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数学奥林匹亚学科竞赛


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數學奧林匹亞學科競賽
中研院統計所傅承德 臺大數學系陳宏代為報告
12/

20/2004





? 國際數學奧林匹亞競賽之源起與現況 ? 台灣數學奧林匹亞競賽之源起與現況
– 奠基:台灣師範大學數學系 – 現況:中央研究院統計科學研究所

? 培訓之必要性
– 就學管道

? 數學新血之培育
– 數學資優教育 – 競賽之必要性

? 參考資料

國際數學奧林匹亞競賽
(International Mathematics Olympiad:IMO)
? 源起:1959年首度在羅馬尼亞舉辦,與賽者只有來自東歐及蘇 聯的七個國家代表。
– 1992年台灣首度成為數學及化學科會員國 – 於1998年台灣首次主辦國際數學奧林匹亞競賽

? 國際奧林匹亞競賽
– 目前共有數學、物理、化學、生物、資訊、天文等六個學科競賽 – 各科都有一個總會獨立運作,其會員國數目、命題等方式都不盡相同。 – 1994年成為物理科會員國、1996年成為資訊科會員國,並於1999年成為 生物科會員國。

? 相關訊息
– http://www.stat.sinica.edu.tw/olympiad/ – http://www.math.ntnu.edu.tw/olym/ – International Science Olympiads:http://olympiads.win.tue.nl/ – The International Mathematical Olympiad (IMO):http://imo.math.ca/

台灣數學奧林匹亞競賽之源起
? 開創:中研院陳省身院士,於1990年11月2日拜訪行政院,並 建議我國應提升數學水準,每年舉辦優秀高中應屆畢業生全國 性考試,加以選拔、訓練,以參加世界性數學競賽。
– 同年12月7日邀請專家學者研商其可行性,會中決議 ? 國際數學奧林匹亞競賽部份請劉豐哲教授(時為數學會理事長)接洽 ? 亞太地區數學奧林匹亞競賽(簡稱APMO)部份請陳教授昭地(時為臺 師大數學系系主任)聯繫。

? 一九九一年參加亞太數學奧林匹亞競賽。 ? 教育部乃依亞太數學奧林匹亞競試章程之規定,成立委員會並 委請師大數學系籌劃競賽事宜。
– 由陳教授昭地邀集國內數學專家學者並整合高中教師之力量,辦理中華 民國參加一九九一年第三屆亞太數學奧林匹亞競賽,於同年四月三十日, 選送十位最優學生答案卷代表參加,獲團體第二名(與第一名僅差0.5 分)。 – 教育部於1991年二月接獲一九九一年第三十二屆國際數學奧林匹亞競賽 主辦國瑞典之邀請,並由國科會科教處顏前處長啟麟、數學會劉前理事 長豐哲及臺師大數學系陳前主任昭地以觀察員身份參與。

? 於一九九二年起參加國際數學奧林匹亞競賽
– 成立「中華民國數學奧林匹亞委員會」。

奠基:台灣師範大學數學系時期
? 工作:甄選與培育選手 ? 工作內容包括
– 選手培育:蒐集國外相關試題、自行編製訓練教材、安排相關領域教授 擔任理論及實驗的培訓工作等。 – 選手甄選:蒐集國外相關試題、命題選拔選手。 – 國手出國競賽:由教授擔任領隊、副領隊,除照顧學生身心外,也需負 責參加選題會議、試題翻譯、閱卷及成績協調。

? 成效
– 參與此類國際競賽活動,提供數理資優學生很好的觀摩機會及極大的挑 戰。 – 獲得優勝,是個人與國家的榮譽。 – 選拔選手的過程帶動了中學數理教育的紮根工作,並提升了中等科學教 育的品質。

? 1992年至2001年十年間,共選派學生183人次參加國際奧林匹 亞數理學科競賽,其中得獎學生人次達175人,實際得獎學生 人數有157人,共獲得三十七面金牌、八十五面銀牌、四十二 面銅牌及十一項榮譽獎。提昇了我國在國際科學教育界的能見 度。

