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2014江门一模理数


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027 高考网有详解

江门市 2014 年高考模拟考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 2. 做 选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 独立性检验临界值表

P( K 2 ? k0 )

0.50
0.455

0.25
1.323

0.10
2.706

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

k0

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i ( i 是虚数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.从 2、3、5、7 这四个质数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ,则 f (1) ? A. 1 B. ? 1 C. 3 D. ? 3

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4.将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据 整理成如图 1 所示的茎叶图,由图 1 可知 A.甲、乙两队得分的平均数相等 B.甲、乙两队得分的中位数相等 C.甲、乙两队得分的极差相等 D.甲、乙两队得分在 [ 30 , 39 ) 分数段的频率相等
甲 4 6 2 5 3 3 6 8 3 7 9 图1 1 3 2 3 4 3 3 5 1 2 乙 2

4

5

5 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 OA ? (?1 , t ) ,

OB ? (2 , 2) ,若 ?ABO ? 900 , 则 t ?
A. 2 B. 4 C.5 D. 8

6.已知两条不重合直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则“ l1 // l 2 ”是“ k1 ? k 2 ”成立 的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件
E

D1 C1 B1

A1

7.如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 棱 CC1 的中点, F 是侧面 B1 BCC1 上的动点, 并且 A1 F // 平面 AED 1 ,则动点 F 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段

D

A
B

C

图2

8.设函数 f ( x) ? x ? sin x ? 2 ,g ( x) ? e x ? ln x ? 2 ,若实数 a ,b 满 足 f (a) ? 0 , g (b) ? 0 ,则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b) B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0

开始

k ? 2, S ?1

S ? S ? logk (k ? 1)
k ? k ?1 k ?8


明师教育-中小学课外辅导卓著机构 www.mingshiedu.com 否 输出 S 结束

图3

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二、填 空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 . 则命题 p 的否定 ? p : 10.执行如图 3 的程序框图,输出的 S ? 11.定积分 ? | x | dx ?
?1 1

. .



12.已知直线 l 过点 A(2 , 1) 和 B(1 , m 2 ) ( m ? R ), 则直线 l 斜率的取值范围是 倾斜角的取值范围是 . ,

13.某个部件由三个元件如图 4 方式连接而成,元件 A 或元件 B 正常工作,且元件 C 正常工作,则部件正
1 常工作.若 3 个元件的次品率均为 ,且各个元件 3
A B

C 图4

相互独立,那么该部件的次品率为



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

?x ? t 2 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的参数方程为 ? ? y ? 2t ( t 为参数),以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,直角坐标系的长度单位为 ? 长度单位建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? m . 若直线 l 经过抛 4 物线 C 的焦点,则常数 m ? . A
15.(几何证明选讲选做题)如图 5, AB 是圆 O 的弦, CD 是 AB 的垂直平分线,切线 AE 与 DC 的延长线相交于 E .若 AB ? 24 ,
E

C
B

O

D

图5
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AE ? 20 ,则圆 O 的半径 R ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ⑴求 f (0) 的值; ⑵若将 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得到的曲线恰好经过坐标原 点,求 ? 的最小值.

?
6

) ?1, x ? R .

17.(本小题满分 14 分) 随机询问某大学 40 名不同性 别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到如下 列联表:
性别与读营养说明列联表 男 读营养说明 不读营养说明 总计 16 4 20 女 8 12 20 总 计 24 16 40

⑴根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认 为性别与是否读营养说明之间有关系? ⑵从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到男生人 数 ? 的分布列及其均值(即数学期望).

n(ad ? bc) 2 (注: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量.) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

18.(本小题满分 14 分) 如图 6, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? 3 ,

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AD ? 2 , AB ? 4 , ?ABC ? 600 .

⑴求证: AD ? PC ; ⑵ E 是侧棱 PB 上一点,记 PE ? ? PB ,是否存
A D E ?若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由.
P

在 实 数 ? , 使 PC ? 平 面
E

A

B

D
图6

C

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , ?n ? N ? , an?1 ? ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵求证: ?n ? N ? , ? ai ? 3 .
2 i ?1 n

2a n . 2 ? an

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 ? 的焦点为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,点 M (1 , ⑴求椭圆 ? 的方程; ⑵设双曲线 ? :
x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的顶点 A 、 B 都是曲线 ? 的顶点,经 a2 b2
3 ) 在椭圆 ? 上. 2

过双曲线 ? 的右焦点 F 作 x 轴的垂线,与 ? 在第一象限内相交于 N ,若直线 MN 经过坐 标原点 O ,求双曲线 ? 的离心率.

