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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:8.6 双曲线(共53张PPT)


第六节 双 曲 线

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三年13考

高考指数:★★★

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几

何性质.
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.

3.理解数形结合的思想.

1.双

曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点,双曲线 的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点; 2.多以选择题、填空题为主,属中低档题目.

1.双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内; 之差的绝对值 (2)动点到两定点的距离_____________为一定值; 小于 (3)这一定值一定要_______两定点的距离.

【即时应用】
判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”)

(1)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹;
( (2)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨 迹; (3)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹; ( ) ( ) )

(4)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点 的轨迹; ( )

(5)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹; ( (6)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点 的轨迹. ( ) )

【解析】由双曲线的定义可知:(1)点的轨迹是以A,B为焦点, 实轴长为2的双曲线的一支;(2)点的轨迹是以A,B为焦点,实轴 长为3的双曲线;(3)点的轨迹是以B为端点方向向下的一条射 线;(4)点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线; (5)距离之差大于|AB|,所以点的轨迹不存在;(6)距离之差的绝 对值大于|AB|,所以点的轨迹不存在. 答案:(1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否

2.双曲线的标准方程和几何性质
y
B2

y

F2 A2

图形

F1 A1

o
B1

A2

F2

x

B1

o
A1 F1

B2

x

标准方程 范围 对称性

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a2 b
x ≥a或x ≤ -a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标:A1(-a, 0) , A2 (a,0)
y?? b x a

2

2

y2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2

y ≤ -a或y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标A1(0,-a) , A2( 0, a)
y?? a x b

性 质

顶点 渐近线 离心率 a、b、c 的关系 实虚轴

e?

c , e ? ? 1, ?? ? a

c 2 ? b2 ? a 2
线段A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2 叫做双曲线的 虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚 轴长

【即时应用】 (1)思考:双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样 的关系?
c a 2 ? b2 b 提示:因为离心率 e ? ? ? 1 ? ( ) 2, a a a b 所以,离心率越大, 就趋近于+∞,即两条渐近线所形成的 a

角(双曲线所在的区域)就越大,即双曲线的“张口”就越大;
b 离心率越小即接近1, 就趋近于0,即两条渐近线所形成的角 a

(双曲线所在的区域)就越小,即双曲线的“张口”就越小.

(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4,则它到

另一个焦点的距离为_________.
【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为:
x 2 y2 2 ? ? 1, 所以a =3, 3 6

又因为点P到一个焦点的距离为4,所以到另一焦点的距离为
4 ? 2 3或4 ? 2 3.

答案: 4 ? 2 3或4 ? 2 3

x 2 y2 (3)已知双曲线 - 2 =1 (a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为 2 a b

则双曲线的渐近线方程为__________________. 2 3, 【解析】依题意知:2b=2,2c= 2 3,

所以b=1,c= 3,a= 2, 因此,双曲线的渐近线方程为:
b 2 y?? x?? x. a 2 答案:y=〒 2 x 2

双曲线的定义、标准方程 【方法点睛】1.应用双曲线定义的注意事项 (1)距离之差的绝对值; (2)2a<|F1F2|; (3)双曲线上任意一点与两焦点围成的“焦点三角形”中的数 量关系.

⒉双曲线的标准方程 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程
x 2 y2 可设为 ? ? 1(mn>0),这样可避免讨论和复杂的计算; m n

也可设为Ax2+By2=1(AB <0),这种形式在解题时更简便;

(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0,求双曲线方程时,
可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ (λ ≠0),据其他条件确定λ 的值;
x 2 y2 (3)与双曲线 2 - 2 =1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 a b 2 2 x y - 2 =?(λ ≠0),据其他条件确定λ 的值. 2 a b

3.求双曲线标准方程的方法及步骤

(1)定义法:根据题设条件得出或已知曲线为双曲线,可直接
求出a、b、c,得出双曲线方程;

(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程,将题设条件代入
方程确定相关系数,最后得出方程. 【提醒】用定义法求双曲线方程时,要注意焦点所在坐标轴的 位置.

x 2 y2 【例1】(1)与双曲线 ? ? 1有相同的渐近线,且过点 9 16

(-3, 2 3 )的双曲线方程为_______________.

