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2012全国高中数学联赛广东预赛试题(详细解析)


2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1. 已知 2012 答案: 2012
2

? 2010 ? 2011 ? 2013 ? 2014 ? k

2


?k

? 0 ? ,则 k ?

.

2

?2

(或 4048142 )

解: n 2 ? ( n ? 2 )( n ? 1)( n ? 1)( n ? 2 ) ? n 2 ? ( n 2 ? 4 )( n 2 ? 1)
? n ? ( n ? 5 n ? 4) ? ( n ? 2) .
2 4 2 2 2

2. 函数 f ( x ) ? sin ( x ? 答案:1 解:因为
f ( x ) ? sin x co s ?

?
6

) ? sin ( x ?

?
6

) ? co s x ? 3 的最小值等于

.

?
6

? co s x sin

?
6

? sin x co s

?
6

? co s x sin

?
6

? co s x ? 3

3 sin x ? co s x ? 3

? 2 sin ( x ?

?
6

) ? 3,

所以 f ( x ) 的最小值为 1.

3. 已知 f ( x ) ? 数,则 k 的值为 答案: .
4 1

bx ? 1 2x ? a

,其中 a , b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x ) ? f ( ) ? k 为常
x

1

.

解:由于
1 bx ? 1 b ? x b x ? ( b ? 1) x ? b k ? f (x) ? f ( ) ? ? ? 2 2 x 2 x ? a 2 ? ax 2ax ? (a ? 4) x ? 2a
2 2

是常数,故 2 a ? k ? b ,且 ( a 2 ? 4) k ? b 2 ? 1 . 将 b ? 2 a k 代入 ( a 2 ? 4) k ? b 2 ? 1 整理得
( 4 k ? k ) a ? (1 ? 4 k ) ? 0
2 2 2 , 分 解 因 式 得 ( 4k ? 1 )k( a ?

1?)

. 0若 4 k ? 1 ? 0 , 则
1 4

ka ? 1 ? 0
2

,因此 a b ? 2 ka 2 ? 2 ,与条件相矛盾. 故 4 k ? 1 ? 0 ,即 k ?

.

1

4. 已知方程 3 2 x ? 3 x ? 1 ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围 是 . 答案: ( ? , ? 2 ).
4 9

解法一:令 t ? 3 x ,则原方程化为 t 2 ? 3 t ? p ? 0 . 根据题意,方程 t 2 ? 3 t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根.
? 2 ? ? ? ( ? 3) ? 4 p ? 0, ? 9 2 2 f ( t ) ? t ? 3 t ? p ,则 ? f (1) ? 1 ? 3 ? 1 ? p ? 0, ? ? ? p ? ? 2 . 4 ?3 ? ? 1. ?2



解法二:令 y ? 3 x ,则原方程化为 y 2 ? 3 y ? p ? 0 . 注意到这个关于 y 的方程 最多有两个解, 而由 y ? 3 x 严格单调递增知每个 y 最多对应一个 x , 因此所求的 p 应当使 y 2 ? 3 y ? p ? 0 有两个相异的实数解 y1 , y 2 , 且满足 3 x ? y1 , 3 x ? y 2 的两个实
1 2

数 x1 , x 2 都是正的. 由于 x1 , x 2 都是正的,故 y1 , y 2 都应大于 1. 由于 y1 ? y 2 ? 3 ,故
y 2 ? 3 ? y1 , 因此 y1 必须满足 y1 ? 1 ,3 ? y1 ? 1 及 y1 ? 3 ? y1 .

因此 y1 的取值范围为
9

(1,

3 2

)?(

3 2

, 2) .

因此 p ? ? y1 y 2 ? ? y1 (3 ? y1 ) 的取值范围为 ( ? , ? 2 ) .
4

5. 将 25 个数排成五行五列:
a1 1 a 21 a 31 a 41 a 51 a1 2 a 22 a 32 a 42 a 52 a1 3 a 23 a 33 a 43 a 53 a1 4 a 24 a 34 a 44 a 54 a1 5 a 25 a 35 a 45 a 55

已知第一行 a 1 1 , a 1 2 , a 1 3 , a 1 4 , a 1 5 成等差数列,而每一列 a1 j ,a 2 j ,a 3 j ,a 4 j ,
a 5 (1 ? j ? 5 ) 都成等比数列, 且五个公比全相等. 若 a 2 4 ? 4 , a 4 1 ? ? 2 , a 4 3 ? 1 0 , j

则 a1 1 ? a 5 5 的值为______. 答案: ? 1 1 解: 可知每一行上的数都成等差数列, 但这五个等差数列的公差不一定相等.