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21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数.试证明: ⑴ ?a ? R , y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条切线; ⑵ ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?
f (e) ? f (1) . e ?1

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评分参考(理科)

一、选择题

BCAA CDDB

二、填空题

⒐ ?x0 ? R (3 分), x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ( x0 写作 x 亦可,但要统一,否则只计 1

2

处得分; ? 写作 ? 扣 1 分) ⒑ 3 ⒒ 1 ⒓ (?? , 1] (3 分), [0 ,

?
4

]? (

?
2

, ? ) (1 分+1 分)

⒔ 三、解答题

11 27



2 2

⒖ 15

⒗⑴ f (0) ? 4 cos 0 sin

?
6

? 1 ? 4 ?1?

1 ? 1 ? 1 ??4 分(代入 1 分,三角函数值 2 分,结果 1 分) 2

⑵向右平移 ? 个单位,所得到的曲线为 y ? 4 cos( x ? ? ) sin( x ? ? ?

?
6

) ? 1??6 分

曲线经过坐标原点,得 4 cos( ?? ) sin( ?? ?

?
6

) ? 1 ? 0 ??7 分

化简(和差化积或积化和差),得 sin( 2? ?

?
6

) ? 0 (或 tan 2? ?

3 )??10 分 3

2? ?

?
6

? k? , k ? Z ??11 分, ? ?

? k ? ? ? , ? 的最小正值为 ? ? ??12 分. 12 2 12

(若学生在第⑴问化简函数,则相应的分值仍然计入第⑵问) ⒘⑴由表中数据,得 k ? 比较 1 分), 因此,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为性别与读营养说明有关??5 分 ⑵ ? 的取值为 0,1,2??6 分

40 ? (16 ? 12 ? 8 ? 4) 2 ? 6.67 ? 6.635??4 分(列式 2 分,计算 1 分, 24 ? 16 ? 20 ? 20

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P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C12 C12 ? C4 C4 11 2 1 , , ??12 分 ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 5 C16 20 C16 C16 20

? 的分布列为

?
P

0

1

2

11 20

2 5

1 20

?? 13 分

? 的均值为 E? ? 0 ?

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? ??14 分. 20 5 20 2

⒙⑴连接 AC ,则 AC ?

AB2 ? BC2 ? 2 ? AB ? BC ? cos?ABC ? 2 3 ??1 分

(方法一) PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC ??2 分

PB ? PA2 ? AB2 ? 5 , PC ? PA2 ? AC 2 ? 21??3 分
PB2 ? PC 2 ? BC 2 ,所以 ?PCB ? 900 , BC ? PC ??4 分
因为 AD // BC ,所以 AD ? PC ??5 分
2 2 2 0 (方法二) CD ? AD ? AC ,所以 ?CAD ? 90 , AD ? AC ??2 分

PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AD ??3 分
因为 PA ? AC ? A ,所以 AD ? 平面 PAC ??4 分 因为 PC ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC ??5 分 ⑵(方法一)过 C 作 CF ? AB 于 F ,则 CF ? 平面 PAB ??6 分 连接 PF ,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ??7 分 又 CF ? AE ,所以 AE ? 平面 PCF ??8 分, AE ? PF ??9 分 依题意, BF ?

1 BC ? 1 ,所以 AF ? 3 , AF ? PA ??10 分, AE 是 ?PAF 的平分线,从 2

而也是 ?PAB 的平分线??11 分

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在 ?PAE 和 ?ABE 中,

PE PA BE AB ? ? , ??12 分 sin ?PAE sin ?PEA sin ?BAE sin ?BEA

所以

PE 3 3 PE PA 3 ? ,即所求 ? 的值为 ??14 分. ? ? ??13 分, PB 7 7 BE AB 4

(方法二)在平面 ABCD 内过点 A 作 AF ? CD ,以 A 为原点, AF 、 AB 、 AP 所 在直线分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系??6 分 则 A(0 , 0 , 0) , B(0 , 4 , 0) , P(0 , 0 , 3) ??7 分, C( 3 , 3 , 0) ??8 分 设 E (a , b , c) ,由 PE ? ? PB 得, (a , b , c ? 3) ? ? (0 , 4 , ? 3) ??9 分 解得 a ? 0 , b ? 4? , c ? 3 ? 3? ??10 分 由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ??11 分,即 PC ? AE ? 0 ??12 分 所以 ( 3 , 3 , ? 3) ? (0 , 4? , 3 ? 3? ) ? 3 ? 4? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ??13 分 解得 ? ?

3 ??14 分. 7

(方法三)过 E 作 EF // BC ,交 PC 于 F ,连接 DF ,则平面 ADE 即平面 ADFE ??6 分,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? DF ??7 分 由⑴及余弦定理得

PC 2 ? PD2 ? CD 2 9 ??9 分 cos?CPD ? ? 2 ? PC ? PD 13 ? 21
9 21
??12 分

所以 PF ? PD ? cos?CPD ?

PF ? PC

9 21 ? 21

?

PE PF 3 3 ? ? ??14 分. ??13 分,又 EF // BC ,所以 ? ? PB PC 7 7

⒚⑴由 a n ?1 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 ,得 ? ? ??1 分, ? ? ??2 分 a n ?1 a n 2 a n ?1 a n 2 2 ? an

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所以 ?