目標
(一)檢視我國數學教育之國際地位,作為國內中學數學資優 教育整體績效檢驗。 (二)發掘數學天賦之學生,激勵其才能,鼓勵國人在數學方 面發展潛能,提高國人學習數學興趣。 (三)經由國際交流活動,促進國際間數學教學資料及教學經 驗之交流,作為改進我國數學教育之參考。 (四)參加國際活動,增進國際合作關係,促進國際對我國友 好關係,並爭取國家榮譽,提昇我國國際地位等四項功 能。

執行
?結合國內高中、大學、學會及中央研究院等數學界力量 ?辦理國際數學競賽 – 增進我國國際性之學術能力 – 帶動中學生學習數學興趣 – 提昇數學教育水準

2004年IMO競賽代表隊選拔流程圖
? 亞太數學奧林匹亞研習營:93年2月13日~2月15日 ? 亞太數學奧林匹亞競賽(參加者約80~100位) :93年3月16日 ? 初選階段IMO選訓營 (選出15位為原則):93年3月26日~3月31日 ? 第一階段IMO選訓營 (0~3位國手,7~10位準國手) : 93年4月9 日~ 4月14日 ? 第二階段IMO選訓營 (選出6位國手,2位候補) : 93年4月23日 ~4月28日 ? IMO五次培訓營: 93年5月7日~7月2日 ? 2004年IMO競賽: 93年7月6日~7月18日希臘、雅典

APMO-IMO訓練計畫

? 前置作業
– 10月30日試題組徵題作業開始 – 1月2日~1月4日配合辦理教育部之高中數學科能力競賽 – 1月25日試題選題作業開始,分四類由選題小組開始進行選題工作。

? APMO競試
– 2月13 ~ 15日:舉行亞太數學奧林匹亞研習 – 3月16日舉行競賽。(分中研院、高雄大學兩考場) – 3月26日(五)完成APMO成績審查會議及推薦20位參加IMO選訓營名單。

? IMO競賽
– 初選階段IMO選訓營(3月26~ 31日),選出15位選手為原則 – 第一階段IMO選訓營 (0~3位國手,7~10位準國手) : 4月9日~14日 – 第二階段IMO選訓營 (選出6位國手,2位候補) : 4月23日~28日 – IMO五次培訓營: 93年5月7日~7月2日 – 2004年IMO競賽: 93年7月6日~7月18日希臘、雅典

指導原則 ? 競試
– 擴大選才管道:前期作業;APMO競賽設置於台北、高雄 二地。 – 強化培訓:中、後期作業;尋求各數學系之協助。 – 提高獎勵

? 培養科學研究的精神
– APMO培訓:二、三月 ? 邀請專家學者講述個人研究課題與經驗 – IMO選訓:四月 ? 研究課題與競賽課題各半 – IMO培訓:五、六月

初選
1、九十二學年度教育部高級中學數學能力競賽決賽獲前三等獎 之學生。 2、經由設有數理資優班之高級中學推薦,每校至多一名。 3、前三年度亞太數學奧林匹亞及國際數學奧林匹亞國手代表(含 候補國手)學生所屬學校額外推薦,並以該校在前三年度中上 述得獎或代表學生扣除重複後之總數約三分之一為最高推薦 名額(尾數採無條件進位法計算)。 (以下4、5兩項以總數二十名為原則) 4、參加行政行政院國家科學委員會「高中資優學生培育計畫」 及教育部「基礎科學人才培育計畫」,數學表現特殊優異並 經由承辦單位數學指導教授或數學輔導教師推薦並經審查通 過者。 5、其他數學表現特殊優異,獲得中華民國數學奧林匹亞委員兩 人以上推薦並經審查通過者。

複選
1、曾代表中華民國參加國際數學奧林匹亞競賽者。 2、參加2004年亞太數學奧林匹亞競試成績優異(歷屆國手除外)之 學生(共十名)。 (以下3~4項總人數以十五名為原則) 3、參加中華民國亞太數學奧林匹亞研習營成績優異,經承辦單 位推薦者。 4、其他數學表現特殊優異具有具體事實,獲得中華民國數學奧 林匹亞委員2人以上之推薦並經審查通過者。

選訓營
? 見競賽計畫書第三頁乙及丙
乙、第一階段選訓營:由初選選訓營選出12~15名學生及曾代 表中華民國參加國際數學奧林匹亞競賽且符合參賽資格 者參加。 丙、第二階段選訓營:由第一階段選訓營中,選出準國手 8~10名參加。

決 選
? 國手代表選訓:由第二階段選訓營中,選出6名正選 代表及1~2名候補代表。

選訓之必要性

數學奧林匹競試範圍
? 幾何
– Properties of the orthocentre, Euler's line, nine-point-circle, Simson line, Ptolemy's inequality, Ceva and Menelaus etc.

