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福建省福州市第八中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


福州八中 2014—2015 学年第二学期期末考试

高二数学(理)
考试时间:120 分钟
2015.6.9

试卷满分:150 分

第 I 卷(共 100 分) 一、选择题: (10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知集合 A={x|x2+x>2},B={x|2x<1},则(

CRA)∩B 等于 A.[0,1] B.(-2,1) C.[-2,0) D.[-1,0]

2. 若 M 点的极坐标为 ? 2, A. ? 3,1

?

?

B. ? 3, ?1

?

? ?

5? ? ? ,则 M 点的直角坐标是 6 ?

?

C.

?

3, ?1

?

D.

?

3,1

?

3. 若集合 M={1,2,3},N={x|0<x≤3,x∈R},则下列论断正确的是 A.x∈M 是 x∈N 的充分不必要条件 B.x∈M 是 x∈N 的必要不充分条件 C.x∈M 是 x∈N 的充分必要条件 D.x∈M 是 x∈N 的既不充分也不必要条件 4. 在一次跳伞训练中, 甲.乙两位学员各跳一次, 设命题 p 是“甲降落在指定范围”, 降 落在指定范围”可表示为 q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有 .. A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? q

? x ? sin 2 ? 5. 下列点在曲线 ? 上的是 ? y ? cos ? A. ? 2,1? B. ? ?3, ?2?

3 1? C. ? ? ,? ? ?4 2?

D. ?1,1?

6. 设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式中不恒成立 的是 .... A. a ? C.

1 ≥2 a

B. a 2 ? b 2 ≥2( a ? b ? 1 ) D. a 3 ? b 3 ≥2 ab 2

a ?b ≥ a ? b

7. 设 a, b, c, x, y, z 是正数,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 4 , ax ? by ? cz ? 2 ,则 a?b?c ? x? y?z 1 1 3 1 A. B. C. D. 4 2 4 3 8.给出下列四个命题:
2 ,则x ? 2x ? 3 ? 0 ”; ①命题“若 x ? ?1 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否命 题为“若 x ? ?1

2

②命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ;

③“ ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件;

? ? 3 ”;命题 q : “设 a, b 是任意两个向量, 2 ? ? ? ? ? ? 则“ a ? b ?| a || b | ”是“ a // b ”的充分不必要条件”,那么 (?p ) ? q 为真命题.
④命题 p : “ ?x0 ? R ,使 sin x0 ? cos x0 ? 其中正确的个数是

C .2 B .3 D .1 ? ?? ? ? x ? 1 ? t cos ? ? ? 2 ? ? ? (其中 t 为参数, 0 ? ? ? ? )的倾斜角为 9. 直线 l : ? ? 2 ? y ? ?2 ? t sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ?
A.4
A. ? B.

?

2

??

C.

?

2

??

D. ? ?

?

2

?x+y≥1, 10.不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x-2y≤4
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥1, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, 其中的真命题是 A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 二、填空题: (4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. 对于任意实数 a(a ? 0) 和 b,不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a || x ? 1| 恒成立,则实数 x 的取值范围是 12. 若点 P( x, y ) 在曲线 ? p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.

? x ? cos ? , ( ? 为参数, ? ? R )上,则点 P 到原点的距 y ? 2 ? sin ? , ?

离的取值范围是 . 13. 在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? ? 2cos ? ,以极点为原点,极轴方向为 x 正半轴方向, 利用相同单位长度建立平面直角坐标系, 曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 4t ? 1 (t ? y ? 3t ? 1

为参数).设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,则这两条切线所成 角的最大值是_______. 14.一个矩形的周长为 l, 面积为 S, 给出: ① (4, 1) ; ② (8, 6) ;③ (10, 8) ; ④ (3, ) . 其中可作为 (l , S ) 取得的实数对的序号是_______.(将正确的全部写上) 三、解答题: (3 小题,共 34 分) 15.(本小题 10 分)

1 2

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 ( 为参数) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为: ? .以坐标 t 2 ?y ? t ? ? 2

原点 O 为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? ? 2 2 sin(? ?

?

4

).

(Ⅰ)求曲线 C 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于点 M , N ,若点 P 的坐标为 (1, 0) ,求点 P 与 MN 中点的 距离. 16.(本小题 12 分) 函数 f ( x) ? x ? a ? 3x , 其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1 17.(本小题 12 分)

? ,求 a 的值.

已知集合 M ? x | x 2 ? (a ? 1) x , N ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 若M ? N , 求实数 a 的取 值范围. 第Ⅱ卷(共 50 分) 一、选择题: (3 小题,每小题 4 分,共 12 分) 18.在极坐标系中,直线 ? ? 为

?