?1? 1 1 ? 1 ,公差 d ? 的等差数列??3 分 ? 是首项 2 an ? an ?

2 1 n ?1 n ?1 ? ??4 分,所以 ?n ? N , a n ? ??5 分 ? 1? ? n ?1 an 2 2
⑵(方法一) a n ?
2

2 2 4 4 4 ??6 分, ? ? ??7 分 ? 2 ? 2 2 n n?2 (n ? 1) n ? 2n ? 1 n ? 2 n

n ? 4 时,由以上不等式得

?a
i ?1

n

2 i

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?( ? ) ??9 分 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2

?

2 2 2 2 ? ? ? ??10 分, ? 3 ??11 分 1 2 n ?1 n ? 2

n ? n 2? 2 因为 ?? ai ? 是递增数列,所以 ?n ? N ? , ? a n ? 3 ??12 分. i ?1 ? i ?1 ?

(方法二) a n ?

2

4 4 4 4 ??6 分, ? ? ??7 分 ? 2 n n?2 n(n ? 1) (n ? 1)

n ? 2 时,由以上不等式得

?a
i ?1

n

2 i

4 4 4 4 4 4 2 ? 1 ? ? ai ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ??9 分 2 3 3 4 n n ?1 i ?2

n

? 1?

4 4 ? ??10 分, ? 3 ??11 分 2 n ?1

n ? n 2? 2 因为 ?? ai ? 是递增数列,所以 ?n ? N ? , ? a n ? 3 ??12 分. i ?1 ? i ?1 ?

⒛⑴椭圆 ? 的焦距 2c1 ?| F1 F2 |? 2 ??1 分 长轴 2a1 ?| MF1 | ? | MF2 |?

22 ?

9 3 ? ? 4 ??4 分 4 2
x2 y2 ? ? 1 ??6 分 4 3

椭圆 ? 的短轴 2b1 ? 2 3 ??5 分,所以椭圆 ? 的方程为

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⑵设双曲线 ? 焦距为 2c ,依题意,

c 2 | FN | 2 b2 ? ? 1 | FN | ? ?? 7 分, ??8 分 a a2 b2

(方法一) N (c ,

3 b2 ) ??9 分,直线 OM 的方程为 y ? x ??10 分 2 a

O 、 M 、 N 共线,所以

1 3 b2 3 c2 ? a2 3 ? c ?? 11 分,即 ? ?? 12 分, e ? ? , e 2 a 2 ac 2

1 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ??13 分,解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ? 舍去)??14 分. 2
(方法二)依题意, ?OF2 M ~ ?OFN ??9 分,

| F2 M | | FN | ??10 分 ? | OF2 | | OF |

所以

1 3 3 b2 c2 ? a2 3 ? ? ??12 分, e ? ? , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ??13 分, ??11 分,即 e 2 2 ac ac 2
1 舍去)??14 分. 2

解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ?

21.⑴ f ( x) ? 2 x ? a(1 ?
/

1 ) ??1 分,直线 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 的斜率 k ? 2(a ? 1) ??2 分,由 x

1 2 x ? a (1 ? ) ? 2(a ? 1) ,取 x ? 1 ??3 分 x

f / (1) ? 2a ? 2 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1 , f (1)) 的 切 线 为 y ? f (1) ? (2a ? 2)(x ? 1) , 即
y ? (a ? 1)(2 x ? 1) ,所以 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线??4 分
⑵直接计算知

f (e) ? f (1) a ? e ?1? a ? ??5 分 e ?1 e ?1 f (e) ? f (1) a a ? 2 x ? (e ? 1) ? ? ??6 分 e ?1 x e ?1

/ 设函数 g ( x) ? f ( x) ?

g (1) ? 1 ? e ? a ?

a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ??7 分 ? e ?1 e ?1

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g (e) ? e ? 1 ?

a a e(e ? 1) 2 ? a ?? 8 分 ? ? e e ?1 e(e ? 1)

当 a ? e(e ? 1) 2 或 a ?

(e ? 1) 2 [a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] 时, g (1) g (e) ? ? e?2 e(e ? 1) 2

? 0 ??10 分,因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 ,
即 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

f (e) ? f (1) ??11 分; e ?1



(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时,g (1) 、g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、g (e) 之中至少一个为正??12 分, e?2
a ? e2 ?1 ,等号当且仅当 x ? e ?1

由均值不等式知, g ( x) ? 2 2a ?

a ? (1 , e) 时成立,所以 g ( x) 有 2
, 且







m ? 2 2a ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? e ?1 e ?1

m?

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) ? ? 0 ?? 13 分,此时存在 e ?1 e ?1

? ? (1 , e) ( ? ? (1 ,
使 f / (? ) ?

a a ) 或? ? ( , e) ),使 g (? ) ? 0 。综上所述,?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) , 2 2

f (e) ? f (1) ??14 分. e ?1

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