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北京市朝阳区2016届高三一模数学(理科)试题及答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2016.3

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40

分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数 A. 1 ? i

2i = 1? i
B. ? 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i

2 2. 已知全集 U ? R ,函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域为 M ,集合 N ? x x ? x ? 0 ,则下列结

?

?

论正确的是 A. M ? N ? N C. M ? N ? U
a b

B. M ? ? ?U N ? ? ? D. M ? ? ?U N ?

3. “ a ? b ”是“ e ? e ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 开始

4. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.42 C.8 B.19 D.3

i ? 1, S ? 1
i ? i ?1
i ? 4?


S ? 2S ? i

5.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c. 若 (a ? c ? b ) tan B ? 3ac ,则角 B 的值为
2 2 2

否 输出 S

A. C.

? 3
? 2? 或 3 3

? 6 ? 5? D. 或 6 6
B.

结束 (第 4 题图)

6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误 的是 .. A. 收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 B. 结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 (注:结余=收入-支出)
万元 90 8 70 0 60 5 40 0 30 20 10 O 1 2 O 3 4 5 6 7 1 8 O 9 10 11 12 5 月
收入

支出

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是

A.

1 3

B.

C. 1

1 2 3 D. 2
正视图

1 1 侧视图

2 俯视图

1 (第 7 题图)

8.若圆 x ? ( y ? 1) ? r 与曲线 ( x ? 1) y ? 1 的没有公共点,则半径 r 的取值范围是
2 2 2

A. 0 ? r ? 2

B. 0 ? r ?

11 2

C. 0 ? r ? 3

D. 0 ? r ?

13 2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.
2 9. 二项式 ( x ?

1 5 ) 的展开式中含 x 4 的项的系数是 x
?

(用数字作答). ;

10 .已知 等差数列 {a n } ( n ? N ) 中, a1 ? 1 , a4 ? 7 ,则 数列 {a n } 的通项公式 an ?

a2 ? a6 ? a10 ? ? ? a4 n ?10 ? ______.
11.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ,曲线 C2 的参数方程为

? x ? 2 ? t, (t 为参数 ) .以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲 ? y ? t ?
线 C1 与 C2 的交点的极坐标 为 ... .

? x ? 0, ? 12.不等式组 ? y ? x, 所表示的平面区域为 D.若直线 y ? a( x ? 1) 与区域 D 有公 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
共点,则实数 a 的取值范围是 .

???? ? 1 ??? ? ???? 13.已知 M 为 ?ABC所在平面内的一点,且 AM ? AB ? n AC .若点 M 在 ?ABC 的内部(不含边界), 4
则实数 n 的取值范围是____. 14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第
?0, 如果某学生不具有第i项能力特征, i ( i ? 1, 2,?,12 )项能力特征用 xi 表示, xi ? ? ? 1, 如果某学生具有第i项能力特征.

若学生 A, B 的十二项能力特征分别记为 A ? (a1, a2 ,?, a12 ) , B ? (b1 , b2 ,?, b12 ) ,则 A, B 两名学生的不同能力特征项数为 (用 ai , bi 表示).如果两个

同学不同能力特征项数不少于 7 , 那么就说这两个同学的综合能力差异较大. 若该班有 3 名学生两两 综合能力差异较大,则这 3 名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ?x 3 sin ? x ? 3 cos 2 ? ,? ? 0 . 2 2 2

(Ⅰ)若 ? ? 1 ,求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( ) ? 1 ,求 f ( x) 的最小正周期 T 的表达式并指出 T 的最大值.

? 3

16.(本小题满分 13 分) 为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.

人数 本数

1
性别

2 4 1

3 3 3

4 2 3

5 2 1

男生 女生

1 0

(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为 4 的概率? (Ⅱ)若从阅读名著不少于 4 本的学生中任选 4 人,设选到的男学生人数为 X ,求随机变 量 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差 s12 与女学生阅读名著本数的方差 s2 2 的大小(只需 写出结论).

