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2014高考数学理复习方案 二轮作业手册专题限时集:第13讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 Word版含解析


专题限时集训(十三) [第 13 讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质] (时间:45 分钟)

1. “k=2”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=2 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右顶点为 A,上顶点为

B.若∠F1BA=90°, a b 则椭圆的离心率是( ) 5-1 3-1 A. B. 2 2 3 1 C. D. 2 2 → → 3.过点 M(2,0)作圆 x2+y2=1 的两条切线 MA,MB(A,B 为切点),则MA·MB=( ) 5 3 5 3 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 x y 3 x2 y2 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,双曲线 - =1 的渐近线与椭圆有四 a b 2 2 2 个交点,若以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 8 2 12 6 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 20 5 5. “a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 6.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与另 a b → → 一条渐近线交于点 B.若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 7.已知等边△ABC 中,D,E 分别是 CA,CB 的中点,以 A,B 为焦点且过 D,E 的椭圆 和双曲线的离心率分别为 e1,e2,则下列关于 e1,e2 的关系式不正确的是( ) A.e2+e1=2 B.e2-e1=2 e2 C.e1e2=2 D. >2 e1 x2 y2 x2 y2 8.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与椭圆 2+ 2=1(m>b>0)的离心率之积大于 1,则以 a, a b m b b,m 为边长的三角形一定是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 9.圆(x-4)2+y2=15 与抛物线 y2=4x 的交点个数为________. 10.椭圆的两焦点分别为 F1(-4,0),F2(4,0),P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积的最大 值为 12,则椭圆的方程为________________. 11.若圆 O:x2+y2=4(圆心为 O)与圆 C:x2+y2+2y-6=0 相交于两点 A,B,则△ABO 的面积为________. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是半圆 x2-4x+y2=0(2≤x≤4)上的一个动点, → → 点 C 在线段 OA 的延长线上.当OA·OC=20 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是________. 13.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0,-1),且其右焦点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆方程; 3 (2)设直线 l 过定点 Q0, ,与椭圆交于两个不同的点 M,N,且满足|BM|=|BN|,求直线 l 2 的方程.

14.已知椭圆与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,且离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

2 . 2

→ → (2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若AP=2PB,求△AOB 的面积.

x2 y2 6 2 15.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P1, ,且离心率 e= . a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F 的动直线交椭圆于 A,B 两点,设椭圆的左顶点为 C,联结 CA,CB 且交动 直线 l:x=m 于 M,N 两点,若以 MN 为直径的圆恒过右焦点 F,求 m 的值.

图 X13-1

1.A 要条件.

专题限时集训(十三) |k| [解析] 直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=2 相切? = 2,即 k=± 2,故为充分不必 2

b c 2 c b - ?=-1,即 b2=ac,由此得 c2+ac-a2=0,即? ? + - 2.A [解析] 根据已知得 ·? ?a? a c ? a? -1+ 5 1=0,即 e2+e-1=0,解得 e= (舍去负值). 2 → → 3.D [解析] 由题可知∠OMA=∠OMB=30°,且|MA|=|MB|= 3,所以MA·MB= 3 1 3 × 3× = . 2 2 x2 y2 3 4.D [解析] 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,由椭圆离心率为 可得 a=2b, 2 2 2 x2 y2 则椭圆方程为 2+ 2=1,而以渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在第一 4b b 22 22 象限的小正方形边长为 m,则 m2=4?m=2,从而点(2,2)在椭圆上,即 2+ 2=1?b2=5, 4b b 2 2 x y 于是 b2=5,a2=20,椭圆方程为 + =1,应选 D. 20 5 5.A [解析] 当 a=-1 时,l1,l2 显然不平行;当 a≠-1 时,由直线 l1:ax+2y-1=0 ?a(a+1)-2=0,

与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行,得? 1 解得 a=-2 或 1.所以“a=1”是“l1: 4 ?-2≠a+1, ? ax+2y-1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件. b b 6.C [解析] 双曲线的渐近线方程是 y=± x,设过右焦点 F(c,0)的直线 l 与渐近线 y= a a a ab x 垂直,则直线 l 的方程即 y=- (x-c),两直线方程联立解得点 A 的纵坐标 y1= ;把方程 b c a b abc → → y=- (x-c)与方程 y=- x 联立,解得点 B 的纵坐标 y2= 2 .由于FB=2FA,即(x2-c,y2) b a b -a2 abc 2ab =2(x1-c,y1),由此得 y2=2y1,故 2 = ,此即 2(b2-a2)=c2,即 2(c2-2a2)=c2,解得 b -a2 c c=2a,故所求的双曲线的离心率是 2. 2c 2 7.A [解析] 设三角形边长为 2.对于椭圆,2a= 3+1,2c=2,离心率 e1= = ; 2a 3+1 2c 2 e2 对于双曲线,2a= 3-1,2c=2,离心率 e2= = .所以 e2-e1=2,e1e2=2, >2. 2a e1 3-1 a2+b2 m2-b2 · >1, 即(a2+b2)(m2-b2)>a2m2, 即-a2b2+b2(m2-b2)>0, a m 即 a2+b2<m2,所以以 a,b,m 为边长的三角形一定是钝角三角形. ?(x-4)2+y2=15, ? 9.4 [解析] 联立圆的方程和抛物线的方程? 2 得 x2-4x+1=0,因为 ? y = 4 x , ? b c Δ=16-4=12>0,- =4>0, =1>0,故方程有两个相异正根,由图像的对称性可知每一个 a a 根对应两个交点,所以圆与抛物线的交点个数为 4. 8. D [解析] 即

?