2

由 a 41 ? ? 2 , a 43 ? 1 0 知 a 42 ?
?2
3

10 ? (?2) 2

? 4 且公差为 6,故 a 4 4 ? 1 6 , a 4 5 ? 2 2 .

由 a 2 4 ? 4 , a 4 4 ? 1 6 知公比 q ? ? 2 . 若 q ? 2 ,则 a 1 1 ?
? ? ? 1 4 1 4 s ?2 s
3

, a 5 5 ? 2 2 ? 2 ? 4 ? 1 1 ,故 a11 ? a 55 ? ? 11 ; , a 5 5 ? 2 2 ? ( ? 2 ) ? 4 ? ( ? 1 1) ,故 a11 ? a 55 ? ? 11 .

若 q ? ? 2 ,则 a 1 1 ?

6.设点 P 在曲线 y ______. 解: 函数 y
2 (1 ? ln 2 )

?

1 2

e

x

上,点 Q 在曲线 y

? ln ( 2 x ) 上,则 P Q

的最小值为

.
? ln ( 2 x ) 互为反函数,图象关于 y ? x

?

1 2

e

x

与函数 y

对称.
x

1

e ? x

函数 y

?

1 2

e

x

上的点 P ( x ,
1 2

1 2

e )

x

到直线 y
1 2

? x

的距离为 d ?

2 2

.
1 ? ln 2 2

设函数 g ( x ) ? 由图象关于 y

e ? x ? g ?( x ) ?
x

e ? 1 ? g ( x ) m in ? 1 ? ln 2 ? d m in ?
x

.

? x

对称得: P Q 最小值为 2 d m in ? 2 (1 ? ln 2) .

7.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4×4 方格表的 16 个小方格内,每个小 方格内至多填一个字母, 若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共 有 . 答案:3960 解: 使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C 42 A42 ? 7 2 种, 使得 2 个 b 既不同 行也不同列的填法有 C 42 A42 ? 7 2 种,故由乘法原理,这样的填法共有 7 2 2 种. 其中不合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种; 2 个 a 所在的方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有 C 116 A92 ? 1 6 ? 7 2 种. 所以,符合条件的填法共有 72 2 ? 72 ? 16 ? 72 ? 3960 种. 8.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体

3

的体积为 1 1 2 ? ,该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为 8 0 ? ,该梯形 绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为 1 5 6 ? ,则该梯形的周长为 答案: 16 ? 2 13 . 解:设梯形的上底长为 a ,下底长为 b ,高为 h ,则梯形绕上底旋转所得旋 转体的体积为 ? h 2 b ? ? h 2 ( a ? b ) ? ? h 2 ( a ? 2 b ) ,因此 ? h 2 ( a ? 2 b ) ? 1 1 2? ,即
3
h ( a ? 2b) ? 3 3 6.
2

.

1

1

1

3

同理有 h 2 (2 a ? b ) ? 2 4 0 ,两式相除得

3 a ? 2b

2a ? b

?

336 240

?

7 5

,去分母

化简得 b ? 3 a ,代入 h 2 ( a ? 2 b ) ? 3 3 6 得 a h 2 ? 4 8 . 注意到直角腰长等于高 h , 梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台, 其体积为 h ( a 2 ? a b ? b 2 ) ? 1 5 6 . 将 b ? 3 a 代入化简得 a 2 h ? 3 6 . 结合 a h 2 ? 4 8 可
3 1

解 得 a ? 3 ,h ?
2 2

4,

因此 b?9 ,由勾股定理知另一条腰的长度为 ,因此梯形的周长为 3 ? 9 ? 4 ? 2 13 ? 16 ? 2 13 .

