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广东省2016年全国卷适应性考试理科数学含答案(完整版)


广东省 2016 年全国卷适应性考试 理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2 x 1.已知集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x 2 ? 1} ,则 A ? B ? (

) D. (??, 0)
开始

/>
A. [?3, ?1]

B. (??, ?3) ? [?1,0)

C. (??, ?3) ? (?1,0]

a ? i7 ?( 2.若 z ? (a ? 2) ? ai 为纯虚数,其中 a ?R,则 1 ? ai
A. i B. 1 C. ?i D. ?1


输入 N

3.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项的和,且 S n ? A. 3(3n ? 2n ) B. 3 ? 2
n n

3 (an ? 1)(n ? N* ) ,则 an ? ( 2
n

n= 1, x= 0



n= n+ 1 n< N
是 否 输出 x 1

C. 3

D. 3 ? 2

n ?1

x= x+

4. 执行如图的程序框图,如果输入的 N ? 100 ,则输出的 x ? ( A. 0.95 C. 0.99 B. 0.98 D. 1.00



n(n+ 1)

5.三角函数 f ( x) ? sin( A. 3,

?
6

结束

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是(
C. 2,



?
2

B. 3, ?

?
2

D. 2, ? )

6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 12 C. 4 B. 6 D. 2 )

2 2 1 1

7.设 p 、 q 是两个命题,若 ?( p ? q ) 是真命题,那么( A. p 是真命题且 q 是假命题 B. p 是真命题且 q 是真命题 C. p 是假命题且 q 是真命题 D. p 是假命题且 q 是假命题

1 2

8.从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点,则这两点间的距离小于1 的 概率是( A. ) B.

1 7

3 7

C.

4 7


D.

6 7

9.已知平面向量 a 、 b 满足 | a | ? | b | ? 1 , a ? ( a ? 2b ) ,则 | a ? b | ? ( A. 0 B. 2 C. 2
1

D. 3

10. ( x ?
2

A. ?

5 4

1 6 ) 的展开式中,常数项等于( 2x 5 B. 4
2

) C. ?

15 16

D.

15 16

11.已知双曲线的顶点为椭圆 x ? 线的方程是( A. x 2 ? y 2 ? 1 )

y2 ? 1 长轴的端点,且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于 1 ,则双曲 2

B. y 2 ? x 2 ? 1

C. x 2 ? y 2 ? 2

D. y 2 ? x 2 ? 2

12.如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对于任意 x1 ? x 2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 则称 f ( x ) 为 “ H 函数” . 给出下列函数: ① y ? ?x3 ? x ? 1 ; ② y ? 3x ? 2( n s i x?c o s x); ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , ③ y ? e x ? 1 ;④ f ? x ? ? ? A. 4

?ln | x | x ? 0 ,其中“ H 函数”的个数是( x?0 ?0
B. 3 C. 2

) D. 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

?2 x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 仅在点 ( 3, 4 ) 取得最小值,则 a 的取值 ?x ? y ?1 ?
范围是 14.已知双曲线 .

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p ? 3 p
*



2 15.已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,且对任意的 n ?N ,均有 an , S n , an 成等差数列,则

an ?



16.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,直线 x ? 1 和 x ? 2 是曲线 y ? f ( x ) 的对称轴,且 f ( 0 ) ? 1,则

f ( 4 ) ? f (10) ?



2

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且

2a cos A ? c cos B ? b cos C .
(1) cos A 的值; (2)若 b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
2 2

3

18. (本小题满分 12 分) 某单位共有 10 名员工,他们某年的收入如下表: 员工编号 年薪(万元) 1 3 2 3.5 3 4 4 5 5 5.5 6 6.5 7 7 8 7.5 9 8 10 50

(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数; (2)从该单位中任取 2 人,此 2 人中年薪收入高于 5 万的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和期望;

4.2 (3 ) 已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系, 若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 3 万元、
万元、 5.6 万元、 7 .2 万元,预测该员工第五年的年薪为多少?

?? ?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式: b 附:线性回归方程 y
其中 x 、 y 表示样本均值.

?( x
i ?1

n

i

? x )( yi ? y )

( xi ? x ) 2

?x, ? ? y ?b ,a

4

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直二面角 E ? AB ? C 中,四边形 ABEF 是矩形, AB ? 2 , AF ? 2 3 , ?ABC 是以 A 为直角顶 点的等腰直角三角形,点 P 是线段 BF 上的一点, PF ? 3 . (1)证明: FB ? 面 PAC ; (2)求异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值.