1 x2 y2 的面积的最大值为 S= ×8×b=12,所以 b=3,所以 a2=b2+c2=25,所以椭圆方程为 + 2 25 9 =1. 11. 3 [解析] AB 所在的直线方程为(x2+y2+2y-6)-(x2+y2-4)=0,即 y=1,圆心 O 1 到直线 y=1 的距离为 1,所以|AB|=2 22-12=2 3,所以 S△ABO= ×2 3×1= 3. 2 → → 12.[-5,5] [解析] 根据已知OA·OC=20,即|OA|· |OC|=20,当 A 坐标为(2,2)时,C 的纵坐标最大,此时直线 OA:y=x,且|OC|=5 2,此时点 C 的纵坐标为 5,根据对称性可 得点 C 的纵坐标的取值范围是[-5,5]. x2 y2 13.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 b=1. a b |c-0+2 2| 设右焦点为 F(c,0)(c>0),则由条件得 3= ,得 c= 2,那么 a2=b2+c2=3, 2 x2 故所求椭圆方程为 +y2=1. 3 (2)若直线 l 斜率不存在时,即为 y 轴,此时 M,N 为椭圆的上、下顶点,|BN|=0,|BM| =2,不满足条件; 3 x2 故可设直线 l:y=kx+ (k≠0),与椭圆 +y2=1 联立, 2 3 15 2 2 消去 y 得(1+3k )x +9kx+ =0. 4 15 5 由 Δ=(9k)2-4(1+3k2)· >0,得 k2> . 4 12 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 P(x0,y0), x1+x2 y1+y2 则 x0= ,y0= , 2 2 9k 由根与系数的关系得 x1+x2=- , 1+3k2 9k2 而 y1+y2=k(x1+x2)+3=- +3. 1+3k2 由|BN|=|BM|,则有 BP⊥MN. 9k2 y1+y2 +1 -1+3k2+5 2 y0+1 1 即 kBP= = = =- , x0 9k k x1+x2 - 2 1 + 3 k 2 5 2 2 ,+∞?. 可求得 k2= ,检验 k2= ∈? ? 3 3 ?12 6 3 6 3 所以直线 l 的方程为 y= x+ 或 y=- x+ . 3 2 3 2 x2 y2 14.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 2 由 c= 2,e = 可得 a=2,b2=a2-c2=2, 2 x2 y2 即所求椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?-x1=2x2, → → ? 由AP=2PB有? 可得 x1=-2x2,① ?1-y1=2(y2-1), ? 由题知直线 AB 的斜率存在且不为 0,设其方程为 y=kx+1,代入椭圆方程整理,得

x2 y2 10. + =1 25 9

[解析] 当点 P 为椭圆的短轴顶点时,△PF1F2 的面积最大,此时△PF1F2

(2k2+1)x2+4kx-2=0, 4k 则 x1+x2=- 2 ,② 2k +1 -2 x1x2= 2 ,③ 2k +1 k ?2 4k 1 1 1 ? 4 由①②得 x2= 2 ,由①③得 x2 = ,所以 2 = 2 ,解得 k2= . 2 2 2 k + 1 14 ? ? 2k +1 2k +1 2k +1 1 1 12|k| 3 14 ∴△AOB 的面积 S= |OP|·|x1-x2|= · 2 = . 2 2 2k +1 8 c 2 1 6 15.解:(1)由题意知 = , 2+ 2=1,又 a2=b2+c2,解得 a=2,b= 2, a 2 a 4b x2 y2 故所求的椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①k 存在时,设直线 AB:y=k(x- 2), x2 y2 ? ? 4 + 2 =1, 联立? 得(2k2+1)x2-4 2k2x+4k2-4=0,

? ?y=k(x- 2),

4k2-4 4 2k2 故 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 2k +1 2k +1 y1 又可设直线 CA 方程为 y= (x+2), x1+2 y1 ∴M?m,x +2(m+2)?, ? ? 1 → ?m- 2, y1 (m+2)? ∴FM= x1+2 ? ?. y2 → 同理FN=?m- 2,x +2(m+2)?. ? ? 2 y1y2 由题意得 FM⊥FN,∴(m- 2)2+ (m+2)2=0, (x1+2)(x2+2) k2[x1x2- 2(x1+x2)+2] 3-2 2 y1y2 即 = =- , 2 (x1+2)(x2+2) x1x2+2(x1+x2)+4 ( 2-1)2 ∴(m- 2) - (m+2)2=0,解得 m=2 2(负值舍去). 2 ②当 k 不存在时,△MNF 为等腰直角三角形. 故 M(m,m- 2),A( 2,1),由 C,A,M 三点共线易得到 m=2 综上 m=2 2.
2

2.


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