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2010年全国高中数学联赛天津预赛试题


2010 年全国高中数学联赛天津预赛
一、填空题 1.设实数 a、b、c 满足 a2-bc-2a+10=0,b2+bc+c2-12a-15=0, 则 a 的取值范围是 2.满足 a2+ab+b2=2010 的正整数解(a , b)构成的集合为 3.已知 x1,x2,... ,x2010 均为正实数, 则 x1 ?
x2 x1 ? x3 x1 x 2 ? ... ? x 2010 x 1 x 2 ... x 2009 ? 4 x 1 x 2 ... x 2010

的最小值为

4.已知非等腰△ABC 的外心、内心和垂心分别为 O、I、H,∠A=600.若的三条 高线分别为 AD、BE、CF,则△IOG 的外接圆半径与△DEF 的外接圆半径之比 为 5.在一个房间中,地面是边长为 6m 的正方形,其中心设为 O,要在正对着 O 的 房顶安装一盏灯 V,已知灯照射的角度为 900(所有由 V 照射出的光线的边界所 夹角度的最大值, 即光线的边界与 VO 的夹角为 450) 若使房间的每个地方都能 , 照到,VO 的最小值为 m。

6.若关于 x 的函数 f(x)=|x-[x+a]|存在最大值 M(a),则正实数 a 的取值范围 是 ,其中[y]表示不超过 y 的最大整数。
x2 a2 y2 b2

7.双曲线

?

? 1 的右焦点为

F,直线 l:y=kx+d 不过点 F,且与双曲线的右支

交于点 P、Q,若∠PFQ 的外交平分线与 l 交于点 A,则点 A 的横坐标为 8.a1,a2,a3, 4, 5 是 1, 3,4, 的一个排列,且满足| ai - ai+1 |≠1 (i=1,2,3,4), a a 2, 5 则满足条件的排列 a1,a2,a3,a4,a5 的数目为 二、解答题 9.设△ABC 的外心、内心分别为 O、I,∠A、∠B、 ∠C 内的旁心分别为 I1、I2、I3,证明: (1)△I1I2I3 为锐角三角形; (2)若△I1I2I3 的外心为 O’,则 O’、O、I 三点共 线。

10.已知有理数数列{an}(n = 0, 1, 2, …) 满足 a n ? ? ? x ? ? ? x ? 0 (n = 0, 1,
1 2

n

n

2, …),其中 α、β 为实数,x1,x2∈C(C 为复数集) ,且 x1x2=1,证明: (1)x1 + x2 为有理数; (2)若 x1x2 不是实数,则 α=β

11.正五边形 ABCDE 的对角线 BE 分别与对 角线 AD、AC 交于点 F、G,对角线 BD 分 别与对角线 CA、CE 交于点 H、I,对角线 CE 与对角线 AD 交于点 J,设由图中 10 个 点 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J 和线 段构成的等腰三角形的集合为 M (1)求 M 中元素的个数; (2) 若将这 10 个点中每个点任意染色为红 蓝两种颜色之一,问是否一定存在 M 中的 一个等腰三角形,其三个顶点同色? (3) 若将这 10 个点中的任意 n 个点染为红 色,使得一定存在 M 中的一个等腰三角形, 其三个顶点同为红色,求 n 的最小值。


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