(2)已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过
A、B的椭圆,求另一个焦点F的轨迹方程. 【解题指南】(1)先设出双曲线的方程,用待定系数法求解; (2)由椭圆定义得出关于点F的等式,化简后可得出点F的轨迹, 进而得出轨迹方程.

x 2 y2 【规范解答】(1)因为所求双曲线与 ? ? 1 有相同的渐近线, 9 16 2 2 x y 所以设所求双曲线方程为 ? (λ≠0),又因为双 ?? 9 16 1 曲线过点(-3, 2 3 ),所以 9 ? 12 ? ?, 解得λ= , 4 9 16

x 2 y2 所以所求双曲线方程为: ? ? 1, 9 4 4 4x 2 y 2 即 ? ? 1. 9 4 4x 2 y 2 答案: ? ? 1 9 4

(2)由椭圆的定义知:|AC|+|AF|=|BC|+|BF|, 又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2, 所以F的轨迹是双曲线的一支,其中c=7,a=1,b2=48,
x2 因此所求轨迹方程为: y ? ? 1 (y<0). 48
2

【反思·感悟】1.第一小题有相同渐近线的双曲线方程的设法 只有一个参数,再需一个条件即可求解;

2.第二小题是借助于椭圆的定义,得出一个等式,再由双曲线
的定义得出轨迹为双曲线的一支.

双曲线的几何性质 【方法点睛】1.双曲线的几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;

(2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线;
(3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线

上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.

2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系

(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意
b e ? 1 ? ( ) 2 及判断焦点的位置; a

(2)已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,若焦点不确定时,
因此离心率有两种可能. m ? 或m ? , 【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆 之间的关系混淆.
b a a b

【例2】(1)(2011·福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,

F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,
则曲线C的离心率等于(
1 3 2 2 1 (C) 或2 2

)

(A) 或

y2 (2)(2011·北京高考)已知双曲线 x ? 2 ? 1 (b>0)的一条渐近线 b
2

2 或2 3 (D) 2 或 3 2 3

(B)

的方程为y=2x,则b=________.

【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点,所以该圆锥

曲线为椭圆或双曲线.再由椭圆、双曲线的定义及离心率的定
义即可求解.

(2)利用双曲线方程与其渐近线方程之间的关系求出渐近线方
程,比较两渐近线方程,即可求出b值.

【规范解答】(1)选A.∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, ∴可设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,k>0, 其中|F1F2|=2c=3k,∴c= 3k .
2

若圆锥曲线C为椭圆,则|PF1|+|PF2|=2a=6k,
3 k c 2 1 ∴a=3k,∴ e ? ? ? . a 3k 2

若圆锥曲线C为双曲线,则|PF1|-|PF2|=2a=2k,
3 k c 2 3 ∴e的取值为 1 或 3 . ∴a=k,∴ e ? ? ? , 2 2 a k 2 y2 2 (2)令 x ? 2 ? 0 得渐近线方程为y=〒bx.由已知可得b=2. b

答案:2

【反思·感悟】1.第一小题首先是讨论曲线的类型,然后再根

据相应曲线的定义,求出离心率的值.
2.第二小题关键是利用双曲线的方程与其渐近线方程之间的关 系求解.

与双曲线有关的综合问题 【方法点睛】⒈直线与双曲线的位置关系 判断直线l与双曲线E的位置关系时,通常将直线l的方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x,y)=0,消 去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
? Ax ? By ? C ? 0 即? 消去y后得ax2+bx+c=0. , ? ? F ? x, y ? ? 0 ?

方程特征

公共点个数

位置关系
直线与双曲线的渐近 线平行,两者相交 相交

直 线 与 双 曲 线

a=0
a≠0 Δ>0 a≠0 Δ=0 a≠0 Δ <0

1 2 1 0

相切 相离

2.解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 (1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑 利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组),通过解不 等式(组)求得参数的取值范围; (2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先 建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.

【提醒】解决直线与双曲线相交问题时,若涉及到弦的中点或
斜率,一般用点差法求解.

x2 【例3】(2012·合肥模拟)已知双曲线C: ? y 2 ? 1(a>0)与直 a2

线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
??? 5 ??? ? (2)设直线l与y轴交点为P,且 PA ? PB, 求a的值. 12

【解题指南】(1)将直线方程代入双曲线方程消去y,整理成关 于x的一元二次方程,得a的范围,利用a的取值范围求解;

(2)设出A,B的坐标,利用(1)中一元二次方程的根与系数的关
系求解.

