? 0 2. 3.

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0

【引入】
圆的标准方程: ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2
把它展开得: x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? a 2 ? b2 ? r 2 ? 0 任何圆的方程都可以通过展开化成形如:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
的方程.



【问题1】
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0


形如①的方程的曲线是否都是圆么?

【尝试2】
2 2 试讨论方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ①是圆的方程的条件. 将①配方法,得:

D? ? D? D2 ? E 2 ? 4F ? ?x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ?
2 2



2 2 (1)当 D ? E ? 4F ? 0 时, ②表示以为 ? ? D , E ? 圆心、 ? ? ? 2? ? 2 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 以 2 D E D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, ②表示一个点? ? , ?; ? ? ? (2)当

?

2

2?

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,②不表示任何曲 线.

圆的一般方程的定义:
2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时, ②表示以为 ? ? D , E ? 圆心、 ? ? ?

?

2

2?

1 此时①称作圆的一般方 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 以 2 程.
即称形如:

x 2 ? y 2 ? DE ? Ey ? F ? 0 D2 ? E 2 ? 4F ? 0
的方程为圆的一般方 程.

?

?

x 2 ? y 2 ? 2ax ? b2 ? (a.b不同时为零) 0 一.方程 表示什么曲线?为什么? 求圆心坐标和半径。
2 2 2 解:由 x ? y ? 2ax ? b ? 0 配方得 ( x ? a)2 ? y 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? 0 而 a ,b不同时为零,所以 方程 x 2 ? y 2 ? 2ax ? b2 ? (a.b不同时为零) 0 是表示以(- a ,0)为圆心为半径的圆.

二.若方程 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4 y ? 2a 2 ? 0 表示的曲线是圆, 求圆心坐标和半径。 求a的取值范围。
2 2 2 解:将方程配方得: ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4 ? a
2 由 4 ? a ? 0 得: ? 2 ? a ? 2 当 ? 2 ? a ? 2 时方程表示的是以(?a,2) 为圆心, 4 ? a 2 为半径的圆。

【问题2】圆的一般方程的特点,与圆的标准方程的异
同. Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程的特点 : (1)x 2 和 y 2的系数相同,都不为0. (2)没有形如 xy 的二次项. 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋: (1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和 半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构, 更适合方程理论的运用.

【例题1】
求过三点O(0,0),M1(1,1 ), M 2 (4,2 ) 的圆的方程,并求其圆心坐标和半径。

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 解:设所求圆的方程为 因为O,M1,M2,在圆上,所以有 F=0
D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解得F=0,D=-8,E=6,于是所求方程是 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 圆心坐标是(4,-3),半径r=5.

【归纳小结】
1.步骤:(1)依题意设出待定系数方程 (2)列出关于待定系数的方程(组) (3)解方程(组)得出系数,写出所求方程

2.方程形式的选用:给出圆上的点时,用一般方程; 易求圆心和半径时用标准方程。

【练习2】
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线是以(-2,3) 1.方程 为圆心,4为半径的圆,求D,E,F的值. (4,-6,-3)

2.求过点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的 ( x 2 ? y 2 ? 7 x ? 3 y ? 2 ? 0) 方程。

已知一曲线与两个定点O(0,0),A(3,0)距离之比 【例题2】 为1 : 2.求此曲线的方程,并画出该曲线. 解:设M(x,y)是曲线上的任意一点, 则点M所属集合为:
P ?

y

?

M

OM 1 ? AM 2

?

即:

x2 ? y2 ( x ? 3) ? y
2 2

1 ? 2

.
C -1

o

x

2 2 整理化简得: x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 配方得: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4

所以所求的曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆(如图)

例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在 圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹 方程,

相关点法

相关点法步骤:

?1? 设被动点M(x,y),主动点Q(x0 ,y0) ? I?
? x ? f1 ? x0 , y0 ? ? ? 2 ? 求出点M与点Q坐标间的关系 ? (II) ? y ? f 2 ? x0 , y0 ? ? ? x0 ? g1 ? x, y ? ? ? 3? 从 ? I ?中解出 ? ? y0 ? g 2 ? x, y ? ?

? 4? 将(II)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),
化简得被动点的轨迹方程。

【小结】
(1)圆的一般方程及其特点. (2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程, 求圆心坐标和半径.(也可以用公式求) (3)用待定系数法求圆的方程. (4)用直译法求轨迹或轨迹方程

【作业】

P124:A5.6 B1.2.3 完成预习讲义


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