? 組合
– Graph theory

? 代數
– Fundamental Theorems on Algebra, e.g. inequalities, factorization of a polynomial into a product of irreducible polynomials – Symmetric polynomials of several variables, Vieta's theorem

? 數論
– Fundamental Theorems on Arithmetic – Linear and quadratic Diophantine equations, including Pell's equation – Arithmetic of residues modulo n, Fermat's and Euler's theorems

培訓營專題
? 幾何 ? 基礎組合 ? 代數 ? 數論 ? 函數方程 ? Aproblem from the 1998 IMO: Let I be the incenter of triangle ABC. Let the incircle of ABC touch the sides BC, CA, and AB at K, L and M, respectively. The line through B parallel to MK meets the lines LM and LK at R and S, respectively. Prove that angle RIS is acute.

數學奧林匹亞試題徵求辦法
? 命題原則:
– 試題應有利於促進中學教學品質之提昇,及鑑定學生數學的運用能力。 – 試題應能培養學生獨立研究思考的習慣,提高學習興趣。 – 試題應具有合適的鑑定度,利於發掘數學特殊人才及培養人才。

? 試題要求:
– 以目前我國高級中學教材大綱範圍以內(微積分除外)的知識和能力的要 求為基準,解題所需知識不超過大綱範圍。 – 試題應有新意,避免老舊和容易的題目。因為前者陷入考古,不是亞太 數學奧林匹亞及國際數學奧林匹亞競賽的精神;後者則是因為容易的題 目,不能達到訓練選手的效果。

美國數學奧林匹亞暑期訓練營MOSP
? Provide a mathematics program for about 25 very promising students who have risen to the top on the American Mathematics Competitions. ? 擴大學生的數學視野,培育可能的美國奧數(IMO)選手隊。 ? Provide in depth enrichment in important mathematical topics to stimulate their continuing interest in mathematics and help prepare them for future study of mathematics. ? Coach the IMO team, which was selected on the basis of the USA Mathematical Olympiad and further IMO type testing taking place the first week of MOSP,
– to its highest level of performance in the IMO – to achieve an atmosphere of comradeship and cooperation among the team and other participants which brings about feelings of cooperation and pride.

? 4 weeks ? IMO選拔:the most talented high school students from over 80 nations compete in a two day examination.

美國數學協會 ( MAA)
? American Mathematics Competitions (AMC)
– Strengthen the mathematical capabilities of USA’s youth. – Identify, recognize and reward excellence in mathematics through a series of national contests.

? 全美中學數學分級能力測驗
– 八年級(AMC8)國中二年級以下或自學者十四歲以下學生踴躍參加 – 十年級(AMC10)國中三年級 – 十二年級(AMC12)高中二年級

? American Invitational Mathematics Examination (AIME)
– All students who took the AMC 12 and achieved a score of 100 or more out of a possible 150 are invited to take the AIME. – All students who took the AMC 10 and were in the top 1% also qualify for the AIME. – The AIME is a 15 question, 3 hour examination in which each answer is an integer number from 0 to 999.

? United States of America Mathematical Olympiad (USAMO)
– Approximately 250 of the top scoring AMC participants (based on a weighted average) are invited to take the USAMO.

數學奧林匹競試概況
? Taiwan 16, 7, 9, 8, 9, 5, 14, 20, 12 ? Japan 9, 16, 13, 15, 13, 14, 12, 22, 9 ? Vietnam 4, 5, 10 ? South Korea 6, 6, 4, 4, 7, 12, 11, 8, 7 ? Russia 5, 2, 2, 2, 1, 6, 4, 4, 3 ? USA 3, 3, 2, 3, 10, 3, 4, 4, 2, 11 ? China 2, 1, 1, 1, 1, #, 1, 6, 1