?

?

?

1 与直线 L 关于极轴对称,则直线 L 的方程 cos ? ? 2sin ?

1 1 B. ? ? cos ? ? 2sin ? 2sin ? ? cos ? 1 1 C. ? ? D. ? ? 2 cos ? ? sin ? 2 cos ? ? sin ? 19.设 a 、 b 、 c 为实数, 4a ? 2b ? c ? 0, a ? b ? c ? 0 ,则下列四个结论中正确的是
A. ? ? A. b 2 ? ac C. b 2 ? ac 且 a ? 0 B. b 2 ? ac D. b 2 ? ac 且 a ? 0

20. 设非空集合 {x a ? x ? b} 满足:当 x ? S 时,有 x 2 ? S ,给出如下三个命题:①若

1 1 1 2 a ? 1 ,则 S ? {1} ②若 a ? ? ,则 ? b ? 1 ;③若 b ? ,则 ? ? a ? 0 .其中正确命 2 4 2 2
题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题: (3 小题,共 38 分) 21.(本小题 12 分) 已知三个集合 A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-(a+2)x+2a=0},C={x|bx2-x+1= 0},问同时满足 B ? A,A∪C=A 的 实数 a、b 是否存在? 若存在,求出 a、b 的取值情况;

?

若不存在,请说明理由. 22.(本小题 12 分) 已知 a, b, x, y ? (0, ??) ,

(Ⅰ)求证:

a 2 b2 (a ? b)2 ,并指出等号成立的条件; ? ? x y x? y
2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值,并求出等号 x 1? 2x 2

(Ⅱ)利用(1)中的不等式求函数 f ( x) ?

成立时的 x 值(必须使用(1)中的结论,否则不给分). 23.(本小题 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,且过点 (1, ) ,抛物线 2 2 2 a b

1 C2 : x 2 ? ?2 py( p ? 0) 的焦点坐标为 ( 0,? ) . 2
(Ⅰ)求椭圆 C1 和抛物线 C 2 的方程; (Ⅱ)若点 M 是直线 l : 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的动 点,过点 M 作抛物线 C 2 的两条切线,切点分别 是 A, B ,直线 AB 交椭圆 C1 于 P, Q 两点. ①求证:直线 AB 过定点,并求出该定点的 坐标; ②当 ?OPQ 的面积取最大值时,求直线 AB 的方程.
第 23 题图

y L M
O

Q B x

A

P

福州八中 2014—2015 学年第二学期期末考试
高二数学(理) 试卷参考答案及评分标准
第 I 卷(共 100 分) 一、选择题: (10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. C 2.A 3. A 4.A 5.C 6.D 7.C 8. B 二、填空题: (4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. -1 ? x ? 3 12. ?1,3? 13. 60 ? 14.①④ 9.C 10.A

三、解答题: (3 个小题,共 34 分) 15. (本小题 10 分) 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,得 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,

当 ? ? 0 时,得 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? ,????????2 分 对应直角坐标方程为: x ? y ? 2 y ? 2 x .??????????4 分
2 2

当 ? ? 0 , ? 有实数解,说明曲线 C 过极点,而方程 x ? y ? 2 y ? 2 x 所表示的曲线也
2 2

过原点. ∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 .????????5 分
2 2

(Ⅱ)把直线 l 的标准参数方程代入曲线

C 的直角坐标方程,得

? 2 ? 2 2 2 ? ? 2 t? ? ? ( 2 t ? 1) ? 2 ,即 t ? 2t ? 1 ? 0 , ? ?
由于 ? ? 6 ? 0 ,故 可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? 2 ????7 分 ∵直线 l 过点 P(1, 0) ,

2

∴由 t 的几何意义,可得点 P 与 MN 中点的距离为 16.(本小题 12 分)

t1 ? t2 2 .????10 分 ? 2 2

【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 .??????1 分 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .??????????3 分

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} .????????4 分 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组: ?

