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2015高考数学文(新课标II卷)含答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题

卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的。 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 A∪B= A.

(?1,3)

B. (?1,0)

C. (0,2)

D. ( 2,3)

2.若 a 为实数,且 A.

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i
B. ? 3 C. 3 D. 4

?4

3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势
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D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量 a=(1,-1) b=(-1,2),则(2a +b).a= A.

?1

B. 0

C. 1

D. 2

5. 设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S 5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

6. 一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为 A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.已知三点 A(1,0) , B (0, 3 ) , C (2, 3 ) ,则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该 程序框图,若输入的 a 、 b 分别为 14、18,则输出的 a ? A. 0 B. 2 C. 4 D. 14

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? A. 2 B. 1

1 , a3 a5 ? 4(a4 ? 1) ,则 a2 ? 4 1 1 C. D. 2 8
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10. 已知 A 、 B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点 . 若三棱锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为
A.

36?

B. 64?

C. 144?

D. 256?

11.如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着 BC 、CD 与

DA 运动,记 ?BOP ? x . 将动点 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则

y ? f ( x) 的图象大致为

12. 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 ( ,1) 3 1 1 C. (? , ) 3 3
A.

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1? x2 1 B. (??, ) U (1,??) 3 1 1 D. (??,? ) U ( ,??) 3 3

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x 的图象过点 (?1,4) ,则 a ?
3

.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14.若 x 、 y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?

.

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15.已知双曲线过点 (4, 3 ) , 且渐近线方程为 y ? ?

1 则该双曲线的标准方程为 x, 2
2

.

16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1 相 切 , 则

a?

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分) Δ ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (I) 求

sin ?B ; sin ?C

(II)

若∠BAC=60°,求∠B.

18、 (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户 对产品的满意度评分, 得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分 的频数分布表.

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频数 (I) [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100) 6

在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图,并通过直方图比较

两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)

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(II) 满意度评分 满意度等级

根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级; 低于 70 分 不满意 70 分到 80 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 19、 (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,分别在 A1B1, D1C1 上,A1E= D1F=4.过点 E,F 的平面α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(I) (II)

在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) 求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: (I) (II)

x2 y 2 2 ,点(2, 2 )在 C 上. ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率为 2 a b 2
求 C 的方程. 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的

中点为 M.直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln x +a(1- x) (I) (II) 讨论 f(x)的单调性; 当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请
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写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选择 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 Δ ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I) (II) 证明:EF//BC; 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN=2 3 ,求四边形 EBCF 的面积

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

x ?t cos α { 在直线坐标系 xOy 中,曲线 C : y ? t sin α (t 为参数,t ? 0)其中 0 ? α ? ? .在以 O
1

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:p=2 sin ? ,C3:p=2 3 cos? 。 (I) (II) 求 C1 与 C3 交点的直角坐标; 若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (I) (II) 若 ab>cd,则 a ? b > c ? d ;

a ? b > c ? d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题答案
一.选择题 (1 )A (7 )B 二.选择题 (13 )-2 三.解答题
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(2 )D (8 )B

(3 )D (9 )C

(4 )C (10 )C

(5 ) A (11 )B

(6 )D (12 )A

(14 )8

(15 )

x2 ? y2 ? 1 4

(16 )8

(17)解: (Ⅰ)由正弦定理得

AD BD AD DC ? , ? . sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD sin ?B DC 1 因为 AD 平分 ?BAC , DB ? 2 DC , 所以 ? ? . sin ?C BD 2
(Ⅱ)因为 ?C ? 180 ? ? ?BAC ? ?B ? , ?BAC ? 60 , 所以
0 0

sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

3 1 cos ?B ? sin ?B. 2 2
3 , 即 ?B ? 300 。 3

由(Ⅰ)知 2sin ?B ? sin ?C , 所以 tan ?B ?