F E

P A B C

5

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x ,过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线,分别交抛物线 C 于点 P1 , P2 和点 P3 , P4 ,线段 P 1P 2,P 3P 4 的中点分别记为 M 1 , M 2 . (1)求 ?FM1 M 2 面积的最小值; (2)求线段 M 1 M 2 的中点 P 满足的方程.

6

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x ? mx ( m ? 0 ) . 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求 f ( x ) 的零点个数; (3)证明:曲线 y ? f ( x ) 上没有经过原点的切线.

7

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, BC 是半圆 O 的直径, AD ? BC ,垂足为 D , ? AB ? ? AF , BF 与 AD 、 AO 分别交于点 E 、 G . (1)证明: ?DAO ? ?FBC ; (2)证明: AE ? BE .

A G E B D O

F

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,过点 P(1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45 .以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极
?

坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin (1)求直线 l 的参数方程; (2)求 PA ? PB 的值.

2

? ? 2cos? ,直线 l 和曲线 C 的交点为点 A, B .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 5x . (1)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 5x ? 3 的解集; (2)若 x ? ?1 时有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

8

2016 年适应性测试理科数学答案
一.选择题 (1)B (2)C (7)D (8)A 二.填空题 (13) ( -? , - 2) 三.解答题 (17)解: (Ⅰ)? 2a cos A ? c cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (3)C (9)D (14)4 (4)C (10)D (15) n (5)B (11)D (16)2 (6)D (12)C

2sin A ? cos A ? sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A ? cos A ? sin( B ? C ) ? sin A ,
又? 0 ? A ? ? ? sin A ? 0 ,? 2 cos A ? 1 ? cos A ? (Ⅱ)由 cos A ?

1 . 2

???6 分

? a 1 3 ? 2 ? a ? 2sin A ? 3 . ,由 ? sin A ? ? sin A 2 2

由余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ? 3 ? 1 .
???12 分 ? ???4 分 ?

1 1 3 3 . ? ? S△ ABC ? bc sin A ? ? 2 2 2 4
(18)解: (Ⅰ)平均值为 10 万元,中位数为 6 万元.

(Ⅱ)年薪高于 5 万的有 6 人,低于或等于 5 万的有 4 人; ? 取值为 0,1,2. ? 1 1 2 ? 2

P(? ? 0) ?

CC C C4 2 8 1 , P(? ? 2) ? 6 ? , P(? ? 1) ? 4 2 6 ? ? , 2 2 15 C10 15 C10 C10 3

所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

2 8 15 15 2 8 1 6 ? 1? ? 2 ? ? . 数学期望为 E? ? 0 ? 15 15 3 5

P

1 3
???8 分 ? ?

9

(Ⅲ)设 xi , yi (i ? 1,2,3,4) 分别表示工作年限及相应年薪,则 x ? 2.5, y ? 5 ,

(x ?
1
4

4

i

2 ?x ) ? 2.25+ 0.25+ 0.25+ 2.25= 5

(-2) ? (-0.5) ? (-0.8) ? 0.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 2.2 ? 7 ? ( x ? x)( y ? y ) ? ?1.5 ?
i ?1 i i

b?

?

?? x ? x?? y ? y ?
4 i ?1 i i

?? x ? x?
4 i ?1 i

2

? 7 ? 1.4 5

? ? 5 ?1.4 ? 2.5 ? 1.5 ? ? y ? bx a
由线性回归方程: y ? 1.4 x ? 1.5 . 可预测该员工年后的年薪收入为 8.5 万元. (19)解: (Ⅰ) FB ? 4 , cos ?PFA ? cos ?BFA ? ???12 分

3 , 2

PA ? PF 2 ? FA2 ? 2PF ? FA ? cos ?PFA ? 9 ? 12 ? 2 ? 3 ? 2 3 ? 3 / 2 ? 3,
Q PA2 ? PF 2 ? 3 ? 9 ? 12 ? AF 2 ,
? PA ? BF ;

? ?

又因为 平面ABEF ? 平面ABC , AB ? AC , ? AC ? 平面ABEF ,而 BF ? 平面ABEF .

? AC ? BF . 又PA I AC ? A .

? BF ? PAC 平面.

???6 分

(Ⅱ)过 P 作 PM // AB, PN // AF ,分别交 BE, BA 于 点M , N ,?MPC 的补角为 PC 与 AB 所成的角.连接 ? ? MC , NC .

PN ? MB ? 3 / 2, AN ? 3 / 2, NC ? AN 2 ? AC 2 ? 5 / 2, BC ? 2 2. PC ? PN 2 ? NC 2 ? 7, MC ? MB 2 ? BC 2 ? 35 / 2.