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 AA ,A .直角梯 1B 1B 中, ?A 1B 1 // AB , AB ? AA 1 AB ? 90? 1 ? 2A 1B 1 ?2 形 AAC 1 1C 通过直角梯形 AA 1B 1B 以直线 AA 1 为轴旋转得到,且使得 A1 C1 P A C M B

B1

M 为线段 BC 的中点,P 为线段 BB1 平面 AAC 1 1C ? 平面 AA 1B 1B .
上的动点. (Ⅰ)求证: AC 1 1 ? AP ; (Ⅱ)当点 P 是线段 BB1 中点时,求二面角 P ? AM ? B 的余 弦值;

AMP ?请说明理由. (Ⅲ)是否存在点 P ,使得直线 AC 1 //平面

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ??1, 2? 时,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)试问过点 P(1 , 3) 可作多少条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?并说明理由.

19.(本小题满分 14 分) 已知点 P( 2,1) 和椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为 F 1 , F2 ,试求 ?PF 1 F2 的周长及椭圆的离心率; (Ⅱ)若直线 l :

2x ? 2 y ? m ? 0(m ? 0) 与椭圆 C 交于两个不同的点 A , B ,直线 PA , PB 与 x

轴分别交于 M , N 两点,求证:

PM ? PN .

20.(本小题满分 13 分)
? 已知等差数列 {an } 的通项公式 an ? 3n ?1(n ? N ) .设数列 {bn } 为等比数列,且 bn ? akn .

(Ⅰ)若 b1 ? a1 =2 ,且等比数列 {bn } 的公比最小, (ⅰ)写出数列 {bn } 的前 4 项; (ⅱ)求数列 {kn } 的通项公式; (Ⅱ)证明:以 b1 ? a2 ? 5 为首项的无穷等比数列 {bn } 有无数多个.

北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试

数学答案(理工类)
一、选择题:(满分 40 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D

2016.3

7 A

8 C

二、填空题:(满分 30 分) 题号 答案 9
10

10

11

12

13

14

an ? 2n ? 1 , (n ? 3)(4n ? 11)

? ( 2, ) 4

3 (??, ] 4

3 (0, ) 4

?| a
i ?1

12

i

? bi |

22

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题:(满分 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 ? ? 1 时, f ( x) ?

1 x 3 sin x ? 3 cos 2 ? 2 2 2

1 3 ? sin x ? cos x 2 2
? ? sin( x ? ) . 3 ? ? ? 令 2k ? ? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z . 2 3 2 ?? ? ? x ? 2k ? ? , k ? Z . 解得 2k ? ? 6 6 ?? ? ,2k ? ? ], k ? Z .????????7 分 所以 f ( x) 的单调递增区间是 [2k ? ? 6 6
(Ⅱ)由 f ( x) ?

1 ?x 3 sin ? x ? 3 cos 2 ? 2 2 2

1 3 ? sin ? x ? cos ? x 2 2
? ? sin(? x ? ) . 3 ? ?? ? ? ) ? 1. 因为 f ( ) ? 1 ,所以 sin( 3 3 3 ?? ? ? ? ? 2 n? ? , n ? Z . 则 3 3 2 1 解得 ? ? 6 n ? . 2

又因为函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 所以当 ? ?

2?

?

,且 ? ? 0 ,

1 时, T 的最大值为 4 ? . ???????????????13 分 2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设事件 A :从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅 读本数之和为 4 . 由题意可知, P ( A) ?

1? 3+4 ?1 7 = .???????????????4 分 12 ? 8 96

(Ⅱ)阅读名著不少于 4 本的学生共 8 人,其中男学生人数为 4 人,故 X 的取值为

0,1, 2,3, 4 .
由题意可得 P( X ? 0) ?
4 C4 1 ? ; 4 C8 70

P( X ? 1) ?

1 3 C4 C4 16 8 ? ? ; C84 70 35 3 1 C4 C4 16 8 ? ? ; C84 70 35

P( X ? 2) ?