4 ? (9 ? 3) ? 2 1 3

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 1. (本小题满分 16 分)设椭圆
x a
2 2

+

y b

2 2

=1 ( a > b > 0 ) 的左、右顶点分别为 A , B



点 P 在椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点. 若 | A P |= | O A | ,证明:直线 O P 的 斜率 k 满足 | k
|? 3

.
? 2? ) , A ( ? a , 0 ) .

解法一:设 P ( a cos ? , b sin ? )(0 ? ?

由 | A P |? | O A | ,有 ( a co s ? ? a ) 2 ? ( b sin ? ) 2 ? a , 即 a 2 cos 2 ? ? 2 a 2 cos ? ? b 2 sin 2 ? ? 0 . 从而 ?
? ? 1 ? co s ? ? 0, ? ? a co s ? ? 2 a co s ? ? b sin ? ? a sin ? .
2 2 2 2 2 2 2

……4 分

所以, ?

1 2

? co s ? ? 0 ,且

b sin ?
2 2

a co s ?
2 2

? ?1 ?

2 co s ?

? 3.

所以, | k |?

b sin ? a co s ?

?

?1 ?

2 co s ?

?

3.

……16 分
4

解法二:设 P ( a cos ? , b sin ? )(0 ? ? 则线段 O P 的中点 Q (
a 2 co s ? , b 2

? 2? )

.

sin ? )

.

| A P |= | O A | ? A Q ? O P ? k A Q ? k ? ? 1 .

k AQ ?

b sin ? 2 a ? a co s ?
AQ

? b sin ? ? a k A Q co s ? ? 2 a k A Q
2 2 2

.
2 2

……8 分
2

? 2 ak

?

( b ? b k AQ ) ? (sin
2

? ? cos ? ) ?
2

b ? a k AQ ?

a

2

? a k AQ
2 2

? | k A Q |?

1 3

? | k |?

3

.

……16 分

2. (本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求
S ? ( a ? a b ? b )( b ? b c ? c )( c ? ca ? a )
2 2 2 2 2 2

的最大值. 解:不妨设 a ? b ? c .显然有 b ? b c ? c ? b , c ? ca ? a ? a .
2 2 2 2 2 2

……………5 分 根据 AM-GM 不等式可得
S ? a b (a ? ab ? b ) ?
2 2 2 2

4 9

?

3ab 2

?

3ab 2
3

? (a ? ab ? b )
2 2

6 6 ? 3ab 3ab ? 2 2 4(a ? b) 4(a ? b ? c) ? ? (a ? ab ? b ) ? ? ? ? 2 ? ? 12. 2 5 5 9 ? 3 3 ? ? ?

4

3

……………15 分 所以 S 的最大值为 12,这时 ? a , b , c ? ? ? 2 ,1, 0 ? . ……………20 分 3. (本小题满分 20 分)求出所有的函数 f : N ? N 使得对于所有 x , y
* *

? N

*

, ( f ( x )) ? y 都能被 f ( y ) ? x 整除.
2 2

解:根据题目的条件,令 x ? y ? 1 ,则 ( f (1)) ? 1 能被 f (1) ? 1 整除.
2

因此 ( f (1)) ? f (1) 能被 f (1) ? 1 整除, 也就是 f (1)( f (1) ? 1) 能被 f (1) ? 1 整除.
2

) 因 为 f ( 1 )与 f (1) ? 1 互 素 , 所 以 f ( 1 ? f ( 1 ? ? 1f ) ?( 1 ) 1 ,所以 f (1) ? 1 ? 0

1 能 被 f ( 1 ?)

1 整除,且

, f (1) ? 1 . ……………10 分

令 y ? 1 ,则 ( f ( x))

2

? 1

能被 1 ? x 整除,因此 ( f ( x )) ? x .从而 f ( x ) ? x ,对
2

2

2

5

所有 x ? N .
*

令 x ? 1 ,则 1 ? y 能被 f ( y ) ? 1 整除.从而 y ? f ( y ) ,对所有 y ? N .
*

综上所述, f ( x ) ? x ,对所有 x ? N .
*

……………20 分

6


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