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高中数学排列组合二项式定理与概率检测试题及答案


排列组合二项式定理与概率训练题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.3 名老师随机从 3 男 3 女共 6 人中各带 2 名学生进行实验, 其中每名老师 各带 1 名男生和 1 名女生的概率为( ) A.

2 5 2 5

B.

3 5

C.



4 5 1 10

D.

9 10


2.某人射击 5 枪,命中 3 枪,3 枪中恰有 2 枪连中的概率为( A. B.

3 5

C.

D.

1 20

3. 一批产品中,有 n 件正品和 m 件次品,对产品逐个进行检测,如果已检 测到前 k(k<n ) 次均为正品,则第 k+1 次检测的产品仍为正品的概率是( ) A.

n?k n?m?k

B.

k ?1 n?m

C.

n ? k ?1 n ? m ? k ?1

D.

k ?1 n?m?k

4. 有一人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的对立事件 是( ) A.至多有 1 次中靶 B.2 次都中靶 C.2 次都不中靶 D.只有 1 次中 靶 5.在一块并排 10 垄的土地上,选择 2 垄分别种植 A、B 两种植物,每种植 物种植 1 垄,为有利于植物生长,则 A、B 两种植物的间隔不小于 6 垄的概率 为( ) A.

1 30

B.

4 15

C.

2 15

D.

1 30

6.某机械零件加工由 2 道工序组成,第一道工序的废品率为 a,第二道工序 的废品率为 b, 假定这 2 道工序出废品是彼此无关的, 那么产品的合格率是 ( ) A.ab-a-b+1 B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab 7.有 n 个相同的电子元件并联在电路中,每个电子元件能正常工作的概率 为 0.5,要使整个线路正常工作的概率不小于 0.95,n 至少为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击, 已知至少命中一次的概率为 则此射手的命中率是( A. )

80 , 81

1 3

B.

2 3

C.

1 4

D.

2 5

9. (| x | ? A.275

1 ? 3) 5 的展开式中的 x 2 的系数是( |x|
B.270 C.540

) D.545

10.有一道竞赛题,甲解出它的概率为 的概率为

1 1 ,乙解出它的概率为 ,丙解出它 2 3

1 , 则甲、 乙、 丙三人独立解答此题, 只有 1 人解出此题的概率是 ( ) 4 1 11 17 A. B. C. D.1 24 24 24

11.事件 A 与事件 B 互斥是事件 A、事件 B 对立的( ) A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充分必要条件;D.既不充分也 不必要条件 12.若 P(AB)=0,则事件 A 与事件 B 的关系是( ) A.互斥事件; B.A、B 中至少有一个是不可能事 件; C.互斥事件或至少有一个是不可能事件;D.以上都不对

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13.四封信投入 3 个不同的信箱,其不同的投信方法有 种 14.如图,一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图着色,要求相邻区域不得 2 使用同一颜色,现有 4 种颜色可 5 1 3 供选择,则不同的着色方法共有 4 种 15.若以连续投掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在直线 x+y=5 下方的概率是________ 16.在编号为 1,2,3,?,n 的 n 张奖卷中,采取不放回方式抽奖,若 1 号为获奖号码,则在第 k 次(1≤k≤n)抽签时抽到 1 号奖卷的概率为________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设 m,n∈Z+,m、n≥1,f(x)=(1+x)m+(1+x) n 的展开式中,x 的系数为 19 (1)求 f(x)展开式中 x2 的系数的最大、小值; (2)对于使 f(x)中 x2 的系数取最小值时的 m、n 的值,求 x7 的系数
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18. (本小题满分 12 分)从 5 双不同的鞋中任意取出 4 只,求下列事件的概 率: (1)所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的; (2)所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的
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19. (本小题满分 12 分)有 8 位游客乘坐一辆旅游车随机到 3 个景点中的一 个景点参观,如果某景点无人下车,该车就不停车,求恰好有 2 次停车的概率
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20. (本小题满分 12 分)已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的 展开式的系数和大 992,求 (2 x ? ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系 数的绝对值最大的项
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1 x

21. (本小题满分 12 分)有 6 个房间安排 4 个旅游者住宿,每人可以随意进 哪一间,而且一个房间也可以住几个人 求下列事件的概率:(1)事件 A:指定 的 4 个房间中各有 1 人;(2)事件 B:恰有 4 个房间中各有 1 人; (3) 事件 C:指定的某个房间中有两人;(4)事件 D:第 1 号房间有 1 人,第 2 号 房间有 3 人
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22. (本小题满分 14 分)已知{ an }( n 是正整数)是首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列
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0 1 2 0 1 2 3 (1) 求和: a1C2 ; ? a2C2 ? a3C2 , a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

(2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明; (3) 设 q ? 1, S n 是等比数列的前 n 项的和,求
0 1 2 3 n S1Cn ? S 2Cn ? S3Cn ? S 4Cn ? ? ? ? ? (?1) n S n?1Cn
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排列组合二项式定理与概率
参考答案: 1.A 2.B 7.C 8.B 13. 3
4

3.A 9.C 14. 72

4. C 10.B 15.

5.C 11.B

6.A 12.C

1 6

16.