亞太數學奧林匹亞競賽得獎標準
? 得獎的最高限額數為[(N+1)/2],N為各委員國參與APMO競試者 總人數。
– 金牌獎的得分標準為≧M+σ – 銀牌獎的得分標準為≧M+1/3σ – 銅牌獎的得分標準為≧M-1/3σ – 其中M為所有APMO數學競試全體得分的平均值,σ為其標準差。

? 對任何一個會員國而言,其得獎數有如下的限制:
– 金牌獎的名額為≦1 – 金牌與銀牌獎合起來的名額為≦3 – 金牌、銀牌及銅牌獎合起來的名額為≦7

? 為紀念APMO創辦人O’Halloran博士之卓越貢獻,五道題皆得滿 分的學生可獲頒O’Halloran紀念獎牌。 ? 對於已經達到每年資深協調國與助理協調國諮商後訂定的標準 而未獲得銅牌獎以上之各參與國參賽代表,至少有一道題滿分 者,可以獲頒榮譽證書。

國際數學奧林匹亞競賽得獎標準
一、優勝獎可分作金牌、銀牌、銅牌三個獎級,約一半的參賽者 可穫優勝獎,其中金、銀、銅三個獎級之人數比約為1:2: 3;而其得獎標準每年依競試審判委員會開會訂之。 二、解題品質特殊優異者,可獲頒特殊獎。 三、至少有一道題得滿分而未達金、銀、銅三種獎牌成績者,可 獲頒榮譽獎。 競賽細節 一、採筆試方式,計有試題六道,每題七分,滿分為四十二分。 二、分兩天舉行,每天三道題,答卷時間限制為四小時三十分。 三、需自備直尺、圓規等作答文具,惟不得使用電算器和圖表。 國手培訓過程 ? 五月至七月初共舉辦五次培訓營 ? 七月中、下旬參加IMO競賽

高級中等學校學生參加國際數理學科奧林匹亞競賽
保送升學實施要點

一、本要點所稱國際數理學科奧林匹亞競賽,係指國際數學、物 理、化學、生物、資訊奧林匹亞競賽及亞太數學、亞洲物理奧 林匹亞競賽。 二、高級中等學校學生代表我國參加國際數理學科奧林匹亞競賽, 合於下列情形之一者,得申請保送大學就讀: (一)獲得國際數學、物理、化學、生物、資訊奧林匹亞競賽金 牌獎、銀牌獎者,得依其志願申請保送大學各本科系或理、工、 醫、農等相關學院各學系。 (二)獲得國際數學、物理、化學、生物、資訊奧林匹亞競賽銅 牌獎、榮譽獎或亞太數學奧林匹亞競賽金牌獎、銀牌獎、 O'Halloran獎或亞洲物理奧林匹亞競賽金牌獎、銀牌獎者,得 依其志願申請保送大學各本科系或理、工、農等相關學院各學 系。 (三)獲得國際數理奧林匹亞選訓決賽代表完成結訓者,或獲得 亞太數學、亞洲物理奧林匹亞競賽銅牌獎、榮譽獎者,得申請 保送各本科系。

保送升學實施要點
四、凡符合本要點之高級中等學校應屆畢業生,應於獲獎後一個 月內填具申請表、並檢具畢業證(明)書、獲獎證明文件影本 及歷年成績單,由就讀之高級中等學校逕送擬就讀大學申請保 送入學。 非應屆畢業生得保留保送資格,並於其畢業當學年度,依各大 學規定時間提出申請。 五、獲獎學生申請保送以二次為限,第一次申請保送未獲大學同 意入學者,方得提出第二次申請。 六、獲獎學生依本要點保送就讀大學之學系,經教育部審查認定 為原參賽項目之本科別,且符合下列條件者,由教育部發給獎 學金:
(一)獲得國際數學、物理、化學、生物、資訊奧林匹亞競賽金牌獎者,第 一學年發給獎學金新臺幣二十萬元,獲銀牌獎者發給獎學金新臺幣十萬元, 獲銅牌獎、榮譽獎或亞太數學奧林匹亞競賽金牌獎、銀牌獎、O'Halloran獎 或亞洲物理奧林匹亞競賽金牌獎、銀牌獎者,發給獎學金新臺幣五萬元。 (二)前款學生自第二學年度起,每學年度名列該學系該年級前三名者,依 序發給獎學金新臺幣二十萬元、十萬元、五萬元,至大學畢業為止。但不 包括延長修業年限。 依前項各款規定受領獎學金者,若轉學或轉系,自轉學(系)當學年度起, 不再發給獎學金。