2 2 C4 C4 36 18 ? ? ; C84 70 35 4 C4 1 . ? 4 C8 70

P( X ? 3) ?

P( X ? 4) ?

所以随机变量 X 的分布列为

X
P
随机变量 X 的均值 EX ? 0 ?

0

1

2

3

4

1 70

8 35

18 35

8 35

1 70

1 16 36 16 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 .????10 分 70 70 70 70 70

(Ⅲ) s12 ? s2 2 .????????????????????????????13 分 17. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由已知 ?A 1 1C ? 平面 AA 1B 1B , 1 AB ? ?A 1 AC ? 90? ,且平面 AAC 所以 ?BAC ? 90? ,即 AC ? AB . 又因为 AC ? AA1 且 AB ? AA1 ? A , 所以 AC ? 平面 AA 1B 1B . 由已知 AC 1 1 // AC ,所以 AC 1 1 ? 平面 AA 1B 1B .

因为 AP ? 平面 AA 1B 1B , 所以 AC 1 1 ? AP .????????????????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC, AB, AA1 两两垂直. 分别以 AC, AB, AA1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 由已知 AB ? AC ? AA1 ? 2 A1B1 ? 2 AC 1 1 ?2, 所以 A(0,0,0), B(0, 2,0), C (2,0,0), B1 (0,1, 2) , z A1 C1 P 因为 M 为线段 BC 的中点, P 为线段 BB1 的中点,所以 A M C x B y B1

A1 (0,0, 2) .

3 M (1,1, 0), P(0, ,1) . 2
易知平面 ABM 的一个法向量 m ? (0,0,1) . 设平面 APM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???? ? ? x ? y ? 0, ? ? n ? AM ? 0, ? 由 ? ??? 得 ?3 ? y ? z ? 0. ? ? ? n ? AP ? 0, ?2
取 y ? 2 ,得 n ? (?2, 2, ?3) . 由图可知,二面角 P ? AM ? B 的大小为锐角, 所以 cos? m, n? ?

m?n m?n

?

3 3 17 . ? 17 17
3 17 .????????????9 分 17

所以二面角 P ? AM ? B 的余弦值为

AMP . (Ⅲ)存在点 P ,使得直线 AC 1 //平面
设 P( x1 , y1 , z1 ) ,且 BP ? ? BB1 , ? ? [0,1] ,则 ( x1 , y1 ? 2, z1 ) ? ? (0, ?1, 2) , 所以 x1 ? 0, y1 ? 2 ? ?, z1 ? 2? .所以 AP ? (0, 2 ? ?, 2? ) . 设平面 AMP 的一个法向量为 n0 ? ( x0 , y0 , z0 ) ,

??? ?

????

??? ?

???? ? ? ?n0 ? AM ? 0, 由 ? ??? ? ? ? n0 ? AP ? 0,

得?

? x0 ? y0 ? 0, ?(2 ? ? ) y0 ? 2? z0 ? 0.

取 y0 ? 1 ,得 n0 ? ( ?1,1,

? ?2 ) (显然 ? ? 0 不符合题意). 2? ???? ???? AMP 又 AC ,若 // 平面 ,则 AC ? (2,0, ? 2) AC ? n0 . 1 1 1

所以 A1C ? n0 ? ?2 ?

????

? ?2 2 ? 0 .所以 ? ? . ? 3
BP AMP .????14 分 ? 2 时,使得直线 AC 1 //平面 PB1

所以在线段 BB1 上存在点 P ,且 18.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? 0 . f ?( x) ? 1 ?

?

?

a x?a ? . x x

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a . 当 0 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减函数; 当 x ? ?a 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增函数. 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) .

