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必修1第一章—函数及其表示(答案版)


必修 1—1.2 函数及其表示
一、知识梳理 1.函数与映射的概念 函数 两集合 A、B 设 A、B 是两个_________ 映射 设 A、B 是两个___________

如果按照某种确定的对应关系 f,使对 如果按某一个确定的对应关系 f,使对于 对应关系 于集合 A 中的_______一个 x,在集合 B 中 集合 A 中的______一个

元素 x,在集合 B 中 f:A→B 都有________的数 f(x)和它对应 ________的元素 y 与之对应 称_________为从集合 A 到集合 B 的一 称__________为从集合 A 到集合 B 的一个 个函数 映射

名称

2.函数的定义域、值域、相等函数 (1)定义域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,____________的取值范围(数集 A)叫函数的定义域; (2)值域: 函数值的集合_______________是函数的值域. (2)相等函数: 如果两个函数的________相同,并且_________完全一致,则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示 函数有三种表示方法:________、_______和列表法. 4.分段函数: 如果在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有不同的对应关系,这样的函数通常叫做 ________. 二、基础自测 1.(2014·山东高考)函数 f ( x) ?

1 (log 2 x)2 ? 1
C. (0, )

的定义域为(



A. (0, )

1 2

B. (2, ??)

1 2

(2, ??)

D. (0, ] [2, ??)

1 2

2 ? 1 ?? log 2 x ? ? 1 ? 0, 解析:由已知,可得 ? ,解之得 x ? 2 或 0 ? x ? . 2 ? ?x?0

答案:C

2.(教材习题改编)设 f,g 都是从 A 到 A 的映射(其中 A={1,2,3}),其对应关系如下表: x 1 2 3

f g

3 3
1

1 2

2 1

则 f(g(3))等于( A.1

) B.2 C.3 D.不存在

解析:f(g(3))=f(1)=3. 答案:C x +1,x≤1, ? ? 3.(2012·江西高考)设函数 f(x)=?2 ,x>1, ? ?x A. 1 5 B.3 2 C. 3 答案:D
2

则 f(f(3))=(



13 D. 9

2 13 ?2?2 答案: f(3)= ,f(f(3))=? ? +1= . 3 9 ?3?

4 . 已 知 集 合 A = [0,8] , 集 合 B = [0,4] , 则 下 列 对 应 关 系 中 , 不 能 看 作 从 A 到 B 的 映 射 的 是 ( ) 1 1 1 A.f:x→y= x B.f:x→y= x C.f:x→y= x D.f:x→y=x 8 4 2 解析:按照对应关系 f:x→y=x,对 A 中某些元素(如 x=8),B 中不存在元素与之对应.答案:D 5.给出下列四个命题:①函数是定义域到值域的对应关系;②f(x)= x-4+ 1-x是函数;③f(x)=5, 因这个函数的值不随 x 的变化而变化,所以 f(t +1)也等于 5;④y=2x(x∈N)的图像是一条直线.其中正 确的有 ( )
2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:由函数的定义知①正确,②错误.因为函数 f(x)=5 为常数函数,所以 f(t2+1)=5,故③正确.因 为 x∈N,所以函数 y=2x(x∈N)的图像是一些离散的点,故④错误. 答案:B 三、典例探究 考点一 函数的基本概念 例 1 有以下判断:
?1,x≥0, ? |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? x ? ?-1,x<0

表示同一函数;

(2)函数 y=f(x)的图像与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+1 是同一函数;
2 2

? ?1?? (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f? ??=0. ? ?2??
其中正确判断的序号是________.
? ?1,x≥0, |x| [自主解答] 对于(1),由于函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},而函数 g(x)=? x ?-1,x<0 ?

的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义域的值,则直线 x=1 与 y= f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图 象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域

?1? ?1 ? ?1? ? ?1?? 和对应关系均相同, 所以 f(x)和 g(t)表示同一函数; 对于(4), 由于 f? ?=? -1?-? ?=0, 所以 f?f? ?? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?2??
=f(0)=1.
2

综上可知,正确的判断是(2),(3). 题后小结:

[答案] (2)(3)

考点二 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域: (1) 函数 f ( x ) ?

lg( x ? 2) ? 2 ? x 2 的定义域为___________. x ?x

(2) 已知函数 f ( x ) 的定义域为[1,3],则函数 f ( x ? 2) 的定义域为___________. (3) 已知函数 f ( x ? 2) 的定义域为[1,3],则函数 f ( x ) 的定义域为___________. (4) 已知函数的定义域为[1,3],则函数 f ( 2 x ) 的定义域为___________. 题后小结:

考点三 求函数的解析式 例 3 求下列函数的解析式 (1) 已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x, 求f (2 x ? 1) . (2) 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求f ( x) . (3) 已知 f ( x ) 是二次函数且 f (0) ? 2, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1, 则f ( x) ? __________ . (4) 已知 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ( x ? 0), 则f ( x ) ? __________ .

1 x

? 1? 2 1 (5) 已知 f?x+ ?=x + 2,求 f(x)的解析式 x ? x? ?2 ? (2)已知 f? +1?=lg x,求 f(x)的解析式; ?x ?
[自主解答]
2

? 1? 2 1 ? 1?2 2 (1)由于 f?x+ ?=x + 2=?x+ ? -2,所以 f(x)=x -2,x≥2 或 x≤-2,故 f(x)的解析 x ? x? ? x?

