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2.1.2.2 指数函数及其性质的应用


第2课时

指数函数及其性质的应用

1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质; 2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用; 3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用

复习回顾
1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0且a≠1),叫做指数函数.

2.指数函数的图象与性质

底数

0 ? a ?1

a ?1

图象

定义域 值域 性质

R

(0, ??)
(1)过定点(0,1),x=0时,y=1 (2)R上减函数 (2)R上增函数

探究点1 指数函数在实际问题中的应用
例8.截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率 控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少?(精确到亿)

分析:可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手,归纳经过x年

后的人口数的函数关系式,再把经过20年后的人口数表示出来,进行具体的
计算。

解:设今后人口的年平均增长率是1%,经过x年后,我国的人口数为y亿.

经过1年即2000年,人口数为 (亿); 13 ? 13 ?1% ? 13 ? (1 ? 1%) 经过2年即2001年,人口数为

13? (1 ? 1%) ? 13? (1 ? 1%) ?1% ? 13? (1 ? 1%)2(亿).

经过3年即2002年,人口数为
3 13? (1 ? 1%)2 ? 13? (1 ? 1%)2 ?1% ? 13? (1 ? 1%)(亿);

?? 所以,经过x年,人口数为

y ? 13 ? (1 ? 1%) x ? 13 ?1.01x
当x=20时, (亿)。 20 y ? 13?1.01 ? 16

所以,经过20年后,我国的人口数最多为16亿。

【点评】在实际问题中,经常会遇到类似例8的指数增长 模型:设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则 形如

y ? N (1 ? p) x ( x ? N).
的函数是一种指数型函数,这是非常有用的函数模型。 x

y ? ka (k ? R, k ? 0, a ? 0, a ? 1)

探究点2 人口增长率问题的进一步探究
(1)如果人口增长率提高一个百分点,利用计算器分别计算20年,33年后 我国的人口数。

这时函数模型是

y ? 13 ?1.01x.
13 ?1.0120 ? 16(亿),
33

以1999年的13亿为基准。 所以,20年后的人口数是 33年后人口数是

13 ?1.01 ? 25 (亿)。

(2)如果人口年平均增长率保持在2%,利用计算器分别计算2020到2100年, 每隔5年相应的人口数。

以例题中计算的2020年我国的人口数16亿为基准。

这时函数模型是

y ? 16 ?1.02x.

2025年的人口数是

y ? 16 ?1.025 ? 18(亿) ;
y ? 16 ?1.0210 ? 20(亿) ;

2030年的人口数是

2035年的人口数是 2040年的人口数是 2045年的人口数是 2050年的人口数是 2055年的人口数是 2060年的人口数是 2065年的人口数是

y ? 16 ?1.0215 ? 22(亿);

y ? 16 ?1.0220 ? 24(亿) ;
y ? 16 ?1.0225 ? 26(亿);

y ? 16 ?1.0230 ? 29(亿);

y ? 16 ?1.0235 ? 32(亿);
y ? 16 ?1.0240 ? 32(亿);
y ? 16 ?1.0245 ? 39(亿);

2070年的人口数是 2075年的人口数是 2080年的人口数是 2085年的人口数是 2090年的人口数是 2095年的人口数是 2100年的人口数是

y ? 16 ?1.0250 ? 43(亿);
y ? 16 ?1.0255 ? 48(亿);

y ? 16 ?1.0260 ? 52(亿);
y ? 16 ?1.0265 ? 58(亿); y ? 16 ?1.0270 ? 64 (亿);

y ? 16 ?1.0275 ? 71(亿);
y ? 16 ?1.0280 ? 78 (亿) ;

(3)你看到人口的增长成什么趋势? 我们使用软件画出函数 的图象 f ( x) ? 16 ?1.02x

从这个图象上可以看出随着x的 增大,函数值的增长非常迅速, 呈现一种“爆炸式”的增长趋势。

(4)你是如何看待我国的计划生育政策的?

计划生育是我国的基本国策,是千年大计!

探究点3

指数函数在解题中的应用

例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
1 4 1 2 3 5 0 3 3 2 ( ) , (? ) , ( ) , ( ) . 3 3 4 6

分析:根据指数函数的性质,指数幂的运算法则进行,注意采用中间值0和 1进行比较。

解:

2 3 ( ? ) ? 0; 3

3 1 0 ? ( ) 2 ? 1; 4
1 2

5 0 ( ) ? 1; 6
1 3

4 1 ( ) 3 ? 1. 3

所以,

2 3 3 5 0 4 (? ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) . 3 4 6 3

例10.解下列不等式:

(1) 2 ? 4
x

x ?1
2x ?4

(2) a

3x ?1

?a

(a ? 0,a ? 1)

分析:根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式。

解:(1)由

2 ?4
x

,得 x ?1

2 x ? 22 x ? 2 ,
x ? 2 x ? 2.

根据指数函数的单调性得 解这个不等式得

x ? ?2.

(2)当0<a<1时,根据指数函数的单调性得不等式

3x-1≥2x-4

解这个不等式得x≥-3.

当a>1时,根据指数函数的单调性得不等式3x-1≤2x-4 解这个不等式得x≤-3.
所以,当0<a<1时,不等式的解是x≥-3; 当a>1时,不等式的解是x≤-3.

【点评】本题的不等式通常称为指数不等式,解这类不等式的基本方法是 根据指数函数的单调性转化为代数不等式,在底数不确定时要注意分类讨

论。

1.某工厂现在的年利润是1000万元,该工厂年利润的增长率是20%,则10年

后该工厂的年利润是多少万元?(精确到万元)

答案:

1000 ?1.210 ? 6192(万元).

2.比较下列各数的大小:

1, 0.4
答案:

0

?2.5

, 2 , 2.5 .
x2 ?1

?0.2

1.6

2?0.2 ? 10 ? 2.51.6 ? 0.4?2.5.

3.解方程

4 ?2
x
x

.
x2 ?1

解析:

?4 ? 2 ? 2
2x 2

解方程得x=1

? 2x ? x ? 1

答案:

x ?1

1.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型,当指数函数的底数大 于1时,随着自变量的增加,函数值呈现“爆炸式”增长。

2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时,要注意采用中间值0、1进行 归类比较。

3.解指数不等式或者指数方程时,要注意根据指数函数的单调性进行转化, 转化为代数不等式或者代数方程求解,在底数不确定时要注意分类讨论,这

里体现了化归转化思想和分类讨论思想。

除了人格以外,人生最大的损失,莫过于

失掉自信心了。


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