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《函数的奇偶性》公开课教案


《函数的奇偶性》教案
授课教师
授课时间: 授课班级:

教材:广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》 (广东高等教育出 版社出版) 教材主要特点:这本教材注意与初中有关知识紧密衔接,注重基础,增加弹性,使用教材 可以根据有关专业的特点,选用相关的章节,教学要求和练习内容分 A、B 两档,适应分 层教学。练习 A 的题目主

要是基础练习,供全体学生学习,也是最低的要求;练习 B 的题 目为拓展延伸的练习,供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求:教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性,奇、偶函 数的性质(课本不要求证明)是作为拓展延伸的内容,以学生自学为主,教师适当给予辅 导。教材已经分层编写,有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点:会计 072 班共有学生 62 人,男生 6 人,女生 56 人。学生数学平均入学成 绩为 58.3 分,上课纪律良好,学生上课注意力比较集中,使用了这本教材后,绝大多数 学生喜欢学数学,学生的学习成绩越来越好。 课 题 函数的奇偶性 课 型 新授课

知识与技能目标:使学生了解奇函数、偶函数的概念,掌握判断函数
奇偶性的方法,培养学生判断、推理的能力。 教学目标

过程与方法目标:通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、
归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想

情感、 态度、 价值观目标: 通过数学的对称美来陶冶学生的情操. 使
学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。 教学重点 教学难点 教学手段 用定义判断函数的奇偶性. 弄清 f (? x)与f ( x) 的关系. 多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)

【教学过程】 :
一、创设情境,引入新课 [设计意图:从生活中的实例出发,从感性认识入手,为学生认识奇偶函数的图像特征做 好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象.如美丽的蝴蝶是左右对称的(轴对称) 。

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现实生活中有许多以对称形式呈现的事物,如汽车的车前灯、音响中 的音箱,汉字中也有诸如“双” 、 “林”等对称形式的字体,这些都给以对称的感觉。函数 里也有这样的现象。 提出问题让学生回答:1、中心对称图形的概念(提醒学生:中心对称——图形绕点旋转 180 度) ;2、轴对称图形的概念(提醒学生:轴对称——图形沿轴翻折 180 度) 。 数学中,对称也是函数图象的一个重要特征,下面展示的是五个函数的图像,请你说出下 面的图像是中心对称图形还是轴对称图形或者两者都不是?

[教学说明:图像(1) 、 (4)是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;图像(2) 、 (3)
2

是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;图像(5)既不是中心对称图形也不是轴对称图形。下 面继续研究具有(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)图像特征的函数] 二、师生互动,探索新知 [设计说明:下列活动,从具体函数入手,学生通过具体的画图像的操作,辩认图像的对称 性来判断函数的奇偶性,从感性认识入手比较符合学生的实际,最大限度地使学生能参与 到知识的探究中,较多的后进生学习起来就有信心.] 活动 1:让学生画出函数 f ( x) ? x2 的图像,说出图像的特征。 解: (1)列表

x
y

? -2 -1 0 1 2 ? 1 0 1 4 ? (学生完成) (3)连线(学生完成)即得

? 4 (2) 描 点 到书本 P98 的图 4-12

活动 2:让学生画出函数 f ( x) ? x3 的图像,说出图像的特征。 解: (1)列表

x

? -2 -1 0 1 2 ? (学生完成) (3)连线(学生完成)即得

y ? -8 -1 0 1 8 ? (2) 描 点 到书本 P98 图 4-13

[教学说明:用多媒体展示活动 1、2 的图像,学生通过画图从形的角度认识两种函数 各自的特征:活动 1 的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,活动 2 的图像是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形] 活动 3:活动 1 给出的函数: f ( x) ? x2 ,找出当 x ? ?1与x ? 1 时函数图像上的点,看有什 么规律? 师生共同完成:当 x 取 ?1与1(两个互为相反数)时,则对应的函数值 f (?1)与f (1) 都取 1, 即: f (?1) ? f (1) 。同理得: f (?2) ? f (2) 。教师提问学生:自变量代入两个互为相反的数:
? x与x ,得到的对应函数值 f (? x)与f ( x) 是什么关系?学生: f (? x) ? (? x)2 ? x2 , f ( x) ? x2 ,

f (? x)与f ( x) 的值相等,即: f (? x) ? f ( x) 。
活动 4:活动 2 给出的函数: f ( x) ? x3 ,找出当 x ? ?1与x ? 1 时函数图像上的点,看有什 么规律? 师生共同完成:当 x 取 ?1与1(两个互为相反数)时,则对应的函数值 f (?1)与f (1) 分别都 取 ?1与1即: f (?1) ? ? f (1) 。同理得: f (?2) ? ? f (2) 。教师提问学生:自变量代入两个互
3