【规范解答】(1)由双曲线C与直线相交于两个不同的点,知方
? x2 2 ? a2 ? y ? 1 程组 ? 有两个不同的解,消去y并整理得: ? ?x ? y ? 1

(1-a2)x2+2a2x-2a2=0

①,

?1 ? a 2 ? 0 ? , 解得0<a< 2 且a≠1, ∴ ? ?? ? 4a 4 ? 8a 2 (1-a 2 )>0 ?
1? a2 1 双曲线的离心率 e ? ? ? 1. 2 a a

∵0<a< 2 且a≠1,

∴e> 6 且e ? 2,
2

即离心率e的取值范围为 ( 6 , 2) ? ( 2, ??).
2

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),
??? 5 ??? ? ? PA ? PB, 12

∴(x1,y1-1)= 5 (x2,y2-1),
12

得 x1 ? 5 x 2 ,
12

由于x1,x2是方程①的两个根,
2a 2 2a 2 ∴ x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ? , 2 2 1? a 1? a

2 2 5 即 17 x ? ? 2a , x 2 ? ? 2a , 消去x2, 2 2 2 2

12

1 ? a 12

1? a

2a 2 289 解得a= 17 得? ? , . 2 1? a 60 13

【反思·感悟】双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置 关系.解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,

然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组,消元后转化成
关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系,整体代入

的思想解题.设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直
线的斜率为k,则
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 .

【易错误区】双曲线几何性质的解题误区
x 2 y2 【典例】(2011·山东高考)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b 2 2 和椭圆 x ? y ? 1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆 16 9

离心率的两倍,则双曲线的方程为____________. 【解题指南】求椭圆焦点,即双曲线的焦点,由双曲线的离心 率是椭圆离心率的两倍求出b,然后写出双曲线的方程.

【规范解答】由题意知双曲线的焦点为( ? 7,0)、( 7,0),

即c= 7,又因为双曲线的离心率为 e ? c ? 2 7 , 所以a=2,故
b2=3,所以双曲线的方程为 x ? y ? 1.
2 2

a

4

答案: x ? y ? 1
4 3

2

2

4

3

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议:


区 警 示

解答本题时有以下几个误区:
(1)双曲线标准方程中a、b的值均大于零,但两者之 间没有大小关系,易与椭圆中a>b>0混淆; (2)将椭圆与双曲线中的a、b、c之间的关系弄混.

解决与双曲线有关的问题时,要注意以下几点: 备

(1)根据题设条件,合理选择双曲线的标准方程的形
考 式(注意焦点的位置); 建

(2)弄清双曲线中a、b、c之间的关系,最大者为c,
议 即c2=a2+b2.

1.(2011·安徽高考)双曲线2x2-y2=8的实轴长是(

)

(A)2
(C)4

(B) 2 2
(D) 4 2
x 2 y2 ? ? 1,则 4 8

【解析】选C.将双曲线2x2-y2=8化成标准方程
a2=4,所以实轴长2a=4.

x 2 y2 2.(2012·三明模拟)若双曲线 ? ? 1 上的一点P到它的右焦 4 12

点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是(
(A)4 (B)12 (C)4或12 (D)6

)

x 2 y2 【解析】选C.∵双曲线方程为 ? ? 1, 4 12 ∴a=2,b= 2 3, c=4.

又∵点P到右焦点的距离为8, ∴由双曲线的定义知点P到左焦点的距离为8-2a=8-4=4 或8+2a=8+4=12.

x 2 y2 3.(2011·湖南高考)设双曲线 ? ? 1 (a>0)的渐近线方程 2 a 9

为3x±2y=0,则a的值为( (A)4 (C)2 (B)3 (D)1

)

x 2 y2 【解析】选C.由 2 ? ? 1 可得到双曲线的渐近线方程为 a 9 3 y=〒 x,又已知双曲线的渐近线方程为3x〒2y=0,根据直 a

线重合的条件可得到a=2.

y2 x 2 4.(2011·江西高考)若双曲线 ? ? 1 的离心率e=2,则 16 m

m=_________.
【解析】由题意可得a2=16,b2=m, 故c2=a2+b2=16+m,又∵e= c , ∴ 2 ? 16 ? m , ∴m=48.
4

a

答案:48

x 2 y2 5.(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C: 2 ? 2 ? 1 a b

(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为_________.
?4 9 ? a 2 ? b2 ? 1 【解析】由题意可得 ? 解之得 2c ? 4 , ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 所以所求离心率 e ? c ? 2 ? 2. a 1

?a ? 1 ? ? ? b ? 3, ? ?c ? 2 ?

答案:2


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