1 35 ?7? 4 ? ?3 ? ? 3 7 . cos ?MPC ? 4 1 14 2 7 2? ? 7 2
所以异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值为

3 7 . 14
10

???12 分 ? ?

向量法: (Ⅰ) 以 A 为原点, 向量 AB , 则 A(0, 0, 0) , AC ,AF 的方向分别为 x ,y , z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

??? ? ???? ????

B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , F (0,0, 2 3) .

? BF ? AB2 ? AF 2 ? 4 , PF ? 3 ,
??? ? 3 3 ? P( , 0, ) , FB ? (2,0, ?2 3) , 2 2
??? ? 3 ??? ? 3 AC ? (0, 2,0) , AP ? ( , 0, ) . 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? FB ? AC ? 0 ,? FB ? AC .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? FB ? AP ? 0 ,? FB ? AP .
? FB ? AC , FB ? AP , AC ? AP ? A ,
???6 分

? FB ? 平面APC .

? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? 3 3 (Ⅱ)? AB ? (2,0,0) , PC ? (? , 2, ? ) ,记 AB 与 PC 夹角为 ? ? ,则 2 2 ??? ? ??? ? AB ? PC ?3 3 7 . cos ? = ??? ? ? ??? ? ? ???12 分 14 AB PC 2 7
? ?

11

(20)解: (Ⅰ)由题设条件得焦点坐标为 F (1, 0) ,设直线 PP 1 2 的方程为 y ? k ( x ? 1) , k ? 0 . 联立 ?

? y ? k ( x ?1)
2 ? y ? 4x



消去 y 并整理得 k 2 x2 ? 2(2 ? k 2 ) x ? k 2 ? 0 .

(*)

(*)关于 x 的一元二次方程的判别式 ? ? [?2(2 ? k 2 )]2 ? 4k 2 k 2 ? 16(1 ? k 2 ) ? 0 . 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两个不等实根, 经计算得 x1 ? x2 ?

2(2 ? k 2 ) . k2

? x1 ? x2 2 ? k 2 x ? ? ? ? M1 2 k2 . 设 M1 ( xM1 , yM1 ) ,则 ? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 M M1 ? k ? 1

1 ? 2? 2 ? 2 k ? xM 2 ? 1 ? 2k ? 1 ? 类似地,设 M 2 ( xM2 , yM2 ) ,则 ? . k2 ? 2 ? ?2k ? yM 2 ? 1 ? ? k ?
所以 | FM1 |? (1 ?

2 ? k2 2 2 2 2 ) ? ( ) ? 2 1 ? k 2 , | FM 2 |? (2k 2 ) 2 ? (?2k ) 2 ? 2 | k | 1 ? k 2 , 2 k k k

因此 S?FM1M 2 ?

1 1 1 ? | k |≥ 2 ,所以 S?FM1M2 ≥ 4 , | FM1 | ? | FM 2 |? 2( ? | k |) .因为 |k| 2 |k|
???8 分

当且仅当

1 ?| k | ,即 k ? ?1 时, S?FM1M 2 取到最小值 4. |k|

(Ⅱ)设线段 M1M 2 的中点 P ( x, y ) ,由(1)得

1 1 2 1 ? x ? ( xM1 ? xM 2 ) ? (2 ? 2 ? 2k 2 ) ? 1 ? k 2 ? 2 ? ? 2 2 k k , ? ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ( 2 ? 2k ) ? ? k ? 1 M1 M2 ? 2 2 k k ?
消去 k 后得 y ? x ? 3 .
2

∴线段 M1M 2 的中点 P 满足的方程为 y ? x ? 3 .
2

???12 分

12

(21)解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? mx ? 1 ?m ? . x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? mx ? 1 ? 0 . (1)当 ? ? m2 ? 4 ≤ 0 ,即 0 ? m ≤ 2 时, f ?( x) ≥ 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 内单调递增. (2)当 ? ? m2 ? 4 ? 0 ,即 m ? 2 时,由 x 2 ? mx ? 1 ? 0 解得

x1 ?

m ? m2 ? 4 m ? m2 ? 4 , x2 ? ,且 0 ? x1 ? x2 , 2 2

在区间 (0, x1 ) 及 ( x2 , ??) 内, f ?( x) ? 0 ,在 ( x1 , x2 ) 内, f ?( x) ? 0 , 所以, f ( x) 在区间 (0, x1 ) 及 ( x2 , ??) 内单调递增,在 ( x1 , x2 ) 内单调递减. ?4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 0 ? m ≤ 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 内单调递增,所以 f ( x ) 最多只有一个零点.

又因为 f ( x) ?