式是 f(x)=x -2(x≥2 或 x≤-2). 2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t- 1

又 x>0,所以 t>1,故 f(x)的解析式是 f(x)=lg

2 (x>1). x-1
3

考点四

函数的值和值域
2

例 4:已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=3x -5 (1)求 f(1) ,g(2)的值; (2)求 f(g(2)的值; (3)求 f(g(x) )的表达式.

例 5:求下列函数的值域 (1) y ? 2 x ? 3 (3) y ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? [?1,2) (5) y ? (2) y ? x 2 ? 2 x ? 3, x ?{?2,?1,0,1,2,3} (4) y ? x ? 2 1 ? 2 x

2x ? 1 x?3

考点五 分段函数

) , 例 6 : 2014· 四 川 高 考 ) 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x ?[? 1 , 1时

??4 x 2 ? 2 , ? ? 1x ? 0 , 3 f ( x) ? ? f( )? 0 ? x ? 1, ,则 2 ____________. ? x,
解析: f ? ? ? f ?

?3? ?2?

?3 ? ? 1? ? 4? ? f ? ? ? ? 1 . ?2 ? ? 2?

答案:1

五.当堂达标 1.下列函数中,与函数 y= 1 3 1 A.y= sin x x C.y=xe
x

定义域相同的函数为(

)

ln x B.y= x

D.y= )

sin x x

2.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1
4

D.f(x)=-x

?lg x,x>0, ? 3.设 f(x)=? x ?10 ,x≤0, ?

则 f(f(-2))=( C.10

) D.-10 )

A.-2

B.2

4.(2013·陕西高考)设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为( A.(-∞,1) B.(1, + ∞) C. (??,1] 5.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1
x

D. [1, ??) ) D.g(x)=2x+7 )

C.g(x)=2x-3

? ?2 ,x>0, 6.(2011·福建高考)已知函数 f(x)=? ?x+1,x≤0. ?

若 ?(a)+?(1)=0,则实数 a 的值等于( D.3

A.-3

B.-1

C.1

7.(2013·山东高考)已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A.2

1 ,则 f (?1) ? ( x

)

B.1 C .0 D.-2 1 1 1 ? ? 8. 具有性质: f? ?=-f(x)的函数, 我们称为满足“倒负”变换的函数, 下列函数①y=x- ②y=x+ ③y x x ?x? x,0<x<1, ? ?0,x=1, =? 1 - ,x>1. ? ? x A.①②

其中满足“倒负”变换的函数是(

)

B.①③

C.②③ 答 案

D.①

1.选 D 函数 y=

1 3 x

的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0? x≠kπ ,k∈Z,故 A 不对;选项 B 中

x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈R,故 C 不对;选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定 义域为{x|x≠0}.
?0,x≥0, ? 2.选 C 对于选项 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项 B,f(x)=x-|x|=? ? ?2x,x<0,

当 x≥0

时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有 f(2x)=2f(x);对于选项 D,f(2x) =-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.
?lg x,x>0, ? 3.选 A ∵f(x)=? x ?10 ,x≤0, ?

又-2<0,∴f(-2)=10

-2,

10 >0,f(10 )=

-2

-2

lg10 =-2. 4.选 B 5.解析:选 B ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1∴g(x)=2x-1. 6.选 A 法一:当 a>0 时,由 f(a)+f(1)=0 得 2 +2=0,可见不存在实数 a 满足条件,当 a<0 时,由
5
a

-2

f(a)+f(1)=0 得 a+1+2=0,解得 a=-3,满足条件. 法二:由指数函数的性质可知:2 >0 ,又因为 f(1)=2,所以 a<0,所以 f(a)=a+1,即 a+1+2=0, 解得:a=-3. 法三:验证法,把 a=-3 代入 f(a)=a+1=-2,又因为 f(1)=2,所以 f(a)+f(1)=0,满足条件. 7.D 选做题 1 ?1? 1 ?1? 1 1.选 B 对于①,f(x)=x- ,f? ?= -x=-f(x),满足;对于②,f? ?= +x=f(x),不满足;对于 x x ? ? x ?x? x
x

? ? 1 1? ? ③,f? ?=?0, =1, x ?x? 1 ? ?-x,x>1,
1 1 ,0< <1, x x

1 ,x>1, ? 1? ?x ? 即 f? ?=? 0,x=1, ?x? ? ?-x,0<x<1,

?1? 故 f? ?=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. ?x?
2.解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,故 f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1,故 f(g(x))=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x,故 f(g(x))=(2-x) -1=x -4x+3;
?x -2x,x>0, ? 所以 f(g(x))=? 2 ?x -4x+3,x<0. ?
2 2 2 2 2

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0,故 g(f(x))=f(x)-1=x -2; 当-1<x<1 时,f(x)<0,故 g(f(x))=2-f(x)=3-x .
? ?x -2,x>1或x<-1, 所以 g(f(x))=? 2 ?3-x ,-1<x<1. ?
2 2

2

6


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