?x ? a ?x ? a 或? ??????6 分 ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3x ? 0

高二数学(理)期末考试卷答案 第 1 页 共 4 页

?x ? a ? a ,????????????9 分 x ? ? ? ? 2 a 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? ??????11 分 2 a 由题设可得 ? = ?1,故 a ? 2 .????????12 分 2
即? 或? 17.(本小题 12 分) 【解析】由已知得 N ? ?x | ?3 ? x ? 1? , M ? ?x | x( x ? a ?1) ? 0(a ? R)? ??2 分 由已知 M ? N ,得 ①当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,集合 M ? ?x | a ? 1 ? x ? 0?. 要使 M ? N 成立,只需 ?3 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ?4 ? a ? ?1 ????????5 分 ②当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ?1 符合题意.?8 分 ③当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,集合 M ? ?x | 0 ? x ? a ? 1?. 要使 M ? N 成立,只需 0 ? a ? 1 ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 0 ????????11 分 综上所述,所以 a 的取值范围是[-4,0].??????????12 分 第Ⅱ卷(共 50 分) 一 、选择题: (3 小题,每小题 4 分,共 12 分) 18.A 19.B 20. D. 三、解答题: (3 小题,共 38 分) 21. (本小题 12 分) 【解析】∵A={x|x2-5x+6=0}={2,3}, B={x|x2-(a+2)x+2a=0}={x|(x-2)(x-a)=0}, 又∵B ? A,∴a=2.

?x ? a ? a x? ? ? 4

?

????????4 分

∵A∪C=A,∴C? A,则 C 中元素有以下三种情况: ①若 C= ? ,即方程 bx2-x+1=0 无实根, ∴Δ=1-4b<0,∴b>

1 , 4

??????7 分

②若 C={2}或{3},即方程 bx2-x+1=0 有两个相等的实根, ∴Δ=1-4b=0,∴b=

1 ,此时 C={2}符合题意. ????????9 分 4
????11 分

③若 C={2,3},则

1 1 =2+3=5, 2 ? 3 ? ,不存在这样的 b. b b 1 . 4
????12 分

综上所述,a=2,b≥

a 2 b 2 ( a ? b) 2 (ay ? bx)2 22.(本小题 12 分) 【解析】(Ⅰ) ????3 分 ? ? ?? ?? x y x? y xy ( x ? y )

∵ a, b, x, y ? (0, ??) ,∴ xy( x ? y) ? 0 , (ay ? bx)2 ? 0

a 2 b2 (a ? b)2 ????????5 分 ? ? x y x? y
等号当且仅当 ay ? bx 时成立.??????????6 分 (Ⅱ) f ( x) ?

2 9 4 9 (2 ? 3) 2 ? ? ? ? ? 25 ,??????10 分 x 1 ? 2x 2 x 1 ? 2 x 2 x ?1 ? 2 x
1 1 ? (0, ) 时成立,??????11 分 5 2

等号当且仅当 2(1 ? 2 x) ? 3 ? 2 x 即 x ? 所以, x ?

1 时, f ( x ) 的最小值为 25 .??????12 分 5

x2 23.(本小题 14 分) 【解析】(Ⅰ)椭圆 C1: + y2=1;C2:x2=-2y??????4 分 4 (Ⅱ)①设点 M(x0,y0),且满足 2x 0-4y0+3=0,点 A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 对于抛物线 y= x2 ,y? = - x , 则切线 MA 的斜率为-x1 , 2 从而切线 MA 的方程为:y–y1=-x1(x-x1),即:x1x+y+y1=0 , 同理:切线 MB 的方程为:x2x+y+y2=0 , 又因为同时过 M 点,所以分别有:x1x0+y0+y1=0 和 x2x0+y0+y2=0, 因此 A,B 同时在直线 x0x+y+y0=0 上,又因为:2x0-4y0+3=0, 所以:AB 方程可写成:y0(4x+2)+(2y-3x)= 0, 显然直线 AB 过定点:(1 3 ,- ).????????8 分 2 4

②直线 AB 的方程为:x0x+y+y0=0,代入椭圆方程中得:(1+4x02)x2+8x0y0x+4y02-4=0 令 P(x3,y3),Q(x4,y4) , ? = 16(4x02- y02+1)>0, x3+x4 = ?PQ? = 8x0y0 4y02-4 ;x3x4 = ????????????9 分 2 4x0 +1 4x02+1 1+x02 · (x3+x4)2-4x3x4 = 1+x02 · 16(4x02-y02+1) ??????10 分 1+4x02

点 O 到 PQ 的距离为:d= 从而 S?OPQ = = 2×

?y0? ?????????????11 分 1+x02

1 1 16(4x02-y02+1) ?y0? · ?PQ ?· d = × 1+x02 · × 高二数学(理)期末考试卷答案 共4页 2 2 1+4x02 第 3 页 1+x02

y02(4x02-y02+1) y02+(4x02- y02+1) ? =1 ??????13 分 2 1+4x0 1+4x02

当且仅当 y02 = 4x02- y02+1 时等号成立,又 2x0-4 y0+3=0

联立解得:x0=

1 1 5 ,y0= 1 或 x0= ,y0= ; 2 14 7

从而所求直线 AB 的方程为:x+2y+2=0 或 x-14y-10=0????????14 分


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