(18)解: (Ⅰ)

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均 值高于 A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满 意度评分比较分散。 (Ⅱ)A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。 记 CA 表示事件: “A 地区用户满意度等级为不满意” ;CB 表示事件: “B 地区用户满意度等 级为不满意” 。 由直方图得 P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(CB) 的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以 A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。

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(19)解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(Ⅱ)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所 以 EH=EF=BC=10.于是 MH= EH ? EM
2 2

? 6, AH ? 10, HB ? 6 .因为长方体被平面 ? 分为
9 7 ( 也正确) 7 9

两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为

(20)解:

a 2 ? b2 2 4 2 ? , ? ?1, (Ⅰ)由题意有 a 2 a 2 b2
解得

a 2 ? 8, b 2 ? 4 。所以 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

( Ⅱ ) 设 直 线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), M ( xM , y M ). 将

x2 y 2 ? 1 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 y ? kx ? b 代入 ? 8 4
故 xm ?

x1 ? x2 ?2kb b ? 2 , ym ? k ?xm ? b ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

于是直线 OM 的斜率 kom ?

ym 1 1 ? ? , 即kom .k ? ? xm 2k 2

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。

(21)解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 (0, ??), f ' ( x) ?
'

1 ?a x

若 a ? 0, 则 f ( x) ? 0, 所以 f ( x)在(0, ??) 单调递增。
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若 a ? 0 ,则当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0, 当 x ? ( , ??) 时, f ( x) ? 0, 所以 f ( x) 在
' '

1 a

1 a

1 1 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减。 a a
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 当 a ? 0 时, f ( x)在(0, ??) 无最大值; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 取得最大值,最大值为 f ( ) ? 1n( ) ? a (1 ? ) ? ?1na ? a ? 1 。 因此 f ( ) ? 2a ? 2 等价于 1na ? a ? 1 ? 0 令 g (a ) ? 1na ? a ? 1 ,则 g ( a ) 在 (0, ??) 单调递增, g (1) ? 0 于是,当 0 ? a ? 1 时 g (a ) ? 0 ;当 a ? 1 时, g (a ) ? 0 因此, a 的取值范围是 (0,1)

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

(22)解: (Ⅰ)由于 ? ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平行线。又因为

? O 分别于 AB , AC 相切于点 E , F ,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF 从而 EF ? BC 。
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 AE ? AF , AD ? EF , 故 AD 是 EF 的垂直平分线, 又 EF 为 ? O 的弦,所以 O 在 AD 上。 连接 OE , OM ,则 OE ? AE 由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 300 . 因 此 ? ABC 和 ?AEF 都是等边三角形。 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4 , OE ? 2 。 因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

1 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 于是 2

AD ? 5, AB ?

10 3 3 1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3) 2 ? ? 2 3 2 2 2 3

所以四边形 EBCF 的面积为

(23)解:

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( Ⅰ ) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 y ? 0, 曲 线 C3 的 直 角 坐 标 方 程 为
2 2

x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 0.
2 2 ? ? x ? 0, ? x ? y ? 2 y ? 0, 联立 ? 解得 ? 2 2 ? y ? 0, ? ? x ? y ? 2 3 x ? 0.

? 3 x? , ? ? 2 或? ? y ? 3, ? 2 ?

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 ?

? 3 3? ? 2 ,2? ?. ? ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为
因此 A 的极坐标为

? ? a ? ? ? R, ? ? 0 ? , 其中0 ? a ? ? .
3 cos a, a . 所以

? 2sin a, a ? , B 的极坐标为 ? 2

?

?? 5? ? 时, AB 取得最大值,最大值为 4. AB ? 2sin a ? 2 3 cos a ? 4 sin ? a ? ? . 当 a ? 3? 6 ?

(24)解: (Ⅰ)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 因此 a ? b ?

?

a?

? c ? d ? ?c?d ?2 b? ? ? c ? d ? 。
2 2 2
2 2

cd ,

c? d。

(Ⅱ) (i)若 a ? b ? c ? d , 则 ? a ? b ? ? ? c ? d ? ,即

?a ? b?

2

? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd .

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 由(Ⅰ)得 a ? b ? (ii)若 a ? b ?

c? d c ? d ,则

?

a? b

? ?
2

?

c? d

? ,即
2

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd .于是

?a ? b?

2

? (a ? b) 2 ? 4ab ? ? c ? d ? ? 4cd ? ? c ? d ?
2

2

因此 a ? b ? c ? d .
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综上, a ? b ?

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件

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