为 相 反 的 数 : ? x与x , 得 到 的 对 应 函 数 值 f (? x)与f ( x) 是 什 么 关 系 ? 学 生 :

f (? x) ? (? x)3 ? ? x3 , f ( x) ? x3 , f (? x)与f ( x) 的值相反,即: f (? x) ? ? f ( x) 。
[活动 3、4 的设计意图:让学生计算相应的函数值,引导学生发现规律,总结规律。然后 学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性。 通过代入特殊值让学生认识两个 函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等的关系, 从而 自然引入奇、偶函数的概念图像性质。] 引入:概念 1:如果对于函数 f ( x) 的定义域(对应的区间关于原点对称)内的任意一个 x , 都有 f (? x) ? f ( x) ,则称这个函数为偶函数。 概念 2:如果对于函数 f ( x) 的定义域(对应的区间关于原点对称)内的任意一个 x ,都有
f (? x) ? ? f ( x) ,则称这个函数为奇函数。

[教学说明:概念 1、2 揭示函数是否是奇、偶函数必须具备两个条件:①定义域对应的区 间必须关于坐标原点对称的;②若 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 为奇函数 , 若 f (? x) ? f ( x) ,则
f ( x) 为偶函数。]

从奇函数和偶函数图象的对称性得到性质: 如果函数 y ? f ( x) 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则称函数 y ? f ( x) 是 奇 函数; 反之若函数 y ? f ( x) 是奇函数, 则它的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 2、 如果函数 y ? f ( x) 的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形, 则称函数 y ? f ( x) 是偶函数; 反之若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形. 3、如果函数 y ? f ( x) 的图象既不是以坐标原点为对称中心的中心对称图形也不是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形,则称函数 y ? f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数(即是非奇非偶函 数) ;反之亦然。 [教学说明:职校生的推理能力较弱,从观察具体奇、偶函数的图像推出奇、偶函数的性 质] 三、巩固提高,熟练技能 例:判断下列函数不是是奇、偶函数: (1)f ( x) ? x3 ?1 ; (2)f ( x) ? x2 ? 2 ; (3)f ( x) ? x2 ? x6 ,
x ?[?2, 4] ,(4) f ( x) ? x ? x2 .

[分析]: 奇、偶函数的性质分别为: f (? x) ? ? f ( x) 、 f (? x) ? f ( x) ,这提示我们验证函
4

数奇偶性的步骤: (1) 看函数定义域对应的区间是否关于坐标原点对称(2)先求出 f (? x) 的值; (3) 看 f (? x)与f ( x) 间的关系; (4) 判断 : 若 f (? x) ? ? f ( x) , 则 f ( x) 为奇函数 , 若
f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 为偶函数.

解 :( 师生共同完成 )(1) 因为函数 f ( x) ? x3 ? 1的定义域是 R ( 关于原点对称 ) ,又因为

f (? x) ? (? x )3 ? 1? ?x3 ?1,
f (? x) ? ? f ( x), f (? x) ? f ( x) ,所以 f ( x) ? x3 ?1 不是奇函数也不是偶函数.

( 学 生 尝 试完成 ) ( 2 )因为函数 f ( x) ? x2 ? 2 的定义域 是 R( 关于原点对 称 ), 又 因 为
2 f (? x) ? (? x ) ? 2? x 2 ? 2 ,

f (? x) ? f ( x) ,所以 f ( x) ? x2 ? 2 是偶函数.