台灣數學之資優教育
體制內與體制外

高中資優班
? 宜蘭縣 宜蘭高中 ? 台北市 中山女中、北一女中、建國高中 ? 台北縣 板橋中學 ? 桃園縣 武陵高中 ? 新竹市 科學園區實驗高中、新竹高中、新竹女中 ? 台中市 台中一中、台中女中、西苑中學、台中二中、忠明高 中、惠文高中、文華高中 ? 彰化縣 彰化高中、彰化女中 ? 嘉義市 嘉義女中、嘉義高中 ? 台南市 台南一中、台南女中 ? 高雄市 高雄中學、高雄女中 ? 高雄縣 鳳山高中、 ? 屏東縣 屏東高中、屏東女中 ? 花蓮縣 花蓮高中、花蓮女中

? 高中科學資優學生培育計畫
– 國科會與教育部 – 物理、數學、化學、生命科學與地球科學每一學門,邀請十位國內學者 專家擔任指導教授

? 國立高雄大學高中數學資優班
– 甄選對象:南部各縣市的公私立高中一、二年級學生

? 國立中山大學應用數學系
– 高雄區高中數學科資優生培育計畫

? 中興大學應用數學系 ??

數學能力競賽
? 教育部舉辦國中盃數學能力競賽 ? 教育部舉辦全國數學能力競賽 ? 俄羅欺環球城市數學競賽 ? 美國高中數學聯盟(ARML)數學競賽 ? 美國AMC數學競賽 ? 遠哲科學趣味競賽活動及體驗

全國中小學科學展覽會
? 自1960年開始辦理全國中小學科學展覽會 ? 1982年美國首度邀請我國參加其主辦的國際科技展覽會,簡稱 ISEF (International Science & Engineering Fair)
– 初期,由科教館自全國中小學科展作品中選派兩名學生代表出席參賽。 – 因我國學生參賽成績表現優異,美方乃自1989年起,自動將參賽名額從 原來的兩名增加為六名,分別由臺灣北、中、南三區各選兩名學生參賽。 – 有「中學生科學奧林匹亞比賽」之稱的ISEF 為具最高水準之國際科學展 覽競賽

? 科教館自1991年起,開始單獨辦理「參加國際科學展覽活動」 的國內選拔。
– 同年起,相繼有加拿大、香港、新加坡、泰國、紐西蘭、南非、墨西哥、 德國及法國等國家,分別邀請我國參加該國的科學展覽活動。其中以, 該競賽活動今年已邁入第五十三屆。

IMO競賽試題範圍
? 參看http://matholymp.com/TUTORIALS/tutorials.html ? 數論:
– 算術基本定理 – Linear and quadratic Diophantine equations, including Pell's equation
? You are a student of Hypatia in ancient Greece. Hypatia sends you to buy exactly 90 clay tablets for a class project. Clay tablets come in 3-packs and 5packs. What are possible combinations of the 3-packs and 5-packs that will add up to the 90 clay tablets you need?
? x2+y2=N

– Arithmetic of residues modulo n, 費瑪及尤拉定理

? 代數 – 代數基本定理,如不等式、多項式的因式分解 – Symmetric polynomials of several variables, Vieta's 定理 ? 組合(含圖論)

IMO競賽試題範圍
幾何
– Properties of the orthocentre, Euler's line, nine-point-circle, Simson line, Ptolemy's inequality, Ceva and Menelaus etc. – 參看http://mathworld.wolfram.com/OrthocentricSystem.html

不在選題範圍內: ? 微積分; ? 複數 ? Inversion in geometry ? Solid geometry (though present in the past; may return)

數學競賽之意義
發掘數學特殊人才

奧數選手成為一流數學家 發掘數學特殊人才 ? 費爾茲獎(Fields Medal)
– 1959年IMO銀牌得主 Gregory Margulis於1978獲費爾茲獎。 – 1969年IMO金牌得主 Valdimir Drinfeld於1990獲費爾茲獎。 – 1974年IMO金牌得主 Jean - Christophe Yoccoz於1994獲費爾茲獎。 – 1977年及1978年IMO金、銀牌得主 Richard Borcherds於1998獲費爾茲獎。 – 1981年IMO金牌得主 Timothy Gowers於1998年獲費爾茲獎。 – 1985年IMO銀牌得主 Laurant Lafforgue於2002年獲費爾茲獎。

