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2007年上海市高中数学竞赛试卷


2007 年上海市高中数学竞赛试卷
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分)

1. 方程 _______________. 2. 有一条长度为 的线段 滑动,当 ,其端点 ,

的实数解

在边长为 的正方形 的中点

的四边上

绕着正方形的四边滑动一周时,

所形成的轨迹的长是

_______________.

3. 复数数列

满足





, 为虚数单位),则它的前

项的和为_______________. 4. 已知 距离分别为 是大小为 和 , , 的二面角, , 为二面角内一定点,且到半平面 内的动点,则 和 的

分别是半平面

周长的最小值为

_______________. 5. 已知平面直角坐标系中点与点的对应法则

.若一段曲线在对应法则

下对应椭圆的一段弧



则这段曲线的方程是________________.

6. 已知

,计算:

_______________.

7. 已知数列 式

满足





,则数列

的通项公

_______________. : ,则点 ,过 轴上的点 存在圆 的割线 ,

8. 已知圆 使得 二、解答题

的横坐标 的取值范围是_______________.

9.(本题满分 14 分)对任意正整数 ,用

表示满足不定方程

的正整数



的个数,例如,满足 .求出使得

的正整数对有 的所有正整数 .





三个,则

10. (本题满分 14 分)已知关于 的方程

有三个

正实根,求 11. (本题满分 16 分)已知抛物线

的最小值. , 是过焦点 的弦,如果

与 轴所成的角为

,求



12. (本题满分 16 分) 求满足如下条件的最小正整数 , 在圆周上任取 个点 ,则在 个角 中,至少有 个不超过 .

, , …,

2007 年上海市高中数学竞赛试卷参考答案 1. (2,8,18) 2. 3. –1003+2 i 4.

5.

6.

7. 9. 或者

8 或者 或者

10

11. 12 91


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