1 x( x ? 2m) ? ln x , 所以, 当 0 ? x ? 2m 且 x ? 1 时,f ( x) ? 0 ; 当 x ? 2m 且 x ? 1 时, 2

f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 有且仅有一个零点.

当 m ? 2 时 , 因 为 f ( x) 在 (0, x1 ) 及 ( x2 , ??) 内 单 调 递 增 , 在 ( x1 , x2 ) 内 单 调 递 减 , 且

1 m ? m2 ? 4 2 m ? m2 ? 4 m(m ? m2 ? 4) f ( x1 ) ? ( ) ? ln ? 2 2 2 2
?m2 ? m m2 ? 4 ? 2 m ? m2 ? 4 ? ? ln 4 2


?m2 ? m m 2 ? 4 ? 2 ?m 2 ? m 2 ? 2 ? ? 0, 4 4
m ? m2 ? 4 4 4 ? ? ? 1 (? m ? 2 ) , 2 2(m ? m 2 ? 4) 4

0?

? f ( x1 ) ? 0 ,由此知 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,
又因为当 x ? 2m 且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, ??) 内有且仅有一个零点. 综上所述,当 m ? 0 时, f ( x) 有且仅有一个零点.
???8 分

13

(Ⅲ)假设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x, f ( x)) ( x ? 0 )处的切线经过原点,

1 2 x ? ln x ? mx f ( x) 1 2 ? ? f ( x) ,即 ? x? ?m, 则有 x x x 1 化简得: x 2 ? ln x ? 1 ? 0 ( x ? 0 ).(*) 2
1 2 1 x2 ?1 记 g ( x) ? x ? ln x ? 1 ( x ? 0 ) ,则 g ?( x) ? x ? ? , 2 x x

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g (1) ?
3 1 3 是 g ( x) 的最小值,即当 x ? 0 时, x 2 ? ln x ? 1 ≥ . 2 2 2

由此说明方程(*)无解,所以曲线 y ? f ( x) 没有经过原点的切线. ?12 分
(22)解: (Ⅰ)连接 FC , OF ,? ? AB ? ? AF , OB ? OF ,

? 点 G 是 BF 的中点, OG ? BF . 因为 BC 是 ? O 的直径,所以 CF ? BF .
? OG // CF .

??AOB ? ?FCB ,

??DAO ? 90? ? ?AOB, ?FBC ? 90? ? ?FCB ,
??DAO ? ?FBC.
又 OA ? OB ,所以, △OAD ? △OBG ,于是 OD ? OG . ???6 分

(Ⅱ)在 Rt △OAD 与 Rt △OBG 中,由(Ⅰ)知 ?DAO ? ?GBO ,

? AG ? OA ? OG ? OB ? OD ? BD .
在 Rt △ AGE 与 Rt △BDE 中,由于 ?DAO ? ?FBC , AG ? BD , 所以, △ AGE ? △BDE ,因此, AE ? BE . ???10 分

14

(23)解: (Ⅰ)由条件知,直线 l 的倾斜角 ? ? 45? , cos ? ? sin ? ?

2 . 2

设点 M ( x, y ) 是直线 l 上的任意一点,点 P 到点 M 的有向距离为 t ,则

? 2 t ? x ? 1? ? 2 . ? ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2
(Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2 x ,由此得 (?2 ? 即 t ? 6 2t ? 4 ? 0 .
2

???5 分

2 2 2 t ) ? 2(1 ? t) , 2 2

设 t1 , t2 为此方程的两个根,因为 l 和 C 的交点为 A, B ,所以 t1 , t2 分别是点 A, B 所对应的参数,由韦达定理得 = t1t2 ? 4 . P A? P B (24)解: (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 1| ?5 x ≤ 5 x ? 3 可得 | x ? 1|≤ 3 ,解得 ?4 ≤ x ≤ 2 . (Ⅱ)f ( x) ? ? 于是 (1)由 ? ???4 分 ???10 分

?6 x ? a, x ≥ a 在 R 上是单调递增的. 若 f ( x) 适合题设条件, 则 f ( x) 的零点 x 必须满足 x ≤ ?1 . ? 4 x ? a, x ? a

?a ≤ x ≤ ?1 ,得 a ≤ ?6 ; ?6 x ? a ? 0

?x ? a ? (2)由 ? x ≤ ?1 ,得 a ≥ 4 . ?4 x ? a ? 0 ?
从而 a ? ? ??, ?6? ? ?4, ??? . 反之, ?a ? ? ??, ?6? ? ?4, ??? ,易计算此时 f ( x) ? x ? a ? 5x 满足题设条件. 故满足题设条件的 a 的取值范围是 ? ??, ?6? ? ?4, ??? ???10 分

15


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