+?) . 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ?a) ,单调递增区间为 (?a,
????????????????????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, (1)当 ? a ? 1 时,即 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上为增函数, 所以在区间 ?1, 2? 上, f ( x)min ? f (1) ? 1 ,显然函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上恒大于零; (2)当 1 ? ?a ? 2 时,即 ?2 ? a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 ?1 , ? a ? 上为减函数,在 ? ?a, 2? 上为增函数,所以 f ( x)min ? f (?a) ? ?a ? a ln(?a) . 依题意有 f ( x)min ? ?a ? a ln(?a) ? 0 ,解得 a ? ?e ,所以 ?2 ? a ? ?1 . (3)当 ? a ? 2 时,即 a ? ?2 时, f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上为减函数,

所以 f ( x)min ? f (2) ? 2+a ln 2 . 依题意有 f ( x)min ? 2+a ln 2 ? 0 ,解得 a ? ? 综上所述,当 a ? ?

2 2 ? a ? ?2 . ,所以 ? ln 2 ln 2

2 时,函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2? 上恒大于零.??????8 分 ln 2
a , x0

(Ⅲ)设切点为 (x0 , x 0 ?a ln x0 ) ,则切线斜率 k ? 1 ?

切线方程为 y ? ( x0 ? a ln x0 ) ? (1 ?

a )( x ? x0 ) . x0 a )(1 ? x0 ) . x0

因为切线过点 P(1,3) ,则 3 ? ( x0 ? a ln x0 ) ? (1 ?

即 a(ln x0 ?

1 ? 1) ? 2 ? 0 . x0

………………①

令 g ( x) ? a(ln x ?

1 1 1 a( x ? 1) ? 1) ? 2 ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? a( ? 2 ) ? . x x x x2

(1)当 a ? 0 时,在区间 (0,1) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 所以函数 g ( x) 的最大值为 g (1) ? ?2 ? 0 . 故方程 g ( x) ? 0 无解,即不存在 x0 满足①式. 因此当 a ? 0 时,切线的条数为 0 . (2)当 a ? 0 时, 在区间 (0,1) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, 所以函数 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?2 ? 0 . 取 x1 ? e
1+ 2 a
2 2 ?1? 2 ?1? a a ? 1) ? 2 ? ae ? 0. ? e ,则 g ( x1 ) ? a(1 ? ? e a

故 g ( x) 在 (1, ??) 上存在唯一零点. 取 x2 ? e
-12 a 2 2 1? 1? 1 2 1? 2 2 < ,则 g ( x2 ) ? a(?1 ? ? e a ? 1) ? 2 ? ae a ? 2a ? 4 ? a[e a ? 2(1 ? )] . e a a

设 t ? 1?

2 (t ? 1) , u(t ) ? et ? 2t ,则 u?(t ) ? et ? 2 . a

当 t ? 1 时, u?(t ) ? et ? 2 ? e ? 2 ? 0 恒成立. 所以 u (t ) 在 (1, ??) 单调递增, u (t ) ? u (1) ? e ? 2 ? 0 恒成立.所以 g ( x2 ) ? 0 . 故 g ( x) 在 (0,1) 上存在唯一零点. 因此当 a ? 0 时,过点 P (1 , 3) 存在两条切线. (3)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,显然不存在过点 P (1 , 3) 的切线.

, 3) 存在两条切线; 综上所述,当 a ? 0 时,过点 P (1 , 3) 的切线.???????????????????13 分 当 a ? 0 时,不存在过点 P (1
19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题意可知, a 2 ? 4 , b2 ? 2 ,所以 c 2 ? 2 . 因为 P( 2,1) 是椭圆 C 上的点,由椭圆定义得 PF1 ? PF2 ? 4 . 所以 ?PF1 F2 的周长为 4 ? 2 2 . 易得椭圆的离心率 e=

c 2 .?????????????????????4 分 ? a 2

? 2 x ? 2 y ? m ? 0, (Ⅱ)由 ? 得 4 x2 ? 2 2mx ? m2 ? 8 ? 0 . ? x2 y2 ? ? 1, ? ? 4 2
因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点,并注意到直线 l 不过点 P , 所以 ?

?8m2 ? 4 ? 4(m2 ? 8) ? 0, ? m ? 0.