1 n

17.设 m,n∈Z+,m、n≥1,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 的展开式中,x 的系数为 19 (1)求 f(x)展开式中 x2 的系数的最大、小值; (2)对于使 f(x)中 x2 的系数取最小值时的 m、n 的值,求 x7 的系数
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1 1 解: Cm ? Cn ? 19,即m ? n ? 19 ? m ? 19 ? n
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(1)设 x2 的系数为
2 2 T= Cm ? Cn ? n ? 19n ? 171? (n ?
2

19 2 192 ) ? 171? 2 4

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∵n∈Z+,n≥1, ∴当 n ? 1或n ? 18 时, Tmax ? 153 , 当 n ? 9或10时, Tmin ? 81
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(2)对于使 f(x)中 x2 的系数取最小值时的 m、n 的值,即

f ( x) ? (1 ? x) 9 ? (1 ? x)10
7 7 从而 x7 的系数为 C9 ? C10 ? 156
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18.从 5 双不同的鞋中任意取出 4 只,求下列事件的概率: (1)所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的; (2)所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的
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解:基本事件总数是 C10 =210

4

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(1)恰有两只成双的取法是 C5C4 C2 C2 =120

1

2

1

1

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∴所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的概率为

2 1 1 C1 120 4 5C4C2C2 ? ? 4 210 7 C10

(2)事件“4 只鞋中至少有 2 只是成双”包含的事件是“恰有 2 只成双”和 “4 只恰成两双” ,恰有两只成双的取法是 C1 5 C 4 C 2 C 2 =120,四只恰成两双的 取法是 C5 =10
2
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2

1

1

∴所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的概率为
2 1 1 2 C1 130 13 5 C 4 C 2 C 2 ? C5 ? ? 4 210 21 C10

19.有 8 位游客乘坐一辆旅游车随机到 3 个景点中的一个景点参观,如果 某景点无人下车,该车就不停车,求恰好有 2 次停车的概率 解:8 位游客在 3 个景点随机下车的基本事件总数有 38=6561 种 有两个景点停车,且停车点至少有 1 人下车的事件数有
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2 2 7 8 8 ( C1 C3 8 + C8 +?+ C8 + C 8 )=3(2 -1)=381 种

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∴恰好有 2 次停车的概率为

381 127 ? 6561 2187

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20. 已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992, 求 (2 x ? ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项 解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5

1 x

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① (2 x ? )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064

1 x

1 x

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②设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2 ?C10 ? 2C10 ∴? r , 得 , 即 ? ? 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 210 ? r ?1 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?C10 ? 2 ?2C10 ? C10

1 x



8 11 ? r ? ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项 即 3 3
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1 3 T4 ? C10 (2 x) 7 (? ) 3 ? ?15360 x 4 x
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21.有 6 个房间安排 4 个旅游者住宿,每人可以随意进哪一间,而且一个房 间也可以住几个人 求下列事件的概率:(1)事件 A:指定的 4 个房间中各有 1 人;(2)事件 B:恰有 4 个房间中各有 1 人; (3)事件 C:指定的某个房 间中有两人;(4)事件 D:第 1 号房间有 1 人,第 2 号房间有 3 人 解:4 个人住进 6 个房间,所有可能的住房结果总数为:
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(种)

4 4 (1) 指定的 4 个房间每间 1 人共有 A4 种不同住法 ? P( A) ? A4 / 6 4 ? 1/ 54
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4 (2)恰有 4 个房间每间 1 人共有 A6 种不同住法

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? P( B) ? A / 6 ? 5 / 18
4 6 4
2 (3)指定的某个房间两个人的不同的住法总数为: C4 ? 5 ? 5 (种), 2 ? P(C) ? C4 ? 52 / 6 4 ? 25/ 216
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1 3 (4) 第一号房间 1 人, 第二号房间 3 人的不同住法总数为: (种) , C4 C3 ? 4

? ( D) ? 4 / 6 4 ? 1/ 324

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22.已知{ an }( n 是正整数)是首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列
0 1 2 0 1 2 3 ⑴求和: a1C2 ; ? a2C2 ? a3C2 , a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

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⑵由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明; ⑶设 q ? 1, S n 是等比数列的前 n 项的和,求
0 1 2 3 n S1Cn ? S 2Cn ? S3Cn ? S 4Cn ? ? ? ? ? (?1) n S n?1Cn
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0 1 2 解: (1) a1C2 ? a2C2 ? a3C2 ? a1 ? 2a1q ? a1q 2 ? a1 (1 ? q) 2 ; 0 1 2 3 a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3 ? a1 ? 3a1q ? 3a1q 2 ? a1q 3 ? a1 (1 ? q) 3

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(2)归纳概括出关于正整数 n 的一个结论是:已知{ an }( n 是正整数) 是首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列,则
0 1 2 3 n a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? ? ? ? ? (?1) n an?1Cn ? a1 (1 ? q) n
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证明如下:
0 1 2 3 n a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? ? ? ? ? (?1) n an?1Cn 0 1 2 3 n = a1Cn ? a1qCn ? a1q 2Cn ? a1q 3Cn ? ? ? ? ? (?1) n a1q n Cn 0 1 2 2 3 3 n ? a1[Cn ? Cn q ? Cn q ? Cn q ? ? ? ? ? Cn (?q) n ] ? a1 (1 ? q) n

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(3)因为 S n ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q n ) k k ,所以 S k ?1C n ? 1 Cn 1? q 1? q

0 1 2 3 n S1Cn ? S 2Cn ? S3Cn ? S 4Cn ? ? ? ? ? (?1) n S n?1Cn

=

a1 aq 0 0 1 3 1 [Cn ? Cn ? Cn2 ? Cn ? ? ? ? ? (?1) n Cnn ] ? 1 [Cn ? qCn ? q 2 Cn2 ? ? ? ? ? Cnn (?q) n ] 1? q 1? q

=-

a1 q (1 ? q ) n 1? q

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