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【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.4.2 抛物线的几何性质(二)备考练习 苏教版


2.4.2
一、基础过关

抛物线的几何性质(二)

1.已知抛物线 y =2px (p>0)的准线与圆 x +y -6x-7=0 相切,则 p 的值为________. 2.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则
2

2



2

2

B 到该抛物线准线的距离为________.
→ 2 3.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =2px (p>0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA与 x 轴 正向的夹角为 60°,则 OA 的长度为________. 1 2 4.已知 F 是抛物线 y= x 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方程是 4 __________. 5. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分, 光源在抛物线的焦点处, 灯口直径为 60 cm, 灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是________ cm. 6.点 P 到 A(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 l:y=x 的距离等于 这样的点 P 的个数为________. 7.根据条件求抛物线的标准方程. (1)抛物线的顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线 x+y+2=0 上; (2)抛物线的顶点在原点,焦点是圆 x +y -4x=0 的圆心. 二、能力提升 π π 2 8. 过抛物线 y =2px (p>0)的焦点 F 作两弦 AB 和 CD, 其所在直线的倾斜角分别为 与 , 6 3 则 AB 与 CD 的大小关系是____________. 9. 若点 P 在抛物线 y =x 上, Q 在圆 M: x-3) +y =1 上, PQ 的最小值是________. 点 ( 则 10.设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 抛物线的准线相交于点 C,BF=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比
2 2 2 2 2 2

2 ,则 2

S△BCF =________. S△ACF

11.已知抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴上.又知此抛物线上一点 A(1,m)到焦点的距离 为 3. (1)求此抛物线的方程; (2)若此抛物线方程与直线 y=kx-2 相交于不同的两点 A、 , AB 中点横坐标为 2, B 且 求 k 的值. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y =4x 相交于不同的 A、B 两点. → → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA·OB的值;
-12

→ → (2)如果OA·OB=-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点. 三、探究与拓展 13.抛物线 y =2px (p>0)的焦点为 F,准线与 x 轴交点为 Q,过 Q 点的直线 l 交抛物线 于 A、B 两点. (1)直线 l 的斜率为 2 → → ,求证:FA·FB=0; 2
2

(2)设直线 FA、FB 的斜率为 kFA、kFB,探究 kFB 与 kFA 之间的关系并说明理由.

-2-

答案 1.2 2. 3. 3 2 4 21 p 2
2

4.x =2y-1 5.5.625 6.3 7.解 (1)直线 x+y+2=0 与 x,y 轴的交点坐标分别为(-2,0)和(0,-2),所以抛 物线的标准方程可设为 y =-2px (p>0)或 x =-2py (p>0),由- =-2,得 p=4, 2 所以所求抛物线的方程为 y =-8x 或 x =-8y. (2)圆 x +y -4x=0 的圆心为(2,0), 故抛物线方程的形式为 y =2px (p>0). 由 =2 得 p=4,所以所求抛物线方程为 y =8x. 2 8.AB>CD 9. 11 -1 2
2 2 2 2 2 2 2

p

p

2

4 10. 5 11.解 (1)由题意设抛物线方程为 y =2px, 其准线方程为 x=- , 2 ∵A(1,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离. ∴1+ =3,∴p=4. 2 ∴此抛物线的方程为 y =8x. (2)由?
? ?y =8x ?y=kx-2 ?
2 2 2

p

p

,消去 y 得 k x -(4k+8)x+4=0,

2 2

∵直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同的两点 A、B,
?k≠0 ? 则有? ? ?Δ >0

,解得 k>-1 且 k≠0.

4k+8 又∵x1+x2= 2 =4,解得 k=2 或 k=-1(舍去).

k

-3-

∴所求 k 的值为 2. 12.(1)解 由题意知,抛物线焦点为(1,0),设 l:x=ty+1,代入抛物线方程 y =4x, 消去 x,得 y -4ty-4=0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4, →
2 2

OA·OB=x1x2+y1y2
=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2 =-4t +4t +1-4=-3. (2)证明 设 l:x=ty+b,代入抛物线方程 y =4x, 消去 x,得 y -4ty-4b=0,设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b. → → ∵OA·OB=x1x2+y1y2 =(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t y1y2+bt(y1+y2)+b +y1y2 =-4bt +4bt +b -4b=b -4b, 令 b -4b=-4,∴b -4b+4=0, ∴b=2,∴直线 l 过定点(2,0).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



? ? 13.(1)证明 ∵Q?- ,0?, ? 2 ?
p
∴直线 l 的方程为 y= 2? p? ?x+ ?, 2 ? 2?

p ? ?y= 2?x+ ? ? 2? 2? ? 由? ?y2=2px ?
2

.

消去 x 得 y -2 2py+p =0. 解得 A?

2

?3+2 2 p,? ? 2

2+1?

p?,B?

? ?

?3-2 2 p,? ? 2

2-1?

p?.

? ?

? ? 而 F? ,0?, ?2 ?
p
→ 故FA=((1+ 2)p,(1+ 2)p), →

FB=((1- 2)p,( 2-1)p),
→ → 2 2 ∴FA·FB=-p +p =0. (2)解 kFA=-kFB 或 kFA+kFB=0.

-4-

因直线 l 与抛物线交于 A、B 两点, 故直线 l 方程:y=k?x+ ? (k≠0). ? 2?

?

p?

?y=k?x+p? ? ? 2? ? ? 由? ?y2=2px ?
2



消去 x 得 ky -2py+kp =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=p .
2

2

y1 y2 kFA= ,kFB= , p p x1- x2-
2 2

∴kFA=

p2 y2

y2 p ?p2?2 1 - 2p 2 ?y2? p ? ? - 2p 2
=-kFB.



p2 y2



y2 p

y2 2 - 2 2p

-5-


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