解得 ?4 ? m ? 0 或 0 ? m ? 4 .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

m2 ? 8 2 m , x1 x2 ? , 4 2

y1 ?

2 x1 ? m 2 x2 ? m , y2 ? . 2 2

显然直线 PA 与 PB 的斜率存在,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,

则 k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y ?1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
( 2 x1 ? m 2 x2 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

?

( 2 x1 ? m ? 2)( x2 ? 2) ? ( 2 x2 ? m ? 2)( x1 ? 2) 2( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2 2 x1 x2 ? (m ? 4)( x1 ? x2 ) ? 2 2m ? 4 2 2[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]

?

2 2(m2 ? 8) (m ? 4)2 2m 8 2m 16 2 ? ? ? 4 4 4 4 ? 2[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]
? 2 2(m 2 ? 8) ? (m ? 4)2 2m ? 8 2m ? 16 2 8[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]

?

2 2m 2 ? 16 2 ? 2 2m 2 ? 8 2m ? 8 2m ? 16 2 ? 0. 8[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]

因为 k1 ? k2 ? 0 ,所以 ?PMN ? ?PNM . 所以 PM ? PN . 20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)观察数列 {an } 的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…. 因为数列 {an } 是递增的整数数列,且等比数列以 2 为首项,显然最小公比不能是 是 4. (ⅰ)以 2 为首项,且公比最小的等比数列的前四项是 2,8,32,128.
n ?1 (ⅱ)由(ⅰ)可知 b1 ? 2 ,公比 q ? 4 ,所以 bn ? 2 ? 4 . n?1 ? 又 bn ? akn ? 3kn ? 1,所以 3kn ? 1 ? 2 ? 4 , n ? N ,

?????????????????????14 分

5 ,最小公比 2

即 kn ?

1 (2 ? 4n ?1 ? 1), n ? N? . 3

再证 kn 为正整数.

显然 k1 ? 1 为正整数,

1 1 n ? 2 时, kn ? kn ?1 ? (2 ? 4n ?1 ? 2 ? 4n ? 2 ) ? ? 2 ? 4n ? 2 (4 ? 1) ? 2 ? 4n ? 2 , 3 3
即 kn ? kn?1 ? 2 ? 4
n?2

1 (n ? 2) ,故 kn ? (2 ? 4n ?1 ? 1), n ? N? 为正整数. 3 1 (2 ? 4n ?1 ? 1), n ? N? . 3

所以,所求通项公式为 kn ?

?????????????????????????????6 分 (Ⅱ)设数列 {cn } 是数列 {an } 中包含的一个无穷等比数列, 且 c1 ? ak1 ? 5 , c2 ? ak2 ? 3k2 ? 1, 所以公比 q ?

3k 2 ? 1 .因为等比数列 {cn } 各项为整数,所以 q 为整数. 5

n?1 取 k2 ? 5m ? 2 ( m ? N? ),则 q ? 3m ? 1 ,故 cn ? 5 ? (3m ? 1) .

只要证 cn ? 5 ? (3m ? 1)

n?1

是数列 {an } 的项,即证 3kn ? 1 ? 5 ? (3m ? 1)n?1 .

n ?1 只要证 kn ? [5(3m ? 1) ? 1] (n ? N? ) 为正整数,显然 k1 ? 2 为正整数.

1 3

n ?1 n?2 n?2 又 n ? 2 时, kn ? kn ?1 ? [(3m ? 1) ? (3m ? 1) ] ? 5m(3m ? 1) ,

5 3

即 kn ? kn?1 ? 5m(3m ? 1)

n?2

,又因为 k1 ? 2 , 5m(3m ? 1)n?2 都是正整数,

故 n ? 2 时, kn 也都是正整数. 所以数列 {cn } 是数列 {an } 中包含的无穷等比数列, 其公比 q ? 3m ? 1 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列, 故数列 {an } 所包含的以 a 2 ? 5 为首项的不同无穷等比数列有无数多个. ??????????????????????????????????13 分


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