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排列组合解题技巧


一、方法导引与拓展
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排列组合问题是高考和全国数学联赛的必考题,也是热点 问题。 思维策略:主要以两个原理引路,紧扣“完成一件什么事情” 去审题。 解题技巧

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(1)抽象成排列,组合模型
(2)从“问题元素”或“问题位置”出发去分类讨论

、排列组合常见的11种解题技巧
1、元素相邻,捆绑为一
例1:3位老师,4位同学站成一排,老师必须相 邻有多少种不同的站法?
5 3 A5 ? A3

解:可将老师“捆绑”作为一个元素,故答案为:

2、元素相间,插空处理
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例2: 5名男生,3名女生站成一排,要求女生互不相邻的排法有多少种?

解:可将男生站成一排,将女生进行 插空处理即可。故答案为:A55 ? A63

3、特殊优先,一般在后
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例3.用0,2,3,4,5这五个数字组成多少个各位数字不重复的三位偶数?

解:此题特殊元素是:0和2,4,特殊位置是首位 和末位,0不能放首位,0,2,4应放在末位。根据 特殊先排的原则将问题分为0在末位和2,4在末位 2 1 1 1 两种情形。故答案为:N ? A4 ? A2 ? A3 ? A3 ? 30

4、条件交叉,容斥原理
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例4. 5名运动员选4人参加接力赛,其中甲不跑首棒,乙不跑末棒,则一共有多 少种不同的参赛方案。

解:此题甲不在首位,但可以在末位;乙不在末 位,但可以在首位,特殊元素和特殊位置之间有 交叉可以用容斥原理。I={5人中选四人参赛}, A={甲在首位的参赛方案},B={乙在末位的参赛 方案},A ? B={甲首且乙尾的参赛方案}
4 3 2 ? N ? A5 ? 2 A4 ? A3 ? 78

5、元素定序,只选不排
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例5.甲、乙、丙、丁站成一排,其中要求甲左乙右(可以不相邻)的排法有多 少种?

解:先可在四个位置上选出两个,排甲、乙, 因为甲左乙右,故位子选定后,甲,乙的站法 就确定了,只需将丙、丁排在另外两个位置上 2 2 ? A2 即可。故答案为:C4

6、元素重复、定序处理
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例6.四个相同的红球和四个相同的黄球排成一排,有多少种不同的排法?

解:可以将问题理解为:红球和黄球内部的顺 序是确定的,故只需在8个位置上选出4个位置 摆红球,另四个位置摆上黄球即可.故答案为: C ?C
4 8

4

7、平均分堆,先分后除
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例7.将6个不同的小球平均分成两堆,问有多少种不同的分法?

解:分堆没有次序之分,所以分堆的方法数为:
3 3 C6 ? C3 ? 10 2 A2

8、不同元素入盒,先分堆 在排列
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例8.将7个同学分到6个班级,每班至少一人,一共有多少不同的分法?

解:先将7个同学分成6堆,在按 每班一堆作全排列即: N ?C ?A
2 7 6 6

9、相同元素入盒,用隔板 法处理
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例9.从5个班上选10人组成篮球队,每班至少选一人,则共有多少种选人方案?

解:此处并不考虑人与人的差异,考虑的是 每班选几个人的方案,可以理解成10个相同 的小球放入五个盒子,每盒不空的问题,可 4 以用隔板法来处理。故答案为: C9

10、正难则反,间接作答
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例10.一个袋中装有4个红球,6个白球。若从中取出 一个红球得2分,取出一个白球得1分,从中取四个 球若使得分数不少于5分,不同的取法共有多少种?

解:若正面处理,则应分成{4红},{3红1白}, {2红2白},{1红3白}这四类分别求组合数。若从 反面看,只需要选出的4球不全是白球就可以满 4 4 N ? C10 ? C6 ? 195 足要求。故答案为:

11、环状排列,化环为直
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例11.4名同学2名老师手牵手围城一圈,有多少不同的排法?若要求老师必须相邻, 又有多少种不同的排法?

解:分析:由于环状排列没有首尾之分,将n 个元素围城的环状排列剪开看成 n个元素排成 n 一排,即共有 An 种排法。由于n个元素共有n 种不同的剪法,设环状排列共有x种排法,则 A x?n ? A 6 x ? 即 A 6 n 所以师生围城一圈共有 6 种排法。 两位老师相邻有 A ? A 种排法。
n n

n n

2 2

5 5

5


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