( 师生共同完成 )(3) 因为函数 f ( x) ? x2 ? x6 的定义域是 [? 2, 4]( 关于原点不对称 ) ,所以

f ( x) ? x2 ? x6 , x ?[?2, 4] 是非奇非偶函数.
(学生完成)(4) [教学说明: ( 1) 、 (2) 、 (4)题让学生先求出 f (? x) 的值,养成学习的良好习惯:解题尝 试一步一步去做, (3)用说明的方法,点到即止。] 学生继续完成书本 P100:练习 A3(1) 、 (2) ,4(1) 、 (2) 四、拓展延伸 [设计意图:让学生尝试灵活运用两种方法判断函数的奇偶性,反过来知道函数的奇偶性, 让学生画出对称的另一部分图像] 问题 1:函数 y ? x2 ? 1 的图象如下图,①判断函数的对称性;②判断函数 y ? x2 ? 1 是偶函 数还是奇函数.

解:①函数 y ? x ? 1 的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;②函数 y ? x ? 1 是偶函数.
2 2

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问题 2:函数 y ? x2 ? 1 , x ? [?1, ??) 的图象如下图,①判断函数的对称性;②判断函数 y ? x2 ? 1 是 偶函数还是奇函数.

2 2 解:①函数 y ? x ? 1 , x ? [?1, ??) 的图象不是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;②函数 y ? x ? 1 ,

x ? [?1, ??) 不是偶函数。

问题 3: 函数 f ( x) ? 2 x 的图象如下图所示, ①判断函数图像的对称性;②判断函数 f ( x) ? 2 x 的 奇偶性。

① 像的对称性: 函数 f ( x) ? 2 x 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; ② 函数的奇偶性: 函数 f ( x) ? 2 x 是奇函数. 问题 4:判断函数 f ( x) ? x2 的奇偶性,函数 f ( x) ? x2 在 y 轴右边部分的图象如下图 ,用描点 法画出函数另一部分的图象

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[教学说明:问题 3 函数的图像是一条直线,本来只需要描两个点,要求多描一个点,对称性的 效果更加直观,如果学生难以判断对称性时,就可以提醒学生把图形绕原点旋转 180 度,看 是否重叠就可以,另外为下一步的知识的拓展延伸作准备。通过四个例子,结合直观的图 形,充分发挥数形结合思想的功能,使学生的感性认识提高到理性认识] 五、方法、规律总结 判断或证明函数奇偶性的常用方法 1、 “定义域”条件法:若函数定义域不是关于坐标原点对称的,则函数是非奇非偶函数; 若函数的定义域是关于坐标原点对称的,再用图像法或验证法.2、图像法.3、验证法:(1) 若 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数为奇函数;(2)若 f (? x) ? f ( x) ,则函数为偶函数. 六、作业:课本 P122:二、填空题 1(3) 、 (4) 、 (5) ;课本 P123:三、解答题 1,4。 七、教学反思 一、这节课成功的经验和感受:
(1) 探究式学习让学生学会学习。 学习是一个动态过程, 认识是一种积极主动的建构过程,

学习是内部的建构活动,让学生亲自画图像,增强感性认识,让学生求函数值,让学生体 会函数的对称性,比教师直接讲给学生听,效果会好得多。 (2)处理好学生、教师之间的关系,建立新型师生关系,形成良好的课堂教学气氛,以 取得良好的课堂教学效果。 (3)探讨小组合作学习教学方法。小组合作学习有助于约束学生,调动每个学生的学习 积极性。 二、不足和今后在教学中应注意的方面: (1)小组合作学习这种学习方式虽然很好,但一个班的学生人数太多,容易乱,如果这 节课不是公开课,如果没有很多老师、领导坐在教室后面,课堂教学能井然有序吗? (2)适当给学生压力。有压力才有动力,没有压力的课堂是一盘散沙。每节课有教学任 务,学生当然也有学习任务。教师在课前要向学生明确这节课一定要完成的任务,学生之 间相互监督,完成任务者给予奖励,没完成者给予适度处罚,遵循公平公开的原则,当节
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课公布完成任务的情况。 (3)灵活处理教材,多给学生练习讨论的时间。课本有些例题可作为练习题让学生去做, 并鼓励学生创新,作出与例题不同的解法。课前五分钟可留给学生发挥,让学生轮流出题 (不限定课本知识)考大家,让学生体会做课堂的主人。 (4)适当利用多媒体教学课件让枯燥的数学知识“活”起来。

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