? Nevanlinna Prize(與計算機和資訊科學有關的數學大獎)的數 學家:
– 1977年IMO銀牌得主 Peter Shor 於1998年獲獎。 – 1979年IMO金牌得主 A Razborov 於1990年獲獎。

? 沃爾夫大獎
– 1963-66年IMO金牌及銀牌得主(於 1965及1966年連續兩年取得 IMO特別 獎) Laszlo Lovasz,於1999年獲獎。

奧數選手成為一流數學家 ? 2001年Clay數學研究獎: 1986年IMO金牌得主 S. Smirnov。 ? 2000年歐洲數學聯盟數學獎: 1990年IMO金牌得主 V. Lafforgue。 ? 現任哈佛大學講座教授(數學),亦曾參加IMO競賽,如 1. Noam Elkis:1981年IMO金牌。 2. Peter Kronheimer:1981年IMO銀牌。 3. Richard Taylor:1980年IMO選手。

其他的數學競賽
? 美國匹南(Putnam)數學競賽(1938年開始)
– Richard Feynman獲1965年諾貝爾物理獎。 – Kenneth Wilson獲1982年諾貝爾物理獎。 – John Milnor獲1962年費爾茲獎。 – David Mumford 獲1974年費爾茲獎。 – Daniel Quillen 獲1978年費爾茲獎。

? 匈牙利數學競賽(IMO前身)中脫穎而出並創「鴿巢原理」的 神童 Paul Erdos,其後獲得數學界最高的沃爾夫獎(Wolf Prize 等同於諾貝爾獎),歷史留名的匈牙利數學家如Halmos、Fejei 、 Von 、Karman、Harr、Riesz、Rado均於年輕時在匈牙利中學數 學競賽中有優秀表現。

西屋得獎學生之縱貫研究
? 繼續從事科學研究之因素 ? 美國科學服務社,2002年在其網站www. sciserv. org / sts / about / alumini_ honors. asp 發表自1942年至今參加Science Talent Search(以往稱為西屋獎)候選人之追蹤調查:
– 發現其中有五位已是諾貝爾獎得主 – 二位是Fields Medal 的得主 – 三位獲得National Medal of Science – 一位獲National Medal of Technology – 十位獲得McArthur Fellowship,二位獲Albert Lasher Basic Medical Research Award,四位獲選為National Academy of Engineering院士,31位 獲選為National Academy of Sciences院士及56位獲選為Sloan Research Fellows。 – 95%的候選人繼續從事科學研究行列或主修相關科學系。70%候選人取 得博士或醫學學位、超過半數候選人在大學從事教學或研究工作。

1992年至2001年數學得獎 學生人數、獎項及基本資料
? 參賽人次 : 60 ? 得獎人次 : 60 ? 實際得 獎人數 : 49 ? 獎項 : 9金牌,35銀牌,13銅牌,3榮譽獎 ? 主修
– 數學:19 – 電機:14 – 資工:5 – 醫學:3 – 物理:1

1992年至2001年物理得獎 學生人數、獎項及基本資料
? 參賽人次 : 40 ? 得獎人次 : 37 ? 實際得 獎人數 : 35 ? 獎項 : 8金牌,9銀牌,12銅牌,8榮譽獎 ? 主修
– 物理:12 – 電機:14 – 資工:2 – 醫學:4 – 材料:1

奧林匹亞與國際科展之比較
? 奧林匹亞部分曾就讀資優班的有108人(佔84.38%), 未就讀資優班則有20人(佔15.63%), ? 國際科展部分曾就讀資優班的有31人(佔63.27%), 未就讀資優班的則有18人(佔36.73%)。 ? 奧林匹亞與國際科展得獎學生在大學就讀學院及其相 對應的就讀學系名稱
– 奧林匹亞部分,就讀理學院計有48人(佔37.80%),工學 院有56人(44.09%),醫學院有22人(佔17.32%) – 國際科展部分,就讀理學院計有21人(佔43.75%),工學 院有14人(29.17%),醫學院有9人